《余弦定理》教學(xué)設計
作為一名教職工，總歸要編寫(xiě)教學(xué)設計，教學(xué)設計是教育技術(shù)的組成部分，它的功能在于運用系統方法設計教學(xué)過(guò)程，使之成為一種具有操作性的程序。你知道什么樣的教學(xué)設計才能切實(shí)有效地幫助到我們嗎？以下是小編為大家收集的《余弦定理》教學(xué)設計，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
《余弦定理》教學(xué)設計1
一. 教學(xué)目標：
1知識與技能：認識正弦、余弦定理，了解三角形中的邊與角的關(guān)系
2過(guò)程與方法：通過(guò)具體的探究活動(dòng)，了解正弦、余弦定理的內容，并從具體的實(shí)例掌握正弦、余弦定理的應用
情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)對實(shí)例的探究，體會(huì )到三角形的和諧美，學(xué)會(huì )穩定性的重要
二. 教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 重點(diǎn)：
正弦、余弦定理應用以及公式的變形 2. 難點(diǎn)：
運用正、余弦定理解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題。
知 識 梳 理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則
(1)S＝2ah(h表示邊a上的高)． 111
(2)S＝2bcsin A＝2sin C＝2acsin B. 1
(3)S＝2r(a＋b＋c)(r為△ABC內切圓半徑)
問(wèn)題1：在△ABC中，a＝3，b2，A＝60°求c及B C 問(wèn)題2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C
問(wèn)題3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝16，則b＝
通過(guò)對上述三個(gè)較簡(jiǎn)單問(wèn)題的解答指導學(xué)生總結正余弦定理的應用; 正弦定理可以解決
(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
余弦定理可以解決
(1)已知三邊，求三個(gè)角；
(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
我們不難發(fā)現利用正余弦定理可以解決三角形中“知三求三” 知三中必須要有一邊 應用舉例 【例1】 (1)(20xx·湖南卷)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長(cháng)分別為a，b.若2asin B3b，則角A等于 ( )．ππππA.3B.4 C.6 12
(2)(20xx·杭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，c＝2，B＝45°，則sin C＝______.
解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B為△ABC的內角，∴sin B≠0. 3
∴sin A＝2又∵△ABC為銳角三角形， π?π?
∴A∈?02?，∴A＝3??
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×2＝25，即b＝5. c·sin B
所以sin Cb4
答案 (1)A (2)5【訓練1】 (1)在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，則C＝
A．30°B．45° C．45°或135°
D．60°
(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝3sin B，則A＝ A．30°
B．60° C．120°
D．150°
232解析 (1)由正弦定理，得sin 60°sin C，解得：sin C＝2，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. (2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b， b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋3bc3∴cos A＝2bc＝＝2bc2bc2， 又A為三角形的內角，∴A＝30°. 答案 (1)B (2)A
規律方法 已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷．
【例2】 (20xx·臨沂一模)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的`大��；
(2)若sin B＋sin C＝3，試判斷△ABC的形狀． 解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21
∴cos A＝2bc＝2，∴A＝60°.
