《函數性質(zhì)的運用》數學(xué)教學(xué)案例分析

《函數性質(zhì)的運用》數學(xué)教學(xué)案例分析

　　一、相關(guān)背景介紹

　　建構主義理論告訴我們，學(xué)習是學(xué)生在原有認知經(jīng)驗基礎上主動(dòng)建構新知識的過(guò)程。這一建構過(guò)程實(shí)際上需要學(xué)生將原有知識與新知識（包括思想、觀(guān)點(diǎn)、方法）進(jìn)行有效組合與溝通。而學(xué)生知識、方法的遷移，水平、能力的提高均依賴(lài)于這個(gè)過(guò)程。從這個(gè)意義上說(shuō)，數學(xué)學(xué)習實(shí)際上是指學(xué)生對數學(xué)現象的領(lǐng)悟和實(shí)質(zhì)理解。抽象函數這部分內容，體現了數學(xué)的高度抽象性和簡(jiǎn)潔性，近幾年高考幾乎每年都有類(lèi)似的題目。由于它的提干都是由抽象的數學(xué)符號給出，因此它對學(xué)生閱讀理解數學(xué)語(yǔ)言和符號的能力要求很高。對學(xué)生的思維能力是一個(gè)大的挑戰。

　　二、本節課教學(xué)目標

　　1 、知識與技能

　�、� 使學(xué)生深刻理解函數的奇偶性、周期性、對稱(chēng)性等性質(zhì)。掌握代數變換的方法。

　�、� 學(xué)會(huì )閱讀理解數學(xué)語(yǔ)言和符號，會(huì )綜合運用函數性質(zhì)解題。

　　2 、過(guò)程與方法 通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷閱讀、理解、探索求解的過(guò)程，滲透化歸轉化的思想、數形結合的思想。尋求合理、有效的途徑，解決數學(xué)問(wèn)題。

　　3 、情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān) 使學(xué)生領(lǐng)會(huì )數學(xué)的抽象性和嚴謹性，培養他們實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，積極參與和勇于探索的精神。

　　4 、重點(diǎn)：綜合運用函數性質(zhì)解題 難點(diǎn)：對文字語(yǔ)言、符號語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言的理解和相互轉換。

　　三、設計理念

　　1 、首先通過(guò)復習函數的性質(zhì)導入，訓練學(xué)生對數學(xué)的文字語(yǔ)言、符號語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言這三種語(yǔ)言的相互轉換

　　2 、例 1 的設計的意圖是： 加深學(xué)生對函數概念、性質(zhì)的理解。教學(xué)生學(xué)會(huì )閱讀、理解數學(xué)語(yǔ)言、符號；學(xué)會(huì )文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號語(yǔ)言的相互轉化。通過(guò)一題多解、一題多思，滲透化歸轉化和數形結合的思想，以及代數變換的方法，培養他們的思維能力。課堂形式是：分組討論。

　　3 、例 2 的設計主要讓學(xué)生獨立思考解答 探求多種解法，思考、交流、表達，體現學(xué)生主體參與合作學(xué)習。 要求學(xué)生綜合運用函數性質(zhì)解題，提高他們抽象思維能力，問(wèn)題延伸思考，主要針對較好學(xué)生，讓他們課后繼續鉆研，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，也體現了分層教學(xué)的思想。

　　四、下面是課堂實(shí)錄《函數性質(zhì)的運用》

　　師：前面我們已經(jīng)分別復習了函數的奇偶性、單調性、對稱(chēng)性及周期性等。今天我們學(xué)習函數性質(zhì)的綜合運用。請先思考回答以下問(wèn)題：

　�、� 若函數 f （ x ）是奇函數，如何用符號表示？用圖形表示？

　�、� 若給出圖形 請用文字語(yǔ)言敘述它的對稱(chēng)性，用符號如何表示？

　�、� 若 f （ x+2 ） =f （ x ），你能有何結論？如何用文字語(yǔ)言敘述，用符號表示？

　　生 1 ： ① f （ -x ） =-f （ x ）

　　生 2 ： ② 函數 f （ x ）關(guān)于 x=1 對稱(chēng)，即 f （ 1+x ） =f （ 1-x ）

　　生 3 ： ③ f （ x ）是周期函數，周期為 T=2 ，示意圖：

　　師：由 f （ x+2 ） =-f （ x ）你能說(shuō)出什么信息？

　　生： f （ x ）的周期是 T=4

　　師：為什么？能否用圖象解釋?zhuān)?/p>

　　生：將式中的 x 用 x+2 來(lái)替代，得到： f （ x+4 ） =-f （ x+2 ） 又因為 -f （ x+2 ） =f （ x ），所以 f （ x+4 ） =f （ x ）即： T=4 但是不太用圖像來(lái)解釋

