常微分方程知識點(diǎn)總結

常微分方程知識點(diǎn)總結

　　常微分方程知識點(diǎn)你學(xué)得怎么樣呢？下面是小編整理的常微分方程知識點(diǎn)總結，歡迎大家閱讀！

　　微分方程的概念

　　方程對于學(xué)過(guò)中學(xué)數學(xué)的人來(lái)說(shuō)是比較熟悉的；在初等數學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線(xiàn)性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問(wèn)題中的已知數和未知數之間的關(guān)系找出來(lái)，列出包含一個(gè)未知數或幾個(gè)未知數的一個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。

　　但是在實(shí)際工作中，常常出現一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問(wèn)題。比如：物質(zhì)在一定條件下的運動(dòng)變化，要尋求它的運動(dòng)、變化的規律；某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規律；火箭在發(fā)動(dòng)機推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等。

　　物質(zhì)運動(dòng)和它的變化規律在數學(xué)上是用函數關(guān)系來(lái)描述的，因此，這類(lèi)問(wèn)題就是要去尋求滿(mǎn)足某些條件的一個(gè)或者幾個(gè)未知函數。也就是說(shuō)，凡是這類(lèi)問(wèn)題都不是簡(jiǎn)單地去求一個(gè)或者幾個(gè)固定不變的數值，而是要求一個(gè)或者幾個(gè)未知的函數。

　　解這類(lèi)問(wèn)題的基本思想和初等數學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問(wèn)題中已知函數和未知函數之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數的表達式。但是無(wú)論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面，都和初等數學(xué)中的解方程有許多不同的地方。

　　在數學(xué)上，解這類(lèi)方程，要用到微分和導數的知識。因此，凡是表示未知函數的導數以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。

　　微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數學(xué)家耐普爾創(chuàng )立對數的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對簡(jiǎn)單的微分方程用級數來(lái)求解。后來(lái)瑞士數學(xué)家雅各布?貝努利、歐拉、法國數學(xué)家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

　　常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復變函數、李群、組合拓撲學(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。

　　牛頓研究天體力學(xué)和機械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運動(dòng)規律。后來(lái)，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當斯使用微分方程各自計算出那時(shí)尚未發(fā)現的海王星的位置。這些都使數學(xué)家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。

　　微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數學(xué)分支。

　　常微分方程的內容

　　如果在一個(gè)微分方程中出現的未知函數只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程就叫做常微分方程，也可以簡(jiǎn)單地叫做微分方程。

　　一般地說(shuō)，n階微分方程的解含有n個(gè)任意常數。也就是說(shuō)，微分方程的解中含有任意常數的個(gè)數和方程的解數相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構成一個(gè)函數族。

　　如果根據實(shí)際問(wèn)題要求出其中滿(mǎn)足某種指定條件的解來(lái)，那么求這種解的問(wèn)題叫做定解問(wèn)題，對于一個(gè)常微分方程的滿(mǎn)足定解條件的解叫做特解。對于高階微分方程可以引入新的未知函數，把它化為多個(gè)一階微分方程組。

　　常微分方程的特點(diǎn)

　　常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類(lèi)及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點(diǎn)簡(jiǎn)述一下，以了解常微分方程的特點(diǎn)。

　　求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問(wèn)題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數的依賴(lài)情況，便于參數取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。

　　后來(lái)的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實(shí)際應用中所需要的多是求滿(mǎn)足某種指定條件的特解。當然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點(diǎn)轉移到定解問(wèn)題上來(lái)。

　　一個(gè)常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個(gè)呢？這是微分方程論中一個(gè)基本的問(wèn)題，數學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒(méi)有解，而我們要去求解，那是沒(méi)有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。

　　大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當然，這個(gè)近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出，用來(lái)描述物理過(guò)程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。

　　現在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內有著(zhù)重要的應用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學(xué)反應過(guò)程穩定性的研究等。這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。應該說(shuō)，應用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿(mǎn)足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門(mén)學(xué)科的理論更加完善。

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