(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33
∴2sin B＋2B＝3，即sin(B＋30°)＝1. ∵0° ∴B＋30°＝90°，B＝60°. ∴A＝B＝C＝60°，△ABC為等邊三角形． 規律方法 解決判斷三角形的形狀問(wèn)題，一般將條件化為只含角的三角函數的關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內角之間的關(guān)系式；或將條件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系．另外，在變形過(guò)程中要注意A，B，C的范圍對三角函數值的影響． 課堂小結 1．在解三角形的問(wèn)題中，三角形內角和定理起著(zhù)重要作用，在解題時(shí)要注意根據這個(gè)定理確定角的范圍及三角函數值的符號，防止出現增解或漏解． 2．正、余弦定理在應用時(shí)，應注意靈活性，尤其是其變形應用時(shí)可相互轉化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以轉化為sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用這些變形可進(jìn)行等式的化簡(jiǎn)與證明 一、 教學(xué)內容解析 人教版《普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準確量化的一個(gè)重要定理。通過(guò)利用向量的數量積方法推導余弦定理，正確理解其結構特征和表現形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問(wèn)題，初步體會(huì )余弦定理解決“邊、邊、角”，體會(huì )方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數學(xué)，應用數學(xué)的潛能,從而進(jìn)一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能更深地體會(huì )數學(xué)來(lái)源于生活，數學(xué)服務(wù)于生活。 二、學(xué)生學(xué)習情況分析 本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了三角函數、向量基本知識和正弦定理有關(guān)內容，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習基礎和學(xué)習興趣�？傮w上學(xué)生應用數學(xué)知識的意識不強，創(chuàng )造力較弱，看待與分析問(wèn)題不深入，知識的系統性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結構特征、表現形式的數學(xué)美時(shí)，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數學(xué)的思想感情；從具體問(wèn)題中抽象出數學(xué)的本質(zhì)，應用方程的思想去審視，解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習的一大難點(diǎn)。 三、設計思想 新課程的數學(xué)提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質(zhì)，體驗數學(xué)發(fā)現和創(chuàng )造的歷程，力求對現實(shí)世界蘊涵的一些數學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時(shí)要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合作者轉化，從課堂的執行者向實(shí)施者、探究開(kāi)發(fā)者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動(dòng)合作，提高學(xué)生的數學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數學(xué)應用意識和創(chuàng )新意識，深刻地體會(huì )數學(xué)思想方法及數學(xué)的應用，激發(fā)學(xué)生探究數學(xué)、應用數學(xué)知識的潛能。 四、 教學(xué)目標解析 1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì )初步運用余弦定理及推論解三角形。 2、通過(guò)對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。 3、在發(fā)現和證明余弦定理中，通過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養學(xué)生的發(fā)散思維。 4、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，可以培養學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認識到數學(xué)是有用的。 五、 教學(xué)問(wèn)題診斷分析 1、通過(guò)前一節正弦定理的學(xué)習，學(xué)生已能解決這樣兩類(lèi)解三角形的問(wèn)題： �、僖阎切蔚娜我鈨蓚�(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角； �、谝阎切蔚娜我鈨蓚�(gè)角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進(jìn)而計算出其他的邊和角。 而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個(gè)角的問(wèn)題上，學(xué)生產(chǎn)生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應放在余弦定理的發(fā)現和證明上。 2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比、轉化多角度地對余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。 3、學(xué)習了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關(guān)注的問(wèn)題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中應注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。 