第三單元《公倍數和公因數》教材分析

第三單元《公倍數和公因數》教材分析

　　在四年級（下冊）教材里，學(xué)生已經(jīng)建立了倍數和因數的概念，會(huì )找10以?xún)茸匀粩档谋稊担?00以?xún)茸匀粩档囊驍�。本單元繼續教學(xué)倍數和因數的知識，要理解公倍數、最小公倍數和公因數、最大公因數的意義，學(xué)會(huì )找兩個(gè)數的最小公倍數和最大公因數的方法。為以后進(jìn)行通分、約分和分數四則計算作準備。全單元的教學(xué)內容分三部分編排。

　　第22~25頁(yè)教學(xué)公倍數。主要是兩個(gè)數的公倍數、最小公倍數的意義，求最小公倍數的方法。

　　第26~31頁(yè)教學(xué)公因數。包括兩個(gè)數的公因數、最大公因數的意義，求最大公因數的方法。在練習五里還安排了最小公倍數與最大公因數的比較。

　　第32~36頁(yè)實(shí)踐與綜合應用。利用郵政編碼、身份證號碼等實(shí)例，教學(xué)用數字編碼表示信息。

　　在“你知道嗎”里，介紹了我國古代曾經(jīng)用“輾轉相除法”求最大公因數，也介紹了現代人們經(jīng)常用“短除法”求兩個(gè)數的最大公因數和最小公倍數。在閱讀這篇材料后，如果學(xué)生愿意用短除法求兩個(gè)數的最大公因數或最小公倍數，是允許的。但是，不要求全體學(xué)生掌握和使用短除法。編排的一道思考題，是可以用公因數知識解決的實(shí)際問(wèn)題。

　　1?在現實(shí)的情境中教學(xué)概念，讓學(xué)生通過(guò)操作領(lǐng)會(huì )公倍數、公因數的含義。

　　例1教學(xué)公倍數和最小公倍數，例3教學(xué)公因數和最大公因數，都是形成新的數學(xué)概念，都讓學(xué)生在操作活動(dòng)中領(lǐng)會(huì )概念的含義。

　　例1先用長(cháng)3厘米、寬2厘米的長(cháng)方形紙片，分別鋪邊長(cháng)6厘米和8厘米的正方形，發(fā)現正好鋪滿(mǎn)邊長(cháng)6厘米的正方形，不能正好鋪滿(mǎn)邊長(cháng)8厘米的正方形，并從長(cháng)方形紙片的長(cháng)、寬和正方形邊長(cháng)的關(guān)系，對鋪滿(mǎn)和不能鋪滿(mǎn)的原因作出解釋。再想像這張長(cháng)方形紙片還能正好鋪滿(mǎn)哪些正方形，從倍數的角度總結規律，為形成新的數學(xué)概念積累豐富的感性材料。然后揭示公倍數與最小公倍數的含義，把感性認識提升成理性認識。

　　教材選擇長(cháng)方形紙片鋪正方形的活動(dòng)教學(xué)公倍數，是因為這一活動(dòng)能吸引學(xué)生發(fā)現和提出問(wèn)題，能引導學(xué)生思考。學(xué)生用同一張長(cháng)方形紙片鋪兩個(gè)不同的正方形，面對出現的兩種結果，會(huì )提出“為什么有時(shí)正好鋪滿(mǎn)、有時(shí)不能”，“什么時(shí)候正好鋪滿(mǎn)、什么時(shí)候不能”這些有研究?jì)r(jià)值的問(wèn)題。他們沿著(zhù)正方形的邊鋪長(cháng)方形紙片，就會(huì )想到正好鋪滿(mǎn)與不能正好鋪滿(mǎn)的原因可能和邊長(cháng)有關(guān)，于是產(chǎn)生進(jìn)一步研究正方形邊長(cháng)和長(cháng)方形長(cháng)、寬之間關(guān)系的愿望。

