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初中數學(xué)教材中的化歸思想剖析
“問(wèn)題是數學(xué)的心臟”，數學(xué)問(wèn)題的解決是數學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，而幾乎所有問(wèn)題的解決都離不開(kāi)化歸，只是所體現的形式有所不同。計算題是利用規定的運算法則進(jìn)行化歸，證明題是利用公理、定理或已經(jīng)證明了的命題進(jìn)行化歸，應用題利用數學(xué)模型化歸，……因此，可以說(shuō)，離開(kāi)了化歸，數學(xué)問(wèn)題將無(wú)法解決，化歸是解決數學(xué)問(wèn)題的最基本的手段之一。而通過(guò)一定的轉化過(guò)程，把待解決的問(wèn)題轉化為已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題或這類(lèi)問(wèn)題的某種組合，這種思想被稱(chēng)之為“化歸思想”。
在整個(gè)初中數學(xué)教材中無(wú)處不滲透著(zhù)化歸思想，我們時(shí)常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數運算化為乘法運算，把幾何問(wèn)題化為代數問(wèn)題，化無(wú)理為有理等，可以說(shuō)在初中的數學(xué)教材中，每一冊都有較多問(wèn)題的解決需要用化歸的思想方法來(lái)完成，而在歷年的中考題中許多壓軸題的解決也需要用化歸的思想方法來(lái)完成，所以這種數學(xué)思想是初中數學(xué)中解決問(wèn)題的一種非常重要的數學(xué)思想。
化歸思想的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)新問(wèn)題進(jìn)行變形，使其轉化為另一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而使原來(lái)的問(wèn)題得到解決。其一般模式是把所要解決的問(wèn)題A經(jīng)過(guò)某種變化，使之歸結為另一個(gè)問(wèn)題A*，再通過(guò)問(wèn)題A*的求解，把解得的結果還原于原有問(wèn)題A，從而使原有問(wèn)題得解。
化歸思想包含三個(gè)要素：化歸的對象、化歸的方向和化歸的方式方法。要正確運用化歸思想，就要分清化歸的對象，明確要化歸的方向，考慮實(shí)施化歸的方法。本文主要從化歸的方向對初中教材中的化歸思想進(jìn)行舉例分析。
從化歸的方向上來(lái)看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：
一、新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊的轉化
在初中數學(xué)教材中，有許多新知識的獲得或新問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉化為已知知識或已解決的問(wèn)題來(lái)完成的，也就是將新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊轉化，從而使問(wèn)題得到解決。下面就以解方程為例來(lái)分析這種化歸的方向。
1、消元降次化歸，實(shí)現新知識向已知知識點(diǎn)的轉化
(1)降次化歸解一元方程
解一元二次方程時(shí)有以下四種基本解法：
a、如果方程的一邊是關(guān)于X的完全平方式，另一邊是個(gè)非負的常數，則根據平方根的意義將形如方程轉化為兩個(gè)一次方程進(jìn)而得解，此為開(kāi)平方。
b、如果將方程通過(guò)配方恒等變形，一邊化為含未知數的完全平方式，另一邊為非負的常數，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。
c、如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個(gè)一次因式之積，就可以得到兩個(gè)因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。
d、如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。