六、 教學(xué)支持條件分析 為了將學(xué)生從繁瑣的計算中解脫出來(lái)，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來(lái)完成。當使用計算器時(shí)，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時(shí)用等號，當取其近似值時(shí)，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時(shí)用約等號。 七、 教學(xué)過(guò)程設計 1、教學(xué)基本流程： �、購囊坏郎钪械膶�(shí)際問(wèn)題的解決引入問(wèn)題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來(lái)表示第三條邊。 �、谟嘞叶ɡ淼淖C明：?jiǎn)l(fā)學(xué)生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學(xué)生自己探索獲得定理的`證明。 �、蹜糜嘞叶ɡ斫庑比切�。 2、教學(xué)情景： �、賱�(chuàng )設情境，提出問(wèn)題 問(wèn)題1：現有卷尺和測角儀兩種工具，請你設計合理的方案，來(lái)測量學(xué)校前生物島邊界上兩點(diǎn)的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長(cháng)度）。 【設計意圖】：來(lái)源于生活中的問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，提高學(xué)習積極性。讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )到數學(xué)來(lái)源于生活，數學(xué)服務(wù)于生活。 師生活動(dòng)：教師可以采取小組合作的形式，讓學(xué)生設計方案嘗試解決。 學(xué)生1—方案1：如果卷尺足夠長(cháng)的話(huà)，可以在島對岸小路上取一點(diǎn)C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長(cháng)，用測角儀測出∠ACB的大小， 那么△ABC的大小就可以確定了。感覺(jué)似乎在△ABC中已知AC、BC的長(cháng)及夾角C的大小，可以求AB的長(cháng)了。 其他學(xué)生有異議，若卷尺沒(méi)有足夠長(cháng)呢？ 學(xué)生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點(diǎn)（如圖3），用卷尺量出CD的長(cháng)，再用測角儀測出圖中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長(cháng)了。 教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問(wèn)題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關(guān)系？ 【設計意圖】給學(xué)生足夠的空間和展示的平臺，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。 �、谇螽愄叫�，證明定理 問(wèn)題2：你能判斷下列三角形的類(lèi)型嗎？ 1、以3，4，5為各邊長(cháng)的三角形是_____三角形 以2，3，4為各邊長(cháng)的三角形是_____三角形 以4，5，6為各邊長(cháng)的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a=8，b=5，∠c=60°，你能求c邊長(cháng)嗎？ 【設計意圖】：幫助學(xué)生分析相關(guān)內容，從多角度看待問(wèn)題，用實(shí)踐進(jìn)行檢驗。師生活動(dòng)：引導學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來(lái)研究這一問(wèn)題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。 問(wèn)題3：你能夠有更好的具體的量化方法嗎？ 幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數、向量知識、坐標法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡(jiǎn)潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。 【設計意圖】：引導學(xué)生從相關(guān)知識入手，選擇簡(jiǎn)潔的工具。 學(xué)生3：在△ABC中，如圖4，過(guò)C作CD⊥AB，垂足為D。 在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1; 在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2; 學(xué)生4：如圖5，過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D。 學(xué)生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，2 22 2 2∴c=（bsinC）+（a- bcosC）= a+b-2abcosC 2 2 22 2 2類(lèi)似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。 教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉化為兩個(gè)直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來(lái)證明。并且進(jìn)一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時(shí)，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節課的重點(diǎn)—余弦定理。 【設計意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問(wèn)以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴密。 