　　分析正方形的邊長(cháng)和長(cháng)方形長(cháng)、寬之間的關(guān)系，按學(xué)生的認知規律，設計成兩個(gè)層次：第一個(gè)層次聯(lián)系鋪的過(guò)程與結果，從兩個(gè)正方形的邊長(cháng)除以長(cháng)方形的長(cháng)、寬沒(méi)有余數和有余數的層面上，體會(huì )正好鋪滿(mǎn)與不能正好鋪滿(mǎn)的原因。第二個(gè)層次根據正好鋪滿(mǎn)邊長(cháng)6厘米的正方形、不能正好鋪滿(mǎn)邊長(cháng)8厘米的正方形的經(jīng)驗，聯(lián)想還能正好鋪滿(mǎn)邊長(cháng)是幾厘米的正方形。先找到這些正方形，把它們的邊長(cháng)從小到大排列，知道這樣的正方形有無(wú)數多個(gè)。再用“既是2的倍數，又是3的倍數”概括地描述這些正方形邊長(cháng)的特征。顯然，前一層次形象思維的成分較大，思考難度較小，對后一層次的抽象認識有重要的支持作用。

　　讓學(xué)生在現實(shí)情境中，通過(guò)活動(dòng)領(lǐng)悟公倍數的含義，不僅體現在例題的教學(xué)中，還落實(shí)到練習里。第23頁(yè)“練一練”在2的倍數上畫(huà)“?”，在5的倍數上畫(huà)“○”。從數表里的10、20、30三個(gè)數既畫(huà)了“?”又畫(huà)了“○”，體會(huì )它們既是2的倍數，又是5的倍數，是2和5的公倍數。練習四第4、7、8題都是與公倍數有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)涂顏色、填表格、圈日期等活動(dòng)體會(huì )公倍數的含義。

　　例3教學(xué)公因數、最大公因數的含義，也通過(guò)“鋪”的活動(dòng)組織教學(xué)。與例1不同的是，例3用2張邊長(cháng)不同的正方形紙片分別去鋪同一個(gè)長(cháng)方形，是形成公因數概念的需要。例題編寫(xiě)和練習編排與教學(xué)公倍數相似，這里不再重復。

　　2?突出概念的內涵、外延，讓學(xué)生準確理解概念。

　　概念的內涵是指這個(gè)概念所反映的一切對象的共同的本質(zhì)屬性。公倍數是幾個(gè)數公有的倍數，公因數是幾個(gè)數公有的因數，可見(jiàn)“幾個(gè)數公有的”是公倍數和公因數這兩個(gè)概念的本質(zhì)屬性。在倍數、因數的基礎上教學(xué)公倍數、公因數，關(guān)鍵在于突出“公有”的含義。

　　教材用“既是......又是......”的描述，讓學(xué)生理解“公有”的意思。例1先聯(lián)系長(cháng)3厘米、寬2厘米的長(cháng)方形紙片正好鋪滿(mǎn)邊長(cháng)6厘米、12厘米、24厘米......的正方形這些現象，從正方形的邊長(cháng)分別除以長(cháng)方形紙的長(cháng)和寬都沒(méi)有余數，得出正方形的邊長(cháng)“既是2的倍數，又是3的倍數”，一方面概括了這些正方形邊長(cháng)的特點(diǎn)，另一方面讓學(xué)生體會(huì )“既是......又是......”的意思。然后在“6、12、18、24......既是2的倍數，又是3的倍數，它們是2和3的公倍數”這句話(huà)里把“既是......又是......”進(jìn)一步概括為“公倍數”，形成公倍數的概念。

　　集合圖能直觀(guān)形象地顯示公倍數、公因數的含義。第23頁(yè)把6的倍數與9的倍數分別寫(xiě)到兩個(gè)集合圈里，這兩個(gè)集合圈有一部分重疊，在重疊部分里寫(xiě)的數既是6的倍數，也是9的倍數，是6和9的公倍數。先觀(guān)察這個(gè)集合圖，再填寫(xiě)第24頁(yè)的集合圖，學(xué)生能進(jìn)一步體會(huì )公倍數的含義。

　　概念的外延是指這個(gè)概念包括的一切對象。對具體事例是否屬于概念作出判斷，就是識別概念的外延，加強對概念的認識。例1在揭示2和3的公倍數的概念，指出它們的公倍數是6、12、18、24......后，提出“8是2和3的公倍數嗎”這個(gè)問(wèn)題，利用反例凸現公倍數的含義。讓學(xué)生明白8只是2的倍數，不是3的倍數，從而進(jìn)一步明確公倍數的概念。練習四第4題先在表格里分別寫(xiě)出4、5、6的倍數，再尋找4和5、5和6、4和6的公倍數，也有助于學(xué)生識別概念的外延。

