數學(xué)《平方差公式》導學(xué)案課件

數學(xué)《平方差公式》導學(xué)案課件

　　●教學(xué)目標

　　(一)教學(xué)知識點(diǎn)

　　1.經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程.

　　2.會(huì )推導平方差公式，并能運用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運算.

　　(二)能力訓練要求

　　1.在探索平方差公式的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力.

　　2.培養學(xué)生觀(guān)察、歸納、概括等能力.

　　(三)情感與價(jià)值觀(guān)要求

　　在計算的過(guò)程中發(fā)現規律，并能用符號表達，從而體會(huì )數學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)捷美.

　　●教學(xué)重點(diǎn)

　　平方差公式的推導和應用.

　　●教學(xué)難點(diǎn)

　　用平方差公式的結構特征判斷題目能否使用公式.

　　●教學(xué)方法

　　探究與講練相結合.

　　使學(xué)生在計算的過(guò)程中發(fā)現規律，并運用自己的語(yǔ)言進(jìn)行表達，用符號證明這個(gè)規律，并探索出平方差公式的結構特點(diǎn)，在老師的講解和學(xué)生的練習中學(xué)會(huì )應用.

　　●教學(xué)過(guò)程

　　Ⅰ.創(chuàng )設情景，引入新課

　�。蹘煟菽隳苡煤�(jiǎn)便方法計算下列各題嗎？

　　(1)2001×1999；(2)992－1

　�。凵�］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.

　�。蹘煟莺芎�！我們利用多項式與多項式相乘的法則，將(1)(2)中的2001，1999，99化成為整千整百的運算，從而使運算很簡(jiǎn)便.我們不妨觀(guān)察第(1)題，2001和1999，一個(gè)比2000大1，于是可寫(xiě)成2000與1的和，一個(gè)比2000小1，于是可寫(xiě)成2000與1的差，所以2001×1999就是2000與1這兩個(gè)數的和與差的積，即(2000+1)(2000－1)；再觀(guān)察利用多項式與多項式相乘的法則算出來(lái)的結果為：20002－12，恰為這兩個(gè)數2000與1的平方差.即

　　(2000+1)(2000－1)=20002－12.

　　那么其他滿(mǎn)足這個(gè)特點(diǎn)的運算是否也有類(lèi)似的結果呢？

　　我們不妨看下面的做一做.

　　Ⅱ.使學(xué)生在計算的過(guò)程中，通過(guò)觀(guān)察、歸納發(fā)現規律，并用自己的語(yǔ)言和符號表示其規律

　�。蹘煟莩鍪就队捌�(§1.7.1 A)

　　做一做：計算下列各題：

　　(1)(x+2)(x－2);

　　(2)(1+3a)(1－3a);

　　(3)(x+5y)(x－5y);

　　(4)(y+3z)(y－3z).

　　觀(guān)察以上算式，你發(fā)現什么規律？運算出結果，你又發(fā)現什么規律？再舉兩例驗證你的發(fā)現？

　�。凵�］上面四個(gè)算式都是多項式與多項式的乘法.

　�。凵�］上面四個(gè)算式每個(gè)因式都是兩項.

　�。凵�］除上面兩個(gè)同學(xué)說(shuō)的以外，更重要的是：它們都是兩個(gè)數的和與差的積.例如：算式(1)是“x”與“2”這兩個(gè)數的和與差的積；算式(2)是“1”與“3a”這兩個(gè)數的和與差的積；算式(3)是“x”與“5y”的和與差的積；算式(4)是“y”與“3z”這兩個(gè)數的和與差的積.

　�。蹘煟菸覀冇^(guān)察出了算式的結構特點(diǎn).像這樣的多項式與多項式相乘，它們的結果如何呢？只要你肯動(dòng)筆、動(dòng)腦，相信你一定會(huì )探尋到答案.