師生活動(dòng)：得出了余弦定理，教師還應引導學(xué)生聯(lián)想、類(lèi)比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。 教師：在前面學(xué)習正弦定理的證明過(guò)程種，我們用向量法比較簡(jiǎn)便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會(huì )有什么想法？ 【設計意圖】：通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂(lè )趣。 學(xué)生6：如圖6，教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡(jiǎn)潔明了，過(guò)程簡(jiǎn)單，體現了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長(cháng)度又可以聯(lián)系到平面內兩點(diǎn)間的距離公式，你會(huì )有什么啟發(fā)？ 【設計意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標，引導學(xué)生從直角坐標中用解析法證明定理。 學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a . 且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0）， 【設計意圖】：通過(guò)以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學(xué)生體會(huì )證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動(dòng)投入到整個(gè)數學(xué)學(xué)習的過(guò)程中，培養學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空間的深度和廣度。 【歸納概括】：余弦定理： 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 【設計意圖】：知識歸納比較，發(fā)現特征，加強識記 【結構分析】：觀(guān)察余弦定理，指明了三邊長(cháng)與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現a與A，b與B，C與c之間的對應表述，同時(shí)發(fā)現三邊長(cháng)的平方在余弦定理中同時(shí)出現。 【知識聯(lián)系】：余弦定理的推論： 【設計意圖】：在學(xué)生探究數學(xué)美，欣賞美的過(guò)程中，體會(huì )數學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。 �、圻\用定理，解決問(wèn)題 讓學(xué)生觀(guān)察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類(lèi)型的三角形問(wèn)題。 例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。 �、谠凇鰽BC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。 【設計意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類(lèi)最基本問(wèn)題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。 例2：已知△ABC中求c邊長(cháng) 分析：（1）用正弦定理分析引導 �。�2）應用余弦定理構造關(guān)于C的方程求解。 �。�3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問(wèn)題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。 �、芫毩暀z測： 1、某人站在山頂向下看一列車(chē)隊向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車(chē)與第二輛車(chē)的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛與第三輛車(chē)的俯角差，則第一輛車(chē)與第二輛車(chē)的距離與第二輛車(chē)的距離之間關(guān)系為（ ） A：> B：= C：< D：大小不確定 2、銳角△ABC中b=1，c=2，則a取值為（ ） A：（1,3） B：（1,） C：（，2） D：（，） 3、在△ABC中若有，你能判斷這個(gè)三角形的形狀嗎？ 若呢？ 3、小結 本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無(wú)論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過(guò)是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡(jiǎn)捷、和諧、對稱(chēng)”的美，其變式即推論也很協(xié)調。 4、作業(yè) 第1題：用正弦定理證明余弦定理。 【設計意圖】：繼續要求學(xué)生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉化成角，然后利用三角公式進(jìn)行推導證明。而這種把邊轉化為角、或把角轉化為邊的思想正是我們解決三角形問(wèn)題中的一種非常重要的思想方法。 第2題：在△ABC中，已知，求角A和C和邊c。 【設計意圖】：本題可以通過(guò)正弦定理和余弦定理來(lái)求解，讓學(xué)生體會(huì )兩種定理在解三角形問(wèn)題上的利弊。運用正弦定理求角可能會(huì )漏解，運用余弦定理求角不會(huì )漏解，但是計算可能較繁瑣。 5、板書(shū)設計： 1、推導余弦定理及其推論 2、例1、例2 3、練習指導 4、小結投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識 八：教學(xué)反思 1、余弦定理是解三角形的重要依據，要給予足夠重視。本節內容安排兩節課適宜。第一節，余弦定理的引出、證明和簡(jiǎn)單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用。 2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問(wèn)題，此時(shí)應注意解的不唯一性。