【推薦】《余弦定理》教學(xué)設計
作為一名優(yōu)秀的教育工作者，就難以避免地要準備教學(xué)設計，教學(xué)設計是連接基礎理論與實(shí)踐的橋梁，對于教學(xué)理論與實(shí)踐的緊密結合具有溝通作用。教學(xué)設計應該怎么寫(xiě)才好呢？以下是小編整理的《余弦定理》教學(xué)設計，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
一、 教學(xué)內容解析
人教版《普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準確量化的一個(gè)重要定理。通過(guò)利用向量的數量積方法推導余弦定理，正確理解其結構特征和表現形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問(wèn)題，初步體會(huì )余弦定理解決“邊、邊、角”，體會(huì )方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數學(xué)，應用數學(xué)的潛能,從而進(jìn)一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能更深地體會(huì )數學(xué)來(lái)源于生活，數學(xué)服務(wù)于生活。
二、學(xué)生學(xué)習情況分析
本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了三角函數、向量基本知識和正弦定理有關(guān)內容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習基礎和學(xué)習興趣�？傮w上學(xué)生應用數學(xué)知識的意識不強，創(chuàng )造力較弱，看待與分析問(wèn)題不深入，知識的系統性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結構特征、表現形式的數學(xué)美時(shí)，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數學(xué)的思想感情；從具體問(wèn)題中抽象出數學(xué)的本質(zhì)，應用方程的思想去審視，解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習的一大難點(diǎn)。
三、設計思想
新課程的數學(xué)提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質(zhì)，體驗數學(xué)發(fā)現和創(chuàng )造的歷程，力求對現實(shí)世界蘊涵的一些數學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時(shí)要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合作者轉化，從課堂的執行者向實(shí)施者、探究開(kāi)發(fā)者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動(dòng)合作，提高學(xué)生的數學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數學(xué)應用意識和創(chuàng )新意識，深刻地體會(huì )數學(xué)思想方法及數學(xué)的應用，激發(fā)學(xué)生探究數學(xué)、應用數學(xué)知識的潛能。
四、 教學(xué)目標解析
1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì )初步運用余弦定理及推論解三角形。
2、通過(guò)對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。
3、在發(fā)現和證明余弦定理中，通過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養學(xué)生的發(fā)散思維。
4、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，可以培養學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認識到數學(xué)是有用的。
五、 教學(xué)問(wèn)題診斷分析
1、通過(guò)前一節正弦定理的學(xué)習，學(xué)生已能解決這樣兩類(lèi)解三角形的問(wèn)題：
�、僖阎切蔚娜我鈨蓚�(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角；
�、谝阎切蔚娜我鈨蓚�(gè)角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進(jìn)而計算出其他的邊和角。
而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個(gè)角的問(wèn)題上，學(xué)生產(chǎn)生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應放在余弦定理的發(fā)現和證明上。
2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比、轉化多角度地對余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。
3、學(xué)習了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關(guān)注的問(wèn)題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中應注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。
六、 教學(xué)支持條件分析
為了將學(xué)生從繁瑣的計算中解脫出來(lái)，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來(lái)完成。當使用計算器時(shí)，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時(shí)用等號，當取其近似值時(shí)，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時(shí)用約等號。
七、 教學(xué)過(guò)程設計
1、教學(xué)基本流程：
�、購囊坏郎钪械膶�(shí)際問(wèn)題的解決引入問(wèn)題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來(lái)表示第三條邊。
