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初中數學(xué)公開(kāi)課優(yōu)秀教案
導語(yǔ)：數學(xué)是美的，數學(xué)是文化中的文化，數學(xué)是科學(xué)的精髓，數學(xué)是人類(lèi)智慧的精華，數學(xué)是亮麗風(fēng)景，數學(xué)是異草奇葩。以下是品才網(wǎng)pincai.com小編整理的初中數學(xué)公開(kāi)課優(yōu)秀教案，歡迎閱讀參考。
圓和圓的位置關(guān)系
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：兩圓的位置關(guān)系和兩圓相交、相切的性質(zhì).它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問(wèn)題的基礎知識.
難點(diǎn)：兩圓位置關(guān)系的判定與相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦的性質(zhì)的運用.由于兩圓位置關(guān)系有5種類(lèi)型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學(xué)生容易遺漏;而在相交圓的性質(zhì)應用中，學(xué)生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線(xiàn).”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個(gè)課時(shí).第一課時(shí)主要研究圓和圓的位置關(guān)系;第二課時(shí)相交兩圓的性質(zhì).
(1)把課堂活動(dòng)設計的重點(diǎn)放在如何調動(dòng)學(xué)生的主體，讓學(xué)生觀(guān)察、分析、歸納概括，主動(dòng)獲得知識;
(2)要重視圓的對稱(chēng)美的教學(xué)，組織學(xué)生欣賞，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣中，獲得知識，提高能力;
(3)在教學(xué)中，以分類(lèi)思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個(gè)教學(xué)過(guò)程.
第一課時(shí) 圓和圓的位置關(guān)系
教學(xué)目標：
1.掌握圓與圓的五種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定方法;兩圓連心線(xiàn)的性質(zhì);
2.通過(guò)兩圓的位置關(guān)系，培養學(xué)生的分類(lèi)能力和數形結合能力;
3.通過(guò)演示兩圓的位置關(guān)系，培養學(xué)生用運動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)來(lái)分析和發(fā)現問(wèn)題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關(guān)系.
教學(xué)難點(diǎn)：
兩圓位置關(guān)系及判定.
(一)復習、引出問(wèn)題
1.復習：直線(xiàn)和圓有幾種位置關(guān)系?各是怎樣定義的?
(教師主導，學(xué)生回憶、回答)直線(xiàn)和圓有三種位置關(guān)系，即直線(xiàn)和圓相離、相切、相交.各種位置關(guān)系是通過(guò)直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數來(lái)定義的
2.引出問(wèn)題：平面內兩個(gè)圓，它們作相對運動(dòng)，將會(huì )產(chǎn)生什么樣的位置關(guān)系呢?
(二)觀(guān)察、分類(lèi)，得出概念
1、讓學(xué)生觀(guān)察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(圖(2))
(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(圖(4))
(5)內含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個(gè)特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時(shí)，兩圓都無(wú)公共點(diǎn).
(2)兩圓外切和內切統稱(chēng)兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點(diǎn)的個(gè)數唯一
(3)兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類(lèi)：相離(外離和內含);相交;相切(外切和內切).
教師組織學(xué)生歸納，并進(jìn)一步考慮：從兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數考慮，無(wú)公共點(diǎn)則相離;有一個(gè)公共點(diǎn)則相切;有兩個(gè)公共點(diǎn)則相交.除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎?可能不可能有三個(gè)公共點(diǎn)?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系.
(三)分析、研究
1、相切兩圓的性質(zhì).
讓學(xué)生觀(guān)察連心線(xiàn)與切點(diǎn)的關(guān)系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線(xiàn)的性質(zhì)：
如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上.
這個(gè)性質(zhì)由圓的軸對稱(chēng)性得到，有興趣的同學(xué)課下可以考慮如何對這一性質(zhì)進(jìn)行證明
2、兩圓位置關(guān)系的數量特征.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學(xué)生研究?jì)蓤A的五種位置關(guān)系，r和d之間有何數量關(guān)系.(圖形略)
兩圓外切
d=R+r; 兩圓內切
d=R-r (R>r); 兩圓外離
d>R+r; 兩圓內含
dr); 兩圓相交
R-r說(shuō)明：注重“數形結合”思想的教學(xué).