　�。凵�］解：(1)(x+2)(x－2)

　　=x2－2x+2x－4=x2－4；

　　(2)(1+3a)(1－3a)

　　=1－3a+3a－9a2=1－9a2；

　　(3)(x+5y)(x－5y)

　　=x2－5xy+5xy－25y2

　　=x2－25y2；

　　(4)(y+3z)(y－3z)

　　=y2－3yz+3zy－9z2

　　=y2－9z2

　　(如有必要的話(huà)可以讓學(xué)生利用乘法分配律將多項式與多項式相乘轉化成單項式與多項式相乘，進(jìn)一步體會(huì )乘法分配律的重要作用以及轉化的思想)

　�。凵�］從剛才這位同學(xué)的運算，我發(fā)現：

　　即兩個(gè)數的和與差的積等于這兩個(gè)數的平方差.這和我們前面的一個(gè)簡(jiǎn)便運算得出同樣的結果.

　　即

　�。蹘煟菽氵�能舉兩個(gè)例子驗證你的發(fā)現嗎？

　�。凵�］可以.例如：

　　(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；

　　(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.

　　即

　　上面兩個(gè)例子，同樣可以驗證：兩個(gè)數的和與差的積，等于它們的平方差.

　�。蹘煟轂槭裁磿�(huì )有這樣的特點(diǎn)呢？

　�。凵�］因為利用多項式與多項式相乘的運算法則展開(kāi)后，中間兩項是同類(lèi)項且系數互為相反數，所以相加后為零.只剩下這個(gè)數的平方差.

　�。蹘煟莺芎�！你能用一般形式表示上述規律，并對規律進(jìn)行證明嗎？

　�。凵�］可以.上述規律用符號表示為：

　　(a+b)(a－b)=a2－b2 ①

　　其中a,b可以表示任意的數，也可以表示代表數的單項式、多項式.

　　利用多項式與多項式相乘的運算法則可以對規律進(jìn)行證明，即

　　(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們確實(shí)不簡(jiǎn)單用符號表示和證明我們發(fā)現的規律簡(jiǎn)捷明快.

　　你能給我們發(fā)現的規律(a+b)(a－b)=a2－b2起一個(gè)名字嗎？能形象直觀(guān)地反映出此規律的.

　�。凵�］我們可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.

　�。蹘煟荽蠹彝�意嗎？

　�。凵�］同意.

　�。蹘煟莺昧�！這節課我們主要就是學(xué)習討論這個(gè)公式的.你能用語(yǔ)言描述這個(gè)公式嗎？

　�。凵�］可以.這個(gè)公式表示兩數和與差的積，等于它們的平方差.

　�。蹘煟萜椒讲罟�式是多項式乘法運算中一個(gè)重要的公式.用它直接運算會(huì )很簡(jiǎn)單，但要注意必須符合公式的結構特點(diǎn)才能利用它進(jìn)行運算.

　　Ⅲ.體會(huì )平方差公式的應用，感受平方差公式給多項式乘法運算帶來(lái)的方便，進(jìn)一步熟悉平方差公式.

　�。劾�1］(1)下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的是( )

　　A.(x+1)(1+x) B.( a+b)(b－ a)

　　C.(－a+b)(a－b) D.(x2－y)(x+y2)

　　E.(－a－b)(a－b) F.(c2－d2)(d2+c2)

　　(2)利用平方差公式計算：

　　(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);

　　(－m+n)(－m－n).

　�。凵�］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因為B.( a+b)(b－ a)利用加法交換律可得( a+b)(b－ a)=(b+ a)(b－ a),表示b與 a這兩個(gè)數的和與差的積，符合平方差公式的特點(diǎn)；E.(－a－b)(a－b),同樣可利用加法交換律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b與a這兩個(gè)數和與差的積，也符合平方差公式的特點(diǎn)；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交換律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2與d2這兩個(gè)數和與差的積，同樣符合平方差公式的特點(diǎn).

　�。蹘煟轂槭裁碅、C、D不能用平方差公式呢？

　�。凵�］A、C、D表示的不是兩個(gè)數的和與差的積的形式.

　�。蹘煟菹旅嫖覀兙蛠�(lái)做第(2)題，首先分析它們分別是哪兩個(gè)數和與差的積的形式.