　　3?運用數學(xué)概念，讓學(xué)生探索找兩個(gè)數的最小公倍數、最大公因數的方法。

　　本單元只教學(xué)兩個(gè)數的公倍數、最小公倍數和兩個(gè)數的公因數、最大公因數。因為這些是最基礎的數學(xué)知識，在約分和通分時(shí)應用最多。只要這些基礎知識扎實(shí)，即使遇到三個(gè)分數的通分，學(xué)生也能靈活處理。不編排例題教學(xué)短除法求最小公倍數和最大公因數，而是采用寫(xiě)出兩個(gè)數的倍數或因數，找出它們的最小公倍數或最大公因數的方法。這樣安排的目的是，在運用概念解決問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步加強數學(xué)概念的教學(xué)。

　　例2教學(xué)求兩個(gè)數的最小公倍數，出現了多種解決問(wèn)題的方法，這些方法的思路都出自公倍數和最小公倍數的概念，從6和9的公倍數、最小公倍數的意義引發(fā)出來(lái)。學(xué)生可能先分別寫(xiě)出6和9的倍數，再找出它們的公倍數和最小公倍數。由于倍數需一個(gè)一個(gè)地寫(xiě)，還要逐個(gè)逐個(gè)地比，所以得出公倍數和最小公倍數比較慢。學(xué)生也可能在9的倍數里找6的倍數，只要依次想出9的倍數（即9×1、9×2、9×3......的積），逐一判斷是不是6的倍數，操作比較方便。尤其求兩個(gè)較小數（不超過(guò)10）的最小公倍數時(shí)，更能顯出這種方法的優(yōu)點(diǎn)。當然，在6的倍數里找9的倍數，也是一種方法，但沒(méi)有9的倍數里找6的倍數快捷。教材安排學(xué)生在交流中體會(huì )各種方法，首先是理解各種方法的共同點(diǎn)，都在尋找既是6的倍數、又是9的倍數，而且是盡量小的那個(gè)數。然后是理解各種方法的個(gè)性特點(diǎn)，從中作出自己的選擇。

　　例4求兩個(gè)數的最大公因數，教學(xué)方法和例2相似。求8和12的最大公因數的幾種方法中，教材呈現的第一種方法比較適宜多數學(xué)生。因為一個(gè)數的因數的個(gè)數是有限的，先寫(xiě)出兩個(gè)數的全部因數，再找出最大公因數，操作不麻煩。第二種方法從小到大依次想較小數的因數，稍不留心就會(huì )遺漏某一個(gè)因數。練習五編排第3題的意圖就在于此。

　　練習四第5題在初步學(xué)會(huì )求兩個(gè)數的最小公倍數之后安排，兩個(gè)色塊分別呈現最小公倍數的兩種特殊情況。左邊的色塊里，每組的兩個(gè)數之間有倍數與因數關(guān)系，它們的最小公倍數是較大的那個(gè)數。右邊的色塊里，每組兩個(gè)數的最小公倍數是它們的乘積。練習五第6題是初步會(huì )求兩個(gè)數的最大公因數后安排的。左邊色塊里，每組的兩個(gè)數之間也有倍數與因數的關(guān)系，它們的最大公因數是較小的那個(gè)數。右邊色塊里，每組兩個(gè)數的最大公因數是1。這些特殊情況，在通分和約分時(shí)會(huì )經(jīng)常出現。教學(xué)時(shí)可以按色塊進(jìn)行，先分別求出同一色塊四組數的最小公倍數或最大公因數，再找出相同的特點(diǎn)，通過(guò)交流內化成求最小公倍數和最大公因數的技能。要注意的是，學(xué)生有倍數與因數的知識，能夠理解同組兩個(gè)數之間的倍數、因數關(guān)系，以及它們的最小公倍數和最大公因數的規律。由于新教材不講互質(zhì)數，也不教短除法，所以?xún)蓚�(gè)互質(zhì)數的最小公倍數是它們的乘積、最大公因數是1，這些特殊情況，只能在具體對象中感受，不宜深入研究原因，更不要出結語(yǔ)讓學(xué)生記憶。第9題分別寫(xiě)出1、2、3、4......20這些數與3、2、4、5的最大公因數，在發(fā)現有趣規律的同時(shí)，也在感受兩個(gè)數的最大公因數的兩種特殊情況。

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