(四)應用、練習
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：
(1)設⊙P與⊙O外切與點(diǎn)A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
(2)設⊙P與⊙O內切與點(diǎn)B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC=12，
∴⊙O的半徑
，且O是AC的中點(diǎn) ∴
，∵∠C=90°且BC=8， ∴
， ∵⊙O的半徑
，⊙B的半徑
， ∴BO=
，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
(五)小結
知識：①兩圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內切、內含;
②以及這五種位置關(guān)系下圓心距和兩圓半徑的數量關(guān)系;
③兩圓相切時(shí)切點(diǎn)在連心線(xiàn)上的性質(zhì).
能力：觀(guān)察、分析、分類(lèi)、數形結合等能力.
思想方法：分類(lèi)思想、數形結合思想.
(六)作業(yè)
教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時(shí) 相交兩圓的性質(zhì)
教學(xué)目標
1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理;
2、掌握相交兩圓問(wèn)題中常添的輔助線(xiàn)的作法;
3、通過(guò)例題的分析，培養學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;
4、結合相交兩圓連心線(xiàn)性質(zhì)教學(xué)向學(xué)生滲透幾何圖形的對稱(chēng)美.
教學(xué)重點(diǎn)
相交兩圓的性質(zhì)及應用.
教學(xué)難點(diǎn)
應用軸對稱(chēng)來(lái)證明相交兩圓連心線(xiàn)的性質(zhì)和準確添加輔助線(xiàn).
教學(xué)活動(dòng)設計
(一)圖形的對稱(chēng)美
相切兩圓是以連心線(xiàn)為對稱(chēng)軸的對稱(chēng)圖形.相交兩圓具有什么性質(zhì)呢?
(二)
觀(guān)察、猜想、證明
1、觀(guān)察：同樣相交兩圓，也構成對稱(chēng)圖形，它是以連心線(xiàn)為對稱(chēng)軸的軸對稱(chēng)圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦”.
3、證明：
對A層學(xué)生讓學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明，教師組織;對B、C層在教師引導下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交于A(yíng)，B.
求
證：Q1O2是AB的垂直平分線(xiàn).
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線(xiàn)，只要證明O1O2上的點(diǎn)和線(xiàn)段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，于是想到連結O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點(diǎn)在A(yíng)B的垂直平分線(xiàn)上.
又∵O2A=O2B，∴點(diǎn)O2在A(yíng)B的垂直平分線(xiàn)上.
因此O1O2是AB的垂直平分線(xiàn).
也可考慮利用圓的軸對稱(chēng)性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱(chēng)圖形，∴直線(xiàn)O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱(chēng)軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)O1O2的對稱(chēng)點(diǎn)即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)O1O2的對稱(chēng)點(diǎn)只能是B點(diǎn)，
∴連心線(xiàn)O1O2是AB的垂直平分線(xiàn).
定理：相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線(xiàn).
(三)應用、反思
例1、已知兩個(gè)等圓⊙Ol和⊙O2相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，⊙Ol經(jīng)O2。
求∠OlAB的度數.
分析：由所學(xué)定理可知，O1O2是AB的垂直平分線(xiàn)，
又
⊙O1與⊙O2是兩個(gè)等圓，因此連結O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時(shí)可以推證⊙O l和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱(chēng)軸的軸對稱(chēng)圖形，同時(shí)還是以AB為對稱(chēng)軸的軸對稱(chēng)圖形.從而可由
∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.
解：⊙O1經(jīng)過(guò)O
2，⊙O1與⊙O2是兩個(gè)等圓
∴OlA= O1O2= AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°
.
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是O1O2的中點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN.
證明：過(guò)點(diǎn)Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC=
AM，AD=
AN.
∵OlP= O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.