縱觀(guān)以上四種方法，不難發(fā)現，方法一即所謂開(kāi)平方法，它是依據平方根的意義將二次方程轉化為一次方程，完成了由“二次”向“一次”的轉化。方法二中的“配方”僅完成了方程的恒等變形，把問(wèn)題轉移到“可開(kāi)方”上來(lái)，并未完成“降次轉化”這一實(shí)質(zhì)性工作，但已經(jīng)為“二次”向“一次”轉化創(chuàng )造了條件，因而習慣上稱(chēng)之為“配方法”，配方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)轉化為開(kāi)平方來(lái)解決的。方法三即因式分解法，其理論依據是“若干個(gè)因式之積為零時(shí)，則其中至少有一個(gè)因式為零”，據此，也順利地實(shí)現了由“二次”轉化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法，對一般的一元二次方程,通過(guò)配方,轉化為開(kāi)平方求得一般結論,即求根公式。公式法以強調結論，應用結果為前提，而省略了公式的探究過(guò)程，實(shí)際上已將解方程轉化成為代數式的求值問(wèn)題，而公式的得到則是化歸思想的典型體現。
從以上分析不難看到：將“一元二次”這個(gè)新知識點(diǎn)轉化為“一元一次”這個(gè)已知知識點(diǎn)之際，也就是順利求解一元二次方程之時(shí)。因此，應用化歸思想降次轉化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。
而對于高次方程，初中教材中的都是簡(jiǎn)單的一元高次方程，這類(lèi)方程根據具體方程的特殊性可以通過(guò)一些常規的數學(xué)方法把它們轉化為一元一次方程或一元二次方程，即完成從新知識點(diǎn)到已知知識點(diǎn)的降次化歸過(guò)程，從而使此類(lèi)方程問(wèn)題得到解決。
(2)消元降次化歸解方程組
解二元一次方程組，其基本方法是通過(guò)加減消元或是代入消元轉化為一元一次方程，即完成從新知識點(diǎn)到已知知識點(diǎn)的轉化，從而得到求解。三元一次方程組，也通過(guò)消元，轉化為二元一次方程組，再進(jìn)一步轉化為一元一次方程，從而使問(wèn)題得解。而對于二元二次方程組，如果要解的二元二次方程組是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程構成的，那么直接先消元轉化為一個(gè)一元二方程就可以求解了。如果要解的二元二次方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，則既要消元，又要降次，需轉化為兩個(gè)分別含有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組或四個(gè)二元一次方程組，即完成由新知識向已知知識的轉化，從而使二元二次方程組得到求解。
2、分式方程整式化、無(wú)理方程有理化,實(shí)現新知識向已知知識塊的轉化
初中新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級上，后者安排在八年級下。從此可以看出把分式方程轉化為整式方程這一已知的知識模塊是解分式方程的基本思路。初中教材中的無(wú)理方程基本上都可以通過(guò)對方程兩邊進(jìn)行平方或是換元把它轉化為整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，從而使無(wú)理方程轉化為有理方程這一已知的模塊，從而得到求解。這里需要注意的是在分式方程整式化、無(wú)理方程有理化的變形過(guò)程中,有可能不是恒等變形，可能產(chǎn)生增根，所以分式方程和無(wú)理方程都必須要驗根。
縱觀(guān)整個(gè)初中教材，不難發(fā)現除了解方程問(wèn)題，還有許多知識的轉化都屬于新知識向已知知識點(diǎn)或知識塊的轉化，如:異分母分數的加減法，通過(guò)通分轉化成同分母分數的加減法;多邊形的內角和問(wèn)題轉化為三角形的內角和來(lái)解決、梯形的中位線(xiàn)問(wèn)題轉化為三角形的中位線(xiàn)來(lái)解決等，可以說(shuō)初中教材中運用化歸思想來(lái)解決的問(wèn)題其化歸的方向大部分都屬于這種類(lèi)型。
二、一般情況向特殊情況的轉化
在解決數學(xué)問(wèn)題中除了上述的化歸方向外，還有一類(lèi)化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問(wèn)題，然后通過(guò)恰當的化歸方法把一般情況下的問(wèn)題轉化為特殊情況下的問(wèn)題來(lái)解決，這也是解決新問(wèn)題獲得新知識的一種重要的化歸方向。
一般解題時(shí)先解決特殊條件或特殊情況下的問(wèn)題，然后通過(guò)恰當的化歸方法把一般情況下的問(wèn)題轉化為特殊情況下的問(wèn)題來(lái)解決，這也是順利解決某些問(wèn)題的一種重要的化歸方向，特別是在中考題的最后一題中，往往也有許多時(shí)候是需要先解決特殊條件下的問(wèn)題，然后再通過(guò)化歸把一般情況下的問(wèn)題轉化為特殊條件下的情形來(lái)解決，所以這種化歸方向在獲得新知識解決新問(wèn)題的過(guò)程中也發(fā)揮著(zhù)非常重要的作用。
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