但是這個(gè)問(wèn)題在本節課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時(shí)處理。 3、本節課的重點(diǎn)首先是定理的證明，其次才是定理的應用。我們傳統的定理概念教學(xué)往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過(guò)程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結論或公式，讓學(xué)生通過(guò)大量的題目去套用這些結論或形式，大搞題海戰術(shù)，加重了學(xué)生的負擔，效果很差。學(xué)生根本沒(méi)有掌握住這些定理、概念的形成過(guò)程，不能明白知識的來(lái)龍去脈，怎么會(huì )靈活的應用呢？事實(shí)上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習方法已經(jīng)不能適應新課標教育的教學(xué)理念。新課標課程倡導：強調過(guò)程，重視學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得的新知的體會(huì )，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內心感受，把“發(fā)現、探究知識”的權利還給學(xué)生。 4、本節課的教學(xué)過(guò)程重視學(xué)生探究知識的過(guò)程，突出了以教師為主導，學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過(guò)提供一些可供學(xué)生研究的素材，引導學(xué)生自己去研究問(wèn)題，探究問(wèn)題的結論。在這個(gè)過(guò)程中，教師應該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學(xué)生獨立思考、合作學(xué)習的意識，更不能采取“放羊式”的教學(xué)，對于學(xué)生在探究問(wèn)題中出現的困惑置之不理。 5、合理的應用多媒體教學(xué)，起到畫(huà)龍點(diǎn)睛、提高效率、增強學(xué)生對問(wèn)題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生上課時(shí)的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C械的“眼到”，學(xué)生看了一節課的“電影”，沒(méi)有充足的時(shí)間去思考、練習、鞏固，課后會(huì )很快將所學(xué)的知識忘得一干二凈。 教材分析這是高三一輪復習，內容是必修5第一章解三角形。本章內容準備復習兩課時(shí)。本節課是第一課時(shí)。標要求本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后應落實(shí)在解三角形的應用上。通過(guò)本節學(xué)習，學(xué)生應當達到以下學(xué)習目標： �。�1）通過(guò)對任意三角形邊長(cháng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。 �。�2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法判斷三角形形狀的問(wèn)題。本章內容與三角函數、向量聯(lián)系密切。 作為復習課一方面將本章知識作一個(gè)梳理，另一方面通過(guò)整理歸納幫助學(xué)生進(jìn)一步達到相應的學(xué)習目標。 學(xué)情分析學(xué)生通過(guò)必修5的學(xué)習，對正弦定理、余弦定理的內容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運用定理解決實(shí)際問(wèn)題，怎樣合理選擇定理進(jìn)行邊角關(guān)系轉化從而解決三角形綜合問(wèn)題，學(xué)生還需通過(guò)復習提點(diǎn)有待進(jìn)一步理解和掌握。 教學(xué)目標知識目標： �。�1）學(xué)生通過(guò)對任意三角形邊長(cháng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦、余弦定理的內容及其證明方法；會(huì )運用正、余弦定理與三角形內角和定理，面積公式解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題。 �。�2）學(xué)生學(xué)會(huì )分析問(wèn)題，合理選用定理解決三角形綜合問(wèn)題。 能力目標： 培養學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨立解決問(wèn)題的能力，培養學(xué)生在方程思想指導下處理解三角形問(wèn)題的運算能力，培養學(xué)生合情推理探索數學(xué)規律的數學(xué)思維能力。 情感目標： 通過(guò)生活實(shí)例探究回顧三角函數、正余弦定理，體現數學(xué)來(lái)源于生活，并應用于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣，并體會(huì )數學(xué)的應用價(jià)值，在教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的探索精神。 教學(xué)方法探究式教學(xué)、講練結合 重點(diǎn)難點(diǎn) 1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇； 2、正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。 教學(xué)策略 1、重視多種教學(xué)方法有效整合； 2、重視提出問(wèn)題、解決問(wèn)題策略的指導。 3、重視加強前后知識的密切聯(lián)系。 4、重視加強數學(xué)實(shí)踐能力的培養。 5、注意避免過(guò)于繁瑣的形式化訓練 6、教學(xué)過(guò)程體現“實(shí)踐→認識→實(shí)踐”。 設計意圖： 學(xué)生通過(guò)必修5的學(xué)習，對正弦定理、余弦定理的內容已經(jīng)了解，但對于如何靈活運用定理解決實(shí)際問(wèn)題，怎樣合理選擇定理進(jìn)行邊角關(guān)系轉化從而解決三角形綜合問(wèn)題，學(xué)生還需通過(guò)復習提點(diǎn)有待進(jìn)一步理解和掌握。作為復習課一方面要將本章知識作一個(gè)梳理，另一方面要通過(guò)整理歸納幫助學(xué)生學(xué)會(huì )分析問(wèn)題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問(wèn)題和實(shí)際應用問(wèn)題。 