例
3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，C為⊙Ol上一點(diǎn)，AC交⊙O2于D，過(guò)B作直線(xiàn)EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關(guān)相交兩圓的問(wèn)題時(shí)，常作出連心線(xiàn)、公共弦，或連結交點(diǎn)與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長(cháng)的一半，圓心距集中到一個(gè)三角形中，運用三角形有關(guān)知識來(lái)解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
(四)小結
知識：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線(xiàn)垂直或證明線(xiàn)段相等的依據.
能力與方法：①在解決兩圓相交的問(wèn)題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線(xiàn)，使兩圓中的角或線(xiàn)段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng )造條件，起到了“橋梁”作用;②圓的對稱(chēng)性的應用.
(五)作業(yè) 教材P152習題A組7、8、9題;B組1題.
探究活動(dòng)
問(wèn)題1：已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)O1、O2、…、On在線(xiàn)段AB上，分別以O1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長(cháng)等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長(cháng)分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當n=2時(shí)，判斷Cl+C2與C的大小關(guān)系;
(2)當n=3時(shí)，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關(guān)系;
(3)當n取大于3的任一自然數時(shí)，Cl十C2十…十Cn與C的大小關(guān)系怎樣?證明你的結論.
提
示：假設⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過(guò)周長(cháng)計算，比較可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+ C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.
問(wèn)題2：有八個(gè)同等大小的圓形，其中七個(gè)有陰影的圓形都固定不動(dòng)，第八個(gè)圓形，緊貼另外七個(gè)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，當它繞完這些固定不動(dòng)的圓形一周，本身將旋轉了多少轉?
提示：1、實(shí)驗：用硬幣作初步實(shí)驗;結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析：當你把動(dòng)圓無(wú)滑動(dòng)地沿著(zhù)
圓周長(cháng)的直線(xiàn)上滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)動(dòng)圓是轉
轉，但是，這個(gè)動(dòng)圓是沿著(zhù)弧線(xiàn)滾動(dòng)，那么方才的說(shuō)法就不正確了.在我們這個(gè)題目中，那動(dòng)圓繞著(zhù)相當于它的圓周長(cháng)的
的弧線(xiàn)旋轉的時(shí)候，一共走過(guò)的不是
轉;而是
轉，因此，它繞過(guò)六個(gè)這樣的弧形的時(shí)，就轉了
轉
初中數學(xué)公開(kāi)課優(yōu)秀教案二
正多邊形的有關(guān)計算
教學(xué)設計示例1
教學(xué)目標：
(1)會(huì )將正多邊形的邊長(cháng)、半徑、邊心距和中心角、周長(cháng)、面積等有關(guān)的計算問(wèn)題轉化為解直角三角形的問(wèn)題;
(2)鞏固學(xué)生解直角三角形的能力，培養學(xué)生正確迅速的運算能力;
(3)通過(guò)正多邊形有關(guān)計算公式的推導，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng )新.
教學(xué)重點(diǎn):
把正多邊形的有關(guān)計算問(wèn)題轉化為解直角三角形的問(wèn)題.
教學(xué)難點(diǎn):
正確地將正多邊形的有關(guān)計算問(wèn)題轉化為解直角三角形的問(wèn)題解決、綜合運用幾何知識準確計算.
教學(xué)活動(dòng)設計:
(一)創(chuàng )設情境、觀(guān)察、分析、歸納結論
1、情境一：給出圖形.
問(wèn)題1：正n邊形內角的規律.
觀(guān)察：在圖形中，應用以有的知識(多邊形內角和定理，多邊形的每個(gè)內角都相等)得出新結論.
教師組織學(xué)生自主觀(guān)察，學(xué)生回答.(正n邊形的每個(gè)內角都等于
.)
2、情境二：給出圖形.
問(wèn)題2：每個(gè)圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形?它們有什么規律?
教師引導學(xué)生觀(guān)察，學(xué)生回答.
觀(guān)察：三角形的形狀，三角形的個(gè)數.
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個(gè)全等的等腰三角形.
3、情境三：給出圖形.
