對VaR方法在證券基金的研究論文

對VaR方法在證券基金的研究論文

　　一、對正態(tài)性假設的檢驗

　　VaR(Value-at-Risk:風(fēng)險價(jià)值)是指在一定的置信度下,在一定的持有期內的最大可能損失。VaR有相對和絕對之分,絕對VaR是指相對于當前頭寸的最大可能損失,相對VaR是指相對于未來(lái)收益期望值的最大可能損失,不難發(fā)現,在未來(lái)收益零均值的假設條件下,絕對VaR與相對VaR是相等的。計算VaR值的方法有方差—協(xié)方差方法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法,其中方差—協(xié)方差方法以其簡(jiǎn)潔性、準確性而更多地被采用,J.P.Morgan集團推出的名為RiskMetrics的方法和數據為運用方差—協(xié)方差方法計算VaR提供了極大的便利,但是這種方法通常假設幾何收益率服從獨立異方差的正態(tài)分布,即:rt=㏑Pt-㏑Pt-1~N(0,σt2)(1)其中rt為幾何收益率,即對數價(jià)格變化,它與算術(shù)收益率Rt=(Pt-Pt-1)/Pt-1的關(guān)系為rt=㏑(Pt/Pt-1)=㏑(Rt+1),用Taylor級數展開(kāi),取一階近似,可得rt≈Rt,但幾何收益率具有比算術(shù)收益率更好的性質(zhì),所以此處常用幾何收益率表示;Pt為t期價(jià)格,隨著(zhù)時(shí)間改變而波動(dòng);0表示的是收益率的零均值假設,顯然此時(shí)絕對VaR等于相對VaR;σt為收益率的標準差,這里考慮了標準差的時(shí)變性。這個(gè)公式反映的就是收益率的正態(tài)性假設。在對很多金融工具的收益情況進(jìn)行分析時(shí),發(fā)現這種正態(tài)性假設存在偏誤,因為大多數金融資產(chǎn)收益的實(shí)際分布相對于正態(tài)分布而言具有厚尾的特征,這里就將對中國私募證券基金收益率進(jìn)行正態(tài)性檢驗。此處正態(tài)性檢驗中價(jià)格的波動(dòng)使用的是融智·中國對沖基金指數的變動(dòng),并據此計算收益率,采用2007年1月至2012年6月的月度統計數據,共66個(gè)收益率數據,其時(shí)變標準差采用周期為12個(gè)月的收益率進(jìn)行估算,即:σt=,(2)也就是用過(guò)去12個(gè)月的數據估計未來(lái)一期的標準差,從而可以消除月份、季節等變化的影響,這樣可以計算出2008年1月至2012年6月共54個(gè)月的標準差數值。以這些數據為基礎,以下將進(jìn)行三個(gè)方面的檢驗,分別為VaR與實(shí)際損益的對比檢驗、正態(tài)分布的假設檢驗以及偏度和峰度檢驗。

　　(一)VaR與實(shí)際損益的對比檢驗

　　假設資產(chǎn)頭寸為1,則VaR值表示的是最大可能損失占總資產(chǎn)的比重,而收益率表示的是實(shí)際損益占總資產(chǎn)的比重,所以此處就將這兩個(gè)比例進(jìn)行比較,以檢驗基于正態(tài)性假設的VaR值對風(fēng)險的估計精確度,這里與收益率對比的VaR為絕對VaR。根據VaR的定義,對于給定的置信水平(1-c),有:P(rt<-VaR)=c,(3)經(jīng)標準化變換,則:(4)由于:(5)可解得:(6)其中為標準正態(tài)分布的下c分位數。根據已有數據,可以計算出2008年1月至2012年6月共54個(gè)月的VaR值。下表列出了4個(gè)不同置信度下的VaR值與實(shí)際損失的對比情況:從表1中不難發(fā)現,在各個(gè)置信度下實(shí)際損失超過(guò)VaR的比例都大于理論損失超過(guò)VaR的比例,這意味著(zhù)存在風(fēng)險低估的問(wèn)題。整體來(lái)說(shuō),實(shí)際損失超過(guò)VaR的平均比例為6.02%(=(7+3+2+1)/(54×4)),大于理論上的平均超過(guò)比例4.63%(=(10+5+2.5+1)/(4×100)),可知基于正態(tài)假設的VaR對整體風(fēng)險也是低估的。這說(shuō)明收益的實(shí)際分布與正態(tài)分布相比具有厚尾性。