數學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數學(xué)知識的理解和掌握。雖然是復習課，但我們不能一味的講題，在教學(xué)中應體現以下教學(xué)思想： �、胖匾暯虒W(xué)各環(huán)節的合理安排： 在生活實(shí)踐中提出問(wèn)題，再引導學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題對新知進(jìn)行探究，然后引導學(xué)生回顧舊知識與方法，引出課題。激發(fā)學(xué)生繼續學(xué)習新知的欲望，使學(xué)生的知識結構呈一個(gè)螺旋上升的狀態(tài)，符合學(xué)生的認知規律。 �、浦匾暥喾N教學(xué)方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程。 �、侵匾曁岢鰡�(wèn)題、解決問(wèn)題策略的指導。共3頁(yè)，當前第1頁(yè)123 �、戎匾暭訌娗昂笾R的密切聯(lián)系。對于新知識的探究，必須增加足夠的預備知識，做好銜接。要對學(xué)生已有的知識進(jìn)行分析、整理和篩選，把對學(xué)生后繼學(xué)習中有需要的知識選擇出來(lái)，在新知識介紹之前進(jìn)行復習。 �、勺⒁獗苊膺^(guò)于繁瑣的形式化訓練。從數學(xué)教學(xué)的傳統上看解三角形內容有不少高度技巧化、形式化的問(wèn)題，我們在教學(xué)過(guò)程中應該注意盡量避免這一類(lèi)問(wèn)題的出現。 二、實(shí)施教學(xué)過(guò)程 �。ㄒ唬﹦�(chuàng )設情境、揭示提出課題 引例：要測量南北兩岸a、b兩個(gè)建筑物之間的距離，在南岸選取相距a點(diǎn)km的c點(diǎn)，并通過(guò)經(jīng)緯儀測的，你能計算出a、b之間的距離嗎？若人在南岸要測量對岸b、d兩個(gè)建筑物之間的距離，該如何進(jìn)行？ �。ǘ⿵土暬仡�、知識梳理 1．正弦定理： 正弦定理的變形： 利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題。 �。�1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角； �。�2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角） 2．余弦定理： a2=b2+c2－2bccosa； b2=c2+a2－2cacosb； c2=a2+b2－2abcosc。 cosa=； cosb=； cosc=。 利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題： �。�1）已知三邊，求三個(gè)角； �。�2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。 3．三角形面積公式： �。ㄈ┳灾鳈z測、知識鞏固 �。ㄋ模┑淅龑Ш�、知識拓展 【例1】 △abc的三個(gè)內角a、b、c的對邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：a=2b。 剖析：研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路。一是邊化角，二是角化邊。 證明：用正弦定理，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入a2=b（b+c）中，得sin2a=sinb（sinb+sinc）sin2a－sin2b=sinbsinc 因為a、b、c為三角形的三內角，所以sin（a+b）≠0。所以sin（a－b）=sinb。所以只能有a－b=b，即a=2b。 評述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解。 思考討論：該題若用余弦定理如何解決？ 【例2】已知a、b、c分別是△abc的三個(gè)內角a、b、c所對的'邊， �。�1）若△abc的面積為，c=2，a=600，求邊a，b的值； �。�2）若a=ccosb，且b=csina，試判斷△abc的形狀。 �。ㄎ澹┳兪接柧�、歸納整理 【例3】已知a、b、c分別是△abc的三個(gè)內角a、b、c所對的邊，若bcosc=（2a—c）cosb �。�1）求角b �。�2）設，求a+c的值。 剖析：同樣知道三角形中邊角關(guān)系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從而解決問(wèn)題，此題所變化的是與向量相結合，利用向量的模與數量積反映三角形的邊角關(guān)系，把本質(zhì)看清了，問(wèn)題與例2類(lèi)似解決。 此題分析后由學(xué)生自己作答，利用實(shí)物投影集體評價(jià)，再做歸納整理。 �。ń獯鹇裕� 課時(shí)小結（由學(xué)生歸納總結，教師補充） 1、解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理 2、根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角；②化角為邊。并常用正余弦定理實(shí)施邊角轉化。 3、用正余弦定理解三角形問(wèn)題可適當應用向量的數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形的邊長(cháng)。 4、應用問(wèn)題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數學(xué)模型解決問(wèn)題。 5、正余弦定理與三角函數、向量、不等式等知識相結合，綜合運用解決實(shí)際問(wèn)題。 課后作業(yè)： 材料三級跳 創(chuàng )設情境，提出實(shí)際應用問(wèn)題，揭示課題 學(xué)生在探究問(wèn)題時(shí)發(fā)現是解三角形問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)答將知識作一梳理。 學(xué)生通過(guò)課前預熱1、2、3、的快速作答，對正余弦定理的基本運用有了一定的回顧 學(xué)生探討 知識的關(guān)聯(lián)與拓展 正余弦定理與三角形內角和定理，面積公式的綜合運用對學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，尤其是根據條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )如何選擇定理進(jìn)行邊角互化。 