問(wèn)題3：作每個(gè)正多邊形的邊心距，又有什么規律?
觀(guān)察、歸納：這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了個(gè)直角三角形，這些直角三角形也是全等的.
(二)定理、理解、應用：
1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個(gè)全等的直角三角形.
2、理解：定理的實(shí)質(zhì)是把正多邊形的問(wèn)題向直角三角形轉化.
由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的'半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長(cháng)an的一半，一個(gè)銳角是正n邊形中心角
的一半，即
，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關(guān)計算歸結為解直角三角形問(wèn)題.
3、應用：
例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個(gè)正六邊形的邊長(cháng)、周長(cháng)P6和面積S6.
教師引導學(xué)生分析解題思路：
n=6
=30°，又半徑為R
a6 、r6.
P6、S6.
學(xué)生完成解題過(guò)程，并關(guān)注學(xué)生解直角三角形的能力.
解：
作半徑OA、OB;作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB. ∵∠GOB=
，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=
， ∴
. 歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長(cháng)，由例1可知，正n邊形的面積S6=
Pn rn.
4、研究：(應用例1的方法進(jìn)一步研究)
問(wèn)題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長(cháng)、邊心距及面積.
學(xué)生以小組進(jìn)行研究，并初步歸納：
;
;
;
;
;
.
上述公式是運用解直角三角形的方法得到的.
通過(guò)上式六公式看出，只要給定兩個(gè)條件，則正多邊形就完全確定了.例如：(1)圓的半徑或邊數;(2)圓的半徑和邊心距;(3)邊長(cháng)及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素.
(三)小節
知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問(wèn)題.
思想：轉化思想.
能力：解直角三角形的能力、計算能力;觀(guān)察、分析、研究、歸納能力.
(四)作業(yè)
歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關(guān)計算公式.
教學(xué)設計示例2
教學(xué)目標：
(1)進(jìn)一步研究正多邊形的計算問(wèn)題，解決實(shí)際應用問(wèn)題;
(2)通過(guò)正十邊形的邊長(cháng)a10與半徑R的關(guān)系的證明，學(xué)習邊計算邊推理的數學(xué)方法;
(3)通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，培養學(xué)生簡(jiǎn)單的數學(xué)建模能力;
(4)培養學(xué)生用數學(xué)意識，滲透理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)踐論的觀(guān)點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn):
應用正多邊形的基本計算圖解決實(shí)際應用問(wèn)題及代數計算的證明方法.
教學(xué)難點(diǎn):
例3的證明方法.
教學(xué)活動(dòng)設計：
(一)知識回顧
(1)方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關(guān)計算轉化為解直角三角形問(wèn)題.
(2)知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關(guān)計算問(wèn)題，正多邊形的有關(guān)計算.
;
;
;
;
;
.
組織學(xué)生填寫(xiě)教材P165練習中第2題的表格.
(二)正多邊形的應用
正
多邊形的有關(guān)計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習打好基礎，另一方面，這些知識在生產(chǎn)和生活中常常會(huì )用到，掌握后對學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)具有實(shí)用意義.
例2、在一種聯(lián)合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個(gè)正五邊形的邊長(cháng)是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm).
解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點(diǎn)O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF=
. ∵AF=
(cm)，∴R5=
(cm). r5=
(cm).
答：這個(gè)正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm
建議：①組織學(xué)生，使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué);②滲透簡(jiǎn)單的數學(xué)建模思想和實(shí)際應用意識;③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學(xué)生的近似計算能力的培養.
以小組的學(xué)習形式，每個(gè)小組自己舉一個(gè)實(shí)際生活中的例子加以研究，班內交流.
例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長(cháng)
.
教師引導學(xué)生：
(1)∠AOB=?
(2)在△OAB中，∠A與∠B的度數?
(3)如果BM平分∠OBA交OA于M，你發(fā)現圖形中相等的線(xiàn)段有哪些?你發(fā)現圖中三角形有什么關(guān)系?
(4)已知半徑為R，你能不通過(guò)解三角形的方法求出AB嗎?怎么計算?