　　(二)正態(tài)分布的假設檢驗

　　通過(guò)以上的對比檢驗可知,正態(tài)性假設并沒(méi)有完全扭曲收益率的現實(shí)分布,只是存在一定程度上的誤差,正態(tài)性假設在中國私募證券基金收益率分布上的合理性如何,下面將分別對正態(tài)分布以及其均值和方差進(jìn)行假設檢驗。為了便于檢驗,首先對收益率數據按其均值和對應標準差實(shí)行標準化變換,如上式(5)所示,則原檢驗問(wèn)題轉變?yōu)闃藴驶�收益率服從標準正態(tài)分布的檢驗問(wèn)題,受假設檢驗數據限制,選取2008年5月至2012年6月共50個(gè)標準化收益率數據,選擇顯著(zhù)性水平=0.05,則對其正態(tài)性、均值和方差三方面的假設檢驗結果如下通過(guò)表2可知中國私募證券基金收益率的正態(tài)性假設具有一定的合理性,并且其時(shí)變方差的假設也較合理,但不能據此認為其收益率一定服從正態(tài)分布,只能說(shuō)實(shí)際分布與正態(tài)分布相似度較高或者偏差不大,下面將用偏度檢驗與峰度檢驗來(lái)具體考察它與正態(tài)分布的偏差。

　　(三)偏度檢驗與峰度檢驗

　　偏度檢驗與峰度檢驗是兩種重要的非正態(tài)性檢驗,并且偏度系數和峰度系數的正負和大小可以說(shuō)明實(shí)際分布偏離正態(tài)分布的位置和程度。以下還將使用2008年5月至2012年6月的50個(gè)標準化收益率數據進(jìn)行檢驗。先進(jìn)行偏度檢驗,取顯著(zhù)性水平=0.05,則根據臨界值可知,正態(tài)分布的拒絕域為:{SK:0.53},經(jīng)計算可得偏度系數SK=-0.371,在拒絕域之外,因此不能拒絕正態(tài)性假設,再用標準誤對其進(jìn)行考察,偏度系數標準誤,偏度系數落在2倍標準誤之內,即(-0.692,0.692),說(shuō)明標準化收益率具有較好的對稱(chēng)性。接下來(lái)進(jìn)行峰度檢驗,但是峰度檢驗只宜用于樣本數據n≥1000的情形,所以這里只用標準誤對其進(jìn)行考察,峰度系數標準誤,峰度系數K=-0.336,落在2倍標準誤之內,即(-1.386,1.386),滿(mǎn)足了正態(tài)性標準,但是K<0,說(shuō)明實(shí)際分布相對于正態(tài)分布更為扁平。經(jīng)過(guò)偏度檢驗和峰度檢驗,仍舊無(wú)法拒絕正態(tài)性假設,再次證明了正態(tài)性假設具有其合理性,但是通過(guò)峰度系數的符號可知,標準化后的收益率具有比正態(tài)分布扁平的特征。綜合以上三方面的檢驗可知,中國私募證券基金收益率基本滿(mǎn)足方差時(shí)變的正態(tài)分布,但也發(fā)現實(shí)際分布相對于正態(tài)分布具有扁平、厚尾的特征,從而導致使用正態(tài)性假設會(huì )對風(fēng)險有所低估,因此需要采用更合理的分布假設對其進(jìn)行模擬。t分布正好滿(mǎn)足了與標準正態(tài)分布相似且具有扁平、厚尾等特征,如圖1所示,所以以下將嘗試用t分布假設來(lái)修正正態(tài)分布假設,并求出中國私募證券基金收益率經(jīng)標準化后所服從t分布的自由度。