�、谟嘞叶ɡ淼淖C明：?jiǎn)l(fā)學(xué)生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學(xué)生自己探索獲得定理的證明。
�、蹜糜嘞叶ɡ斫庑比切�。
2、教學(xué)情景：
�、賱�(chuàng )設情境，提出問(wèn)題
問(wèn)題1：現有卷尺和測角儀兩種工具，請你設計合理的方案，來(lái)測量學(xué)校前生物島邊界上兩點(diǎn)的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長(cháng)度）。
【設計意圖】：來(lái)源于生活中的問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，提高學(xué)習積極性。讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )到數學(xué)來(lái)源于生活，數學(xué)服務(wù)于生活。
師生活動(dòng)：教師可以采取小組合作的形式，讓學(xué)生設計方案嘗試解決。
學(xué)生1—方案1：如果卷尺足夠長(cháng)的話(huà)，可以在島對岸小路上取一點(diǎn)C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長(cháng)，用測角儀測出∠ACB的大小， 那么△ABC的大小就可以確定了。感覺(jué)似乎在△ABC中已知AC、BC的長(cháng)及夾角C的大小，可以求AB的長(cháng)了。
其他學(xué)生有異議，若卷尺沒(méi)有足夠長(cháng)呢？
學(xué)生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點(diǎn)（如圖3），用卷尺量出CD的長(cháng)，再用測角儀測出圖中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長(cháng)了。
教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問(wèn)題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關(guān)系？
【設計意圖】給學(xué)生足夠的空間和展示的平臺，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。
�、谇螽愄叫�，證明定理
問(wèn)題2：你能判斷下列三角形的類(lèi)型嗎？
1、以3，4，5為各邊長(cháng)的三角形是_____三角形
以2，3，4為各邊長(cháng)的三角形是_____三角形
以4，5，6為各邊長(cháng)的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a=8，b=5，∠c=60°，你能求c邊長(cháng)嗎？
【設計意圖】：幫助學(xué)生分析相關(guān)內容，從多角度看待問(wèn)題，用實(shí)踐進(jìn)行檢驗。師生活動(dòng)：引導學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來(lái)研究這一問(wèn)題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。
問(wèn)題3：你能夠有更好的具體的量化方法嗎？
幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數、向量知識、坐標法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡(jiǎn)潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。
【設計意圖】：引導學(xué)生從相關(guān)知識入手，選擇簡(jiǎn)潔的工具。
學(xué)生3：在△ABC中，如圖4，過(guò)C作CD⊥AB，垂足為D。
在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;
在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;
學(xué)生4：如圖5，過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D。
學(xué)生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，2 22 2 2∴c=（bsinC）+（a- bcosC）= a+b-2abcosC
2 2 22 2 2類(lèi)似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。
教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉化為兩個(gè)直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來(lái)證明。并且進(jìn)一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時(shí)，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節課的重點(diǎn)—余弦定理。
【設計意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問(wèn)以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴密。
師生活動(dòng)：得出了余弦定理，教師還應引導學(xué)生聯(lián)想、類(lèi)比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。
教師：在前面學(xué)習正弦定理的證明過(guò)程種，我們用向量法比較簡(jiǎn)便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會(huì )有什么想法？
【設計意圖】：通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂(lè )趣。
學(xué)生6：如圖6，教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡(jiǎn)潔明了，過(guò)程簡(jiǎn)單，體現了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長(cháng)度又可以聯(lián)系到平面內兩點(diǎn)間的距離公式，你會(huì )有什么啟發(fā)？
【設計意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標，引導學(xué)生從直角坐標中用解析法證明定理。
學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a .