解：如圖，設AB=a10.作∠OBA的平分線(xiàn)BM，交OA于點(diǎn)M，則
∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.
∴OM=MB=AB= a10.
△ OAB∽△BAM
OA:AB=BA:AM，即R :a10= a10:(R- a10)，整理，得
，
(取正根). 由例3的結論可得
.
回顧：黃金分割線(xiàn)段.AD2=DC·AC，也就是說(shuō)點(diǎn)D將線(xiàn)段AC分為兩部分，其中較長(cháng)的線(xiàn)段AD是較小線(xiàn)段CD與全線(xiàn)段AC的比例中項.頂角36°角的等腰三角形的底邊長(cháng)是它腰長(cháng)的黃金分割線(xiàn)段.
反思：解決方法.在推導a10與R關(guān)系時(shí)，輔助線(xiàn)角平分線(xiàn)是怎么想出來(lái)的.解決方法是復習等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關(guān)知識.
練習P.165中練習1
(三)總結
(1)應用正多邊形的有關(guān)計算解決實(shí)際問(wèn)題;
(2)綜合代數列方程的方法證明了
.
(四)作業(yè)
教材P173中8、9、10、11、12.
探究活動(dòng)
已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角
、
、
的大小.
探究它們存在什么規律?你能證明嗎?
(提示：
.)
初中數學(xué)公開(kāi)課優(yōu)秀教案三
切線(xiàn)長(cháng)定理
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：切線(xiàn)長(cháng)定理及其應用.因切線(xiàn)長(cháng)定理再次體現了圓的軸對稱(chēng)性，它為證明線(xiàn)段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經(jīng)常應用，因此它是本節的重點(diǎn).
難點(diǎn)：與切線(xiàn)長(cháng)定理有關(guān)的證明和計算問(wèn)題.如120頁(yè)練習題中第3題，它不僅應用切線(xiàn)長(cháng)定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學(xué)生往往不能很好的把知識連貫起來(lái).
2、教法建議
本節內容需要一個(gè)課時(shí).
(1)在教學(xué)中，組織學(xué)生自主觀(guān)察、猜想、證明，并深刻剖析切線(xiàn)長(cháng)定理的基本圖形;對重要的結論及時(shí)總結;
(2)在教學(xué)中，以“觀(guān)察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線(xiàn)，開(kāi)展在教師組織下，以學(xué)生為主體，活動(dòng)式教學(xué).
教學(xué)目標
1.理解切線(xiàn)長(cháng)的概念，掌握切線(xiàn)長(cháng)定理;
2.通過(guò)對例題的分析，培養學(xué)生分析總結問(wèn)題的習慣，提高學(xué)生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想.
3.通過(guò)對定理的猜想和證明，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，調動(dòng)學(xué)生的學(xué)習積極性，樹(shù)立科學(xué)的學(xué)習態(tài)度.
教學(xué)重點(diǎn):
切線(xiàn)長(cháng)定理是教學(xué)重點(diǎn)
教學(xué)難點(diǎn):
切線(xiàn)長(cháng)定理的靈活運用是教學(xué)難點(diǎn)
教學(xué)過(guò)程設計:
(一)觀(guān)察、猜想、證明，形成定理
1、
切線(xiàn)長(cháng)的概念.
如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，我們把線(xiàn)段PA，PB叫做點(diǎn)P到⊙O的.切線(xiàn)長(cháng).
引導學(xué)生理解：切線(xiàn)和切線(xiàn)長(cháng)是兩個(gè)不同的概念，切線(xiàn)是直線(xiàn)，不能度量;切線(xiàn)長(cháng)是線(xiàn)段的長(cháng)，這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.
2、觀(guān)察
利用電腦變動(dòng)點(diǎn)P 的位置，觀(guān)察圖形的特征和各量之間的關(guān)系.
3、
猜想
引導學(xué)生直觀(guān)判斷，猜想圖中PA是否等于PB. PA=PB.
4、證明猜想，形成定理.
猜想是否正確。需要證明.