　�。凵�］(5+6x)(5－6x)是5與6x這兩個(gè)數的和與差的形式；(x－2y)(x+2y)是x與2y這兩個(gè)數的和與差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m與n這兩個(gè)數的和與差的形式.

　�。蹘煟莺芎�！下面我們就來(lái)用平方差公式計算上面各式.

　�。凵�］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;

　　(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;

　　(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.

　�。蹘煟葸@位同學(xué)的思路非常清楚.下面我們再來(lái)看一個(gè)例題.

　　出示投影片(記作§1.7.1 C)

　�。劾�2］利用平方差公式計算：

　　(1)(－ x－y)(－ x+y);

　　(2)(ab+8)(ab－8);

　　(3)(m+n)(m－n)+3n2.

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們可先交流、討論，然后各小組派一代表到黑板上演示.然后再派一位同學(xué)講評.

　�。凵�］解：(1)(－ x－y)(－ x+y)——(－ x)與y的和與差的積

　　=(－ x)2－y2——利用平方差公式得(－ x)與y的平方差

　　= x2－y2——運算至最后結果

　　(2)(ab+8)(ab－8)——ab與8的和與差的積

　　=(ab)2－82——利用平方差公式得ab與8的平方差

　　=a2b2－64——運算至最后結果

　　(3)(m+n)(m－n)+3n2——據運算順序先計算m與n的和與差的積

　　=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式

　　=m2－n2+3n2——去括號

　　=m2+2n2——合并同類(lèi)項至最簡(jiǎn)結果

　�。凵�］剛才這位同學(xué)的運算有條有理，有根有據，我覺(jué)得利用平方差公式計算必須注意以下幾點(diǎn)：

　　(1)公式中的字母a、b可以表示數，也可以是表示數的單項式、多項式即整式.

　　(2)要符合公式的結構特征才能運用平方差公式.

　　(3)有些多項式與多項式的乘法表面上不能應用公式，但通過(guò)加法或乘法的交換律、結合律適當變形實(shí)質(zhì)上能應用公式.

　�。凵�］還需注意最后的結果必須最簡(jiǎn).

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們總結的很好！下面我們再來(lái)練習一組題.

　　1.計算：

　　(1)(a+2)(a－2);

　　(2)(3a+2b)(3a－2b);

　　(3)(－x+1)(－x－1);

　　(4)(－4k+3)(－4k－3).

　　2.把下圖左框里的整式分別乘(a+b),所得的積寫(xiě)在右框相應的位置上.

　　解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;

　　(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;

　　(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;

　　(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.

　　2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;

　　(a－b)(a+b)=a2－b2;

　　(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;

　　(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)

　　=－a2－ab－ab－b2

　　=－a2－2ab－b2

　　(教師在讓學(xué)生做練習，可巡視練習的情況，對確實(shí)有困難的學(xué)生要給以指導)

　　Ⅳ.課時(shí)小結

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們有何體會(huì )和收獲呢？

　�。凵�］今天我們學(xué)習了多項式乘法運算中的一個(gè)重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.

　�。凵�］應用這個(gè)公式要明白公式的特征：

　　(1)左邊為兩個(gè)數的和與差的積；

　　(2)右邊為兩個(gè)數的平方差.

　�。凵�］公式中的a、b可以是數，也可以是代表數的整式.

　�。凵�］有些式子表面上不能用公式，但通過(guò)適當變形實(shí)質(zhì)上能用公式.

　�。蹘煟萃瑢W(xué)們總結的很好！還記得剛上課的一個(gè)問(wèn)題嗎？計算992－1，現在想一想，能使它運算更簡(jiǎn)便嗎？

　�。凵�］可以.992－1可以看成99與1的平方差，從右往左用平方差公式可得：

　　992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.

　�。蹘煟菸覀儼l(fā)現平方差公式的應用是很靈活的，只要你準確地把握它的結構特征，一定能使你的運算簡(jiǎn)捷明了.

　　Ⅴ.課后作業(yè)

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