　　二、t分布假設

　　現在假設經(jīng)標準化后的收益率服從t分布,而非標準正態(tài)分布,即:各符號表示的含義與前面相同,其中n為t分布的自由度,是一個(gè)待定參數,確定n的原則是使t分布假設盡可能準確地估計中國私募證券基金的風(fēng)險值�；�于t分布假設的VaR值計算方法也與前面類(lèi)似,只是以(7)式代替(5)式,最后解得:其中為t(n)分布的下c分位數。以下將使用中國私募證券基金2008年1月至2012年6月共54個(gè)標準化收益率數據求解t分布的自由度,并分析用t分布假設修正正態(tài)性假設的合理性。首先,t分布假設要對不同置信度下VaR值的總體估計準確,則在90%、95%、97.5%和99%的置信度下實(shí)際損失超過(guò)VaR的平均比例應等于其理論比例,即4.63%,可得4個(gè)不同置信度下實(shí)際損失超過(guò)VaR的總月數為10(=54×4×4.63%),如果假設對應于90%、95%、97.5%和99%置信度分別有n1個(gè)月、n2個(gè)月、n3個(gè)月和n4個(gè)月超過(guò),則有:n1+n2+n3+n4=10,(9)其中n1、n2、n3、n4均為非負整數。其次,還要保證不同置信度下的VaR值分別估計盡可能準確,既不高估,也不低估,即要求的值都盡可能最小,由于n1、n2、n3、n4之間有(9)式的制約關(guān)系,所以可以構造函數:,(10)則要求Q的值盡量小。聯(lián)立(9)、(10)解出使Q盡量小的前6組解如下表:理論上是Q的值越小越好,但在現實(shí)中不一定能實(shí)現,因為n1、n2、n3、n4對應的是90%、95%、97.5%和99%置信度下實(shí)際損失超過(guò)VaR的月數,不一定存在自由度n使4個(gè)置信度下實(shí)際超過(guò)的個(gè)數與某一組解完全吻合,例如解①,根據t分布假設下VaR的計算可知,使n1=5、n2=3、n3=1、n4=1的自由度n取值范圍分別是[6,11]、[17,45]、[7,14]和[1,45]2,它們的交集為空,所以第1組解沒(méi)有與之對應的n值。運用同樣的方法,可得前5組解均沒(méi)有n值,第6組解在n=15或16時(shí)成立,從而這是使Q盡量小的最優(yōu)解。由上述討論可知,自由度為15或16的t分布能最優(yōu)擬合中國私募證券基金標準化收益率的分布特點(diǎn),并且它優(yōu)于正態(tài)分布,一是因為它對不同置信度下整體風(fēng)險的估計更精確,實(shí)際損失超過(guò)VaR的平均比例為4.63%(=(6+2+2+0)/(54×4)),與理論值相等,二是因為它在各個(gè)置信度下的分別風(fēng)險估計也更準確,Q=0.000536,相對于正態(tài)性假設下Q=0.001126要小得多,因此在中國私募證券基金VaR值的計算中收益率的t分布假設比正態(tài)性假設更合理。

　　三、結論

　　以上運用融智·中國對沖基金指數分析了VaR方法在中國私募證券基金風(fēng)險管理中的應用及其局限性,著(zhù)重對收益率的正態(tài)性假設進(jìn)行了探討,發(fā)現自由度為15或16的t分布能比正態(tài)分布更好地模擬中國私募證券基金收益率的分布特點(diǎn),這與Jorion在其著(zhù)作《風(fēng)險價(jià)值VaR》中提到的典型金融工具t分布自由度為6的假設有所不同,這可能與中國私募證券基金獨特的運作方式與發(fā)展環(huán)境有關(guān)。

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