組織學(xué)生分析證明方法.關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)OA，OB，要證明PA=PB.
想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論?
∠OPA=∠OPB(如圖)等.
切線(xiàn)長(cháng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(cháng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角.
5、歸納：
把前面所學(xué)的切線(xiàn)的5條性質(zhì)與切線(xiàn)長(cháng)定理一起歸納切線(xiàn)的性質(zhì)
6、切線(xiàn)長(cháng)定理的基本圖形研究
如圖，
PA，PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn).直線(xiàn)OP交⊙O于點(diǎn)D，E，交AP于C
(1)寫(xiě)出圖中所有的垂直關(guān)系;
(2)寫(xiě)出圖中所有的全等三角形;
(3)寫(xiě)出圖中所有的相似三角形;
(4)寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形.
說(shuō)明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學(xué)習幾何中關(guān)鍵，它是靈活應用知識的基礎.
(二)應用、歸納、反思
例1、已知：
如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB為⊙O的切線(xiàn)，
A和B是切點(diǎn)，BC是直徑.
求證：AC∥OP.
分析：從條件想，由P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)可得PA=PB，∠APO=∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB=OC，由此聯(lián)想到與直徑有關(guān)的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等.于是想到可能作輔助線(xiàn)AB.
從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP于O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線(xiàn)來(lái)考慮.也可考慮通過(guò)平行線(xiàn)的判定定理來(lái)證，可獲得多種證法.
證法一.如圖.連結AB.
PA，PB分別切⊙O于A(yíng)，B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC為⊙O直徑
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (學(xué)生板書(shū))
證法二.
連結AB，交OP于D
PA，PB分別切⊙O于A(yíng)、B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴AD=BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位線(xiàn)
∴AC∥OP
證法三.連結AB，設OP與AB弧交于點(diǎn)E
PA，PB分別切⊙O于A(yíng)、B
∴PA=PB
∴ OP ⊥AB
∴
=
∴∠C=∠POB
∴AC∥OP
反思：
教師引導學(xué)生比較以上證法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，培養學(xué)生靈活應用知識的能力.
例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.
(分析和解題略)
反思：(1)例3事實(shí)上是圓外切四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)，請學(xué)生記住結論.(2)圓內接四邊形的性質(zhì)：對角互補.
P120練習：
練習1 填空
如圖,
已知⊙O的半徑為3厘米，PO=6厘米，PA，PB分別切⊙O于A(yíng)，B，則PA=_______，∠APB=________
練習2 已知：在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切于點(diǎn)D，E，F，求AF，AD和CE的長(cháng).
分析：設各切線(xiàn)長(cháng)AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米.后列出關(guān)于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果.
(解略)
反思：解這個(gè)題時(shí)，除了要用三角形內切圓的概念和切線(xiàn)長(cháng)定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題.通過(guò)對本題的研究培養學(xué)生的綜合應用知識的能力.
(三)小結
1、
提出問(wèn)題學(xué)生歸納
(1)這節課學(xué)習的具體內容;
(2)學(xué)習用的數學(xué)思想方法;
(3)應注意哪些概念之間的區別?
2、歸納基本圖形的結論
3、學(xué)習了用代數方法解決幾何問(wèn)題的思想方法.
(四)作業(yè)
教材P131習題7.4A組1.(1)，2，3，4.B組1題.
探究活動(dòng)
圖中找錯
你能找出(圖1)與(圖2)的錯誤所在嗎?
在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線(xiàn)、P1B為⊙O1和⊙O2的切線(xiàn)、P2C為⊙O2和⊙O3的切線(xiàn).
提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點(diǎn)只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點(diǎn)O應在圓上.
在圖2中，設P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，則有
a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c �、�
c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b �、�
a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b �、�
將②代人①式得
a = P1P3+(P2P3+ b)= P1P3+P2P3+ b，
∴a-b= P1P3+P2P3
由③得a-b= P1P2得
∴P1P2= P2P3+ P1P3
∴P1、P 2 、P3應重合，故圖2是錯誤的.
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