　　師：提示： 從圖示看出 f （ x+4 ） =f （ x ）的周期為 4 。

　　總結：通過(guò)對函數的奇偶性、對稱(chēng)性、周期性等性質(zhì)的復習，我們要熟悉數學(xué)的文字語(yǔ)言，符號語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言的轉換。 好，下面我們來(lái)看例 1

　　例 1 ：設 f （ x ）是（ -∞ ， +∞ ）上的奇函數， f （ x+2 ） =-f （ x ），當 0≤x≤1 時(shí)， f （ x ） =x ，則 f （ 7.5 ） =?

　　生 1 ：利用周期性 由 f （ x+2 ） =-f （ x ）可得到 f （ x+4 ） =f （ x ） 所以 f （ 7.5 ） =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5

　　生 2 ：直接利用 f （ x+2 ） =-f （ x ） f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5

　　師：還有其他方法嗎？ f （ x ）是奇函數且 f （ x+2 ） =-f （ x ），除了能說(shuō)出周期 T=4 外，還能說(shuō)出哪些信息？（師提示）

　　生： f （ x+2 ） =-f （ x ） =f （ -x ） 而 f （ x+2 ） =f （ -x ）得到 f （ x ）關(guān)于直線(xiàn) x=1 對稱(chēng)

　　師：很好，你能否根據函數的對稱(chēng)性、周期性及奇偶性，畫(huà)出它的圖象？從而利用圖象來(lái)解題呢？

　　生： 從圖中可以看出 f （ 7.5 ） =f(-0.5)=-0.5 師：我們在解題的過(guò)程中，應善于利用數形結合的思想方法，有時(shí)能收到意想不到的效果的。

　　師總結：

　　方法一：主要要求對符號的深刻理解及獲取信息

　　方法二：利用 f （ x+2 ） =-f （ x ），通過(guò)轉化達到解題的目的，滲透了轉化的思想

　　方法三：利用函數的幾何性質(zhì)，通過(guò)作圖，利用數形結合的思想來(lái)解題。

　　下面我們來(lái)將這道題目進(jìn)行變化：

　　變化 1 ：已知條件不變，問(wèn)題變?yōu)楫?x ∈ 時(shí)，求 f （ x ）的解析式

　　生 1 ：設 x ∈ 則 -x ∈ ∴ f （ -x ） =-x ，又 ∵ f （ -x ） =-f （ x ） ∴ f （ x ） =x ∴ 當 x ∈ 時(shí)， f （ x ） =x 師：能否總結一下解題步驟？

　　生 2 ：小結：首先要 “ 問(wèn)啥設啥 ” ，不要把變量設錯了區間； 第二，把變量轉化到已知區間上去 最后，再利用函數的奇偶性、周期性求出 f （ x ）的解析式。

　　變化 2 ：當 -1≤x≤1 時(shí)， f （ x ）的解析式

　　生：由已知和變化 1 可知當 -1≤x≤1 時(shí)， f （ x ） =x 變化 3 ：當 x ∈ 時(shí)，求 f （ x ）的解析式

　　生：設 x ∈ ，則 x-4 ∈ ∴ f （ x-4 ） =x-4 ∵ T=4 ∴ f （ x ） =x-4 變化 4 ：當 x ∈ 時(shí)，求 f （ x ）的解析式

　　生：設 x ∈ ，則 x-2 ∈ ∴ f （ x-2 ） =x-2 ∵ T=4 ∴ f （ x-2 ） =f （ x+4-2 ） =f （ x+2 ） =-f （ x ） ∴ -f （ x ） =x-2 ∴ f （ x ） =2-x

　　師：小結：上面這四個(gè)變化訓練要求我們要掌握代數變換這種數學(xué)方法，體會(huì )化歸轉化的思想在解題過(guò)程中的運用。

　　例 2 ：定義在（ -∞ ， +∞ ）上的偶函數 y=f （ x ）滿(mǎn)足關(guān)系 f （ x+2 ） =-f （ x ）且 f （ x ）在區間 上是增函數，那么以下結論正確的有 ① y=f （ x ）是周期函數 ② y=f （ x ）的圖象關(guān)于直線(xiàn) x=2 對稱(chēng) ③ y=f （ x ）在區間 上是減函數 ④ f （ ） =f （ ）