且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0）， 【設計意圖】：通過(guò)以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學(xué)生體會(huì )證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動(dòng)投入到整個(gè)數學(xué)學(xué)習的過(guò)程中，培養學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空間的深度和廣度。
【歸納概括】：余弦定理：
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。
【設計意圖】：知識歸納比較，發(fā)現特征，加強識記
【結構分析】：觀(guān)察余弦定理，指明了三邊長(cháng)與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現a與A，b與B，C與c之間的對應表述，同時(shí)發(fā)現三邊長(cháng)的平方在余弦定理中同時(shí)出現。 【知識聯(lián)系】：余弦定理的推論：
【設計意圖】：在學(xué)生探究數學(xué)美，欣賞美的過(guò)程中，體會(huì )數學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。
�、圻\用定理，解決問(wèn)題
讓學(xué)生觀(guān)察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類(lèi)型的三角形問(wèn)題。
例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。
�、谠凇鰽BC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。
【設計意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類(lèi)最基本問(wèn)題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。
例2：已知△ABC中求c邊長(cháng)
分析：（1）用正弦定理分析引導
�。�2）應用余弦定理構造關(guān)于C的方程求解。
�。�3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問(wèn)題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。
�、芫毩暀z測：
1、某人站在山頂向下看一列車(chē)隊向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車(chē)與第二輛車(chē)的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛與第三輛車(chē)的俯角差，則第一輛車(chē)與第二輛車(chē)的距離與第二輛車(chē)的距離之間關(guān)系為（ ）
A：> B：=
C：< D：大小不確定
2、銳角△ABC中b=1，c=2，則a取值為（ ）
A：（1,3） B：（1,）
C：（，2） D：（，）
3、在△ABC中若有，你能判斷這個(gè)三角形的形狀嗎？
若呢？
3、小結
本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無(wú)論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過(guò)是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡(jiǎn)捷、和諧、對稱(chēng)”的美，其變式即推論也很協(xié)調。
4、作業(yè)
第1題：用正弦定理證明余弦定理。
【設計意圖】：繼續要求學(xué)生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉化成角，然后利用三角公式進(jìn)行推導證明。而這種把邊轉化為角、或把角轉化為邊的思想正是我們解決三角形問(wèn)題中的一種非常重要的思想方法。
第2題：在△ABC中，已知，求角A和C和邊c。
【設計意圖】：本題可以通過(guò)正弦定理和余弦定理來(lái)求解，讓學(xué)生體會(huì )兩種定理在解三角形問(wèn)題上的利弊。運用正弦定理求角可能會(huì )漏解，運用余弦定理求角不會(huì )漏解，但是計算可能較繁瑣。
5、板書(shū)設計：
1、推導余弦定理及其推論
2、例1、例2
3、練習指導
4、小結投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識
八：教學(xué)反思
1、余弦定理是解三角形的重要依據，要給予足夠重視。本節內容安排兩節課適宜。第一節，余弦定理的引出、證明和簡(jiǎn)單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用。
2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問(wèn)題，此時(shí)應注意解的不唯一性。但是這個(gè)問(wèn)題在本節課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時(shí)處理。
3、本節課的重點(diǎn)首先是定理的證明，其次才是定理的應用。我們傳統的定理概念教學(xué)往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過(guò)程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結論或公式，讓學(xué)生通過(guò)大量的題目去套用這些結論或形式，大搞題海戰術(shù)，加重了學(xué)生的負擔，效果很差。學(xué)生根本沒(méi)有掌握住這些定理、概念的形成過(guò)程，不能明白知識的來(lái)龍去脈，怎么會(huì )靈活的應用呢？事實(shí)上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習方法已經(jīng)不能適應新課標教育的教學(xué)理念。新課標課程倡導：強調過(guò)程，重視學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得的新知的體會(huì )，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內心感受，把“發(fā)現、探究知識”的權利還給學(xué)生。
4、本節課的教學(xué)過(guò)程重視學(xué)生探究知識的過(guò)程，突出了以教師為主導，學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過(guò)提供一些可供學(xué)生研究的素材，引導學(xué)生自己去研究問(wèn)題，探究問(wèn)題的結論。在這個(gè)過(guò)程中，教師應該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學(xué)生獨立思考、合作學(xué)習的意識，更不能采取“放羊式”的教學(xué)，對于學(xué)生在探究問(wèn)題中出現的困惑置之不理。
5、合理的應用多媒體教學(xué)，起到畫(huà)龍點(diǎn)睛、提高效率、增強學(xué)生對問(wèn)題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生上課時(shí)的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C械的“眼到”，學(xué)生看了一節課的“電影”，沒(méi)有充足的時(shí)間去思考、練習、鞏固，課后會(huì )很快將所學(xué)的知識忘得一干二凈。
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