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關(guān)于函數與方程的知識點(diǎn)總結
知識的確是天空中偉大的太陽(yáng)，它那萬(wàn)道光芒投下了生命，投下了力量。下面小編給大家分享一些高中數學(xué)函數知識點(diǎn)，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
方程的根與函數的零點(diǎn)
1、函數零點(diǎn)的概念：對于函數，把使成立的實(shí)數叫做函數的零點(diǎn)。
2、函數零點(diǎn)的意義：函數的零點(diǎn)就是方程實(shí)數根，亦即函數的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標。即：
方程有實(shí)數根函數的圖象與軸有交點(diǎn)函數有零點(diǎn).
3、函數零點(diǎn)的求法：
求函數的零點(diǎn)：
1(代數法)求方程的實(shí)數根;
2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數的性質(zhì)找出零點(diǎn).
二次函數的零點(diǎn)：
二次函數.
1)△>0，方程有兩不等實(shí)根，二次函數的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數有兩個(gè)零點(diǎn).
2)△=0，方程有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).
3)△<0，方程無(wú)實(shí)根，二次函數的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數無(wú)零點(diǎn).
函數
1. 常量與變量
數值發(fā)生變化的量叫變量，
數值始終不變的量叫常量。
函數定義：
在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數。
3.函數的圖象：對于一個(gè)函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點(diǎn)的橫坐標和縱坐標，那么坐標平面內由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數的圖象。
4.描點(diǎn)法畫(huà)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)
5.函數的三種表示方法：列表法、 解析式法、 圖像法
一次函數
1.一次函數與正比例函數的概念
一次函數：一般地，如果y＝ k x＋b (k、b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數。
正比例函數：特別地，當b＝____時(shí)，一次函數y＝k x＋b變?yōu)閥＝ _____(k為常數，k≠0)，這時(shí)y叫做x的正比例函數。
2.分段函數
當自變量的取值范圍不同時(shí)，函數的解析式也不同，這樣的函數稱(chēng)為分段函數。
3.一次函數的圖象與性質(zhì)
4.用待定系數法求一次函數的解析式
求一次函數解析式的一般步驟：
�。�1）先設出函數解析式；
�。�2）根據條件列關(guān)于待定系數的方程（組）；
�。�3）解方程（組）求出解析式中未知的系數；
�。�4）把求出的系數代入設的解析式，從而具體寫(xiě)出這個(gè)解析式.這種求解析式的方法 叫待定系數法。
5.一次函數與方程、不等式
(1)一次函數與一元一次方程
求ax+b=0(a，b是常數，a≠0)的解；從“數”的角度看，x為何值時(shí)，函數y= ax+b的值為0？
求ax+b=0(a, b是常數，a≠0)的解；從“形”的角度看，求直線(xiàn)y= ax+b，與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標。
(2)一次函數與一元一次不等式
解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0) ；從“數”的角度看，x為何值時(shí)，函數y= ax+b的值大于0？
解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0) ；從“形”的角度看，求直線(xiàn)y= ax+b在 x軸
上方的部分（射線(xiàn)）所對應的橫坐標的取值范圍。
(3)一次函數與二元一次方程組
一般地，任何一個(gè)二元一次方程都可以轉化為一次函數y=kx+b(k、b為常數，且k≠0)的形式，所以每個(gè)二元一次方程都對應一個(gè)一次函數，也對應一條直線(xiàn)。
方程組的解 =對應兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的坐標。
方法總結：
1.利用函數的圖象解決實(shí)際問(wèn)題，正確理解函數圖象橫縱坐標表示的意義，理解問(wèn)題的過(guò)程，能夠通過(guò)圖象得到函數問(wèn)題的相應解決．
2.一次函數的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標就是y=kx+b中b的值；兩條直線(xiàn)平行，其函數解析式中的自變量系數k相等；當k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小.
3.一次函數與一元一次不等式，從函數的角度看，就是尋求一次函數y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線(xiàn)y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標所構成的集合.
4.用一次函數解決實(shí)際問(wèn)題，先理解清楚題意，把文字語(yǔ)言轉化為數學(xué)語(yǔ)言，列出相應的不等式（方程），若是方案選擇問(wèn)題，則要求出自變量在取不同值時(shí)所對應的函數值，判斷其大小關(guān)系，結合實(shí)際需求，選擇最佳方案.
高中數學(xué)函數的奇偶性
1.函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱(chēng)的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱(chēng)的單調區間內有相反的單調性;
2.復合函數
(1)復合函數定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線(xiàn)的對稱(chēng)性)
(1)證明函數圖像的對稱(chēng)性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱(chēng)中心(對稱(chēng)軸)的對稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱(chēng)性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對稱(chēng)中心(對稱(chēng)軸)的對稱(chēng)點(diǎn)仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線(xiàn)C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對稱(chēng)曲線(xiàn)C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線(xiàn)C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱(chēng)曲線(xiàn)C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時(shí)，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng);
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=對稱(chēng);
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4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時(shí)，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng)，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng)，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對稱(chēng)，則f(x)是周期為2的周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a,x=b(a≠b)對稱(chēng)，則函數y=f(x)是周期為2的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時(shí)，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);
6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)logab的符號由口訣“同正異負”記憶;
(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
8.判斷對應是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10.對于反函數，應掌握以下一些結論：
(1)定義域上的單調函數必有反函數;
(2)奇函數的反函數也是奇函數;
(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;
(4)周期函數不存在反函數;
(5)互為反函數的兩個(gè)函數具有相同的單調性;
(6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);
11.處理二次函數的問(wèn)題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向;二看對稱(chēng)軸與所給區間的相對位置關(guān)系;
12.依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類(lèi)參數的范圍問(wèn)題;
13.恒成立問(wèn)題的處理方法：(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解。
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