　　生 1 ： ① f （ x ）是周期函數， T=4

　　師： ② 分析：要證明直線(xiàn) x=2 是 y=f （ x ）圖象的對稱(chēng)軸，只需要證明什么關(guān)系式成立？

　　生：只需證 f （ 2-x ） =f （ 2+x ） 或證 f （ -x ） =f （ 4+x ） 或證 f （ x ） =f （ 4-x ）

　　師：那我們選擇證第三個(gè)等式 f （ x ） =f （ 4-x ）成立 生： ∵ f （ x ）的周期 T=4 ，且 f （ x ）是偶函數 ∴ f （ 4-x ） =f （ -x ） =f （ x ）即 f （ x ） =f （ 4-x ） ∴ y=f （ x ）圖象的對稱(chēng)軸 x=2 ③ ：

　　生 1 ：有已知在區間 上， y=f （ x ）是增函數，由于 y=f （ x ）是偶函數，其圖象關(guān)于 y 軸對稱(chēng)，那么在 上 y=f （ x ）是減函數，又由于 y=f （ x ）圖象關(guān)于直線(xiàn) x=2 對稱(chēng)，所以 y=f （ x ）在區間 上是增函數 所以結論錯誤

　　生 2 ：也可以借助于圖象（示意圖）證明 ③ 是錯誤的 ④ ：

　　生 3 ：由于 f （ x ）在區間 上是遞減的 ∴ f （ ） >f （ ） ∴ 結論錯誤

　　師：請同學(xué)們課后對問(wèn)題進(jìn)行延伸思考： 通過(guò)以上兩個(gè)例題，我們發(fā)現這樣一個(gè)結論： 如果 f （ x ）具備奇偶性，同時(shí) f （ x ）的圖象還關(guān)于某條直線(xiàn)對稱(chēng)，則 f （ x ）是周期函數，你認為這個(gè)結論成立嗎？請證明。

　　課堂總結：（師生共同完成） 要求對函數性質(zhì)有深刻的理解及三種數學(xué)語(yǔ)言的理解轉化 掌握代表變換的方法，體會(huì )數形結合、化歸思想在解題過(guò)程中的應用 進(jìn)一步培養學(xué)生的抽象思維能力 課堂檢測： 已知定義在 R 上的周期函數 y=f （ x ），周期 T=4 ，若 y=f （ x ）的圖象關(guān)于直線(xiàn) x=2 成軸對稱(chēng)圖形 求證： y=f （ x ）是偶函數

　　五、課后反思

　　這節課的教學(xué)環(huán)節，設計比較合理。特別是課前的復習導入，加強學(xué)生對數學(xué)的文字語(yǔ)言、符號語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言理解和相互轉換，為突破本節課的難點(diǎn)做了有益的鋪墊。 例 1 的三種解法和四種變化，從不同的角度和方面加深了學(xué)生對函數有關(guān)概念性質(zhì)的理解，對數學(xué)語(yǔ)言閱讀能力的培養，同時(shí)對提高他們的抽象思維能力是極有好處的 學(xué)生課堂上的反映熱烈，積極參與，回答問(wèn)題踴躍。特別是一些平時(shí)成績(jì)偏下的學(xué)生也積極發(fā)言，很想表現自己，渴望得到來(lái)勢和同學(xué)的認可�？磥�(lái)，如果平時(shí)也經(jīng)常關(guān)注這部分學(xué)生，多給他們成功的機會(huì )，調動(dòng)他們參與課堂的積極性，那么他們一定回愿意學(xué)，樂(lè )于學(xué)，學(xué)好的 從課堂小測反饋的情況看，有少數學(xué)生對這部分內容的掌握還有困難，不會(huì )閱讀，理解數學(xué)符號，因此運用起來(lái)感到比較困難，無(wú)從下手解題，因此對這部分學(xué)生還得加強課后的輔導督促其落實(shí) 課堂上程序基本上是老師設計安排好的，沒(méi)有讓學(xué)生發(fā)現問(wèn)題、提出問(wèn)題，從而解決問(wèn)題，這對培養學(xué)生的創(chuàng )新意識和能力是有礙的，這也是本人感到困惑的地方，在高三的復習時(shí)間緊迫的情況下，在課堂上，如何既讓學(xué)生有一定的時(shí)間體會(huì )探索，發(fā)散思維，甚至充分暴露思維的錯誤，又能按時(shí)完成課時(shí)進(jìn)度，落實(shí)各個(gè)知識點(diǎn)，不影響應試考試的成績(jì)。這實(shí)在是太難了��！

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