本課是在學(xué)生學(xué)習了三角函數、平面幾何、平面向量、正弦和余弦定理的基礎上而設置的復習內容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦法。從解三角形的問(wèn)題出發(fā)，對學(xué)過(guò)的知識進(jìn)行分類(lèi)，采用的例題是精心準備的，講解也是至關(guān)重要的。一開(kāi)始的復習回顧學(xué)生能夠很好的回答正弦定理和余弦定理的基本內容，但對于兩個(gè)定理的變形公式不知，也就是說(shuō)對于公式的應用不熟練。設計中的自主檢測幫助學(xué)生回顧記憶公式，對學(xué)生更有針對性的進(jìn)行了訓練。學(xué)生還是出現了問(wèn)題，在遇到第一個(gè)正弦方程時(shí)，是只有一組解還是有兩組解，這是難點(diǎn)。例1、例2是常規題，讓學(xué)生應用數學(xué)知識求解問(wèn)題，可用正弦定理，也可用余弦定理，幫助學(xué)生鞏固正弦定理、余弦定理知識。 本節課授課對象為高三6班的學(xué)生，上課氛圍非�；钴S�？紤]到這是一節復習課，學(xué)生已經(jīng)知道了定理的內容，沒(méi)有經(jīng)歷知識的發(fā)生與推導，所以興趣不夠，較沉悶。奧蘇貝爾指出，影響學(xué)習的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據學(xué)生原有的知識狀況去進(jìn)行教學(xué)。因而，在教學(xué)中，教師了解學(xué)生的真實(shí)的思維活動(dòng)是一切教學(xué)工作的實(shí)際出發(fā)點(diǎn)。教師應當"接受"和"理解"學(xué)生的真實(shí)思想，盡管它可能是錯誤的或幼稚的，但卻具有一定的"內在的"合理性，教師不應簡(jiǎn)單否定，而應努力去理解這些思想的產(chǎn)生與性質(zhì)等等，只有真正理解了學(xué)生思維的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，才能有的放矢地采取適當的教學(xué)措施以便幫助學(xué)生不斷改進(jìn)并最終實(shí)現自己的目標。由于這種探究課型在平時(shí)的教學(xué)中還不夠深入，有些學(xué)生往往以一種觀(guān)賞者的身份參與其中，主動(dòng)探究意識不強，思維水平?jīng)]有達到足夠的提升。這些都是不足之處，比較遺憾。但相信隨著(zhù)課改實(shí)驗的深入，這種狀況會(huì )逐步改善。畢竟輕松愉快的課堂是學(xué)生思維發(fā)展的天地，是合作交流、探索創(chuàng )新的主陣地，是思想教育的好場(chǎng)所。所以新課標下的課堂將會(huì )是學(xué)生和教師共同成長(cháng)的舞臺！ 一、教學(xué)設計 1、教學(xué)背景 在近幾年教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現這樣的怪現象：絕大多數學(xué)生認為數學(xué)很重要，但很難；學(xué)得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學(xué)，我們才不會(huì )去理會(huì )，況且將來(lái)用數學(xué)的機會(huì )很少；許多學(xué)生完全依賴(lài)于教師的講解，不會(huì )自學(xué)，不敢提問(wèn)題，也不知如何提問(wèn)題，這說(shuō)明了學(xué)生一是不會(huì )學(xué)數學(xué)，二是對數學(xué)有恐懼感，沒(méi)有信心，這樣的心態(tài)怎能對數學(xué)有所創(chuàng )新呢即使有所創(chuàng )新那與學(xué)生們所花代價(jià)也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂(lè )和個(gè)性特長(cháng)。建構主義提倡情境式教學(xué)，認為多數學(xué)習應與具體情境有關(guān)，只有在解決與現實(shí)世界相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在20xx級進(jìn)行了“創(chuàng )設數學(xué)情境與提出數學(xué)問(wèn)題”的以學(xué)生為主的“生本課堂”教學(xué)實(shí)驗，通過(guò)一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)驗，多數同學(xué)已能適應這種學(xué)習方式，平時(shí)能主動(dòng)思考，敢于提出自己關(guān)心的問(wèn)題和想法，從過(guò)去被動(dòng)的接受知識逐步過(guò)渡到主動(dòng)探究、索取知識，增強了學(xué)習數學(xué)的興趣。 2、教材分析 “余弦定理”是高中數學(xué)的主要內容之一，是解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題的兩個(gè)重要定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問(wèn)題的其它數學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的應用價(jià)值。本節課是“正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節課，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理。布魯納指出，學(xué)生不是被動(dòng)的、消極的知識的接受者，而是主動(dòng)的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng )設學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導學(xué)生去思考，參與知識獲得的過(guò)程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復習鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會(huì )聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀(guān)點(diǎn)，而且能培養學(xué)生的應用意識和實(shí)踐操作能力，以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習的能力。 3、設計思路 建構主義強調，學(xué)生并不是空著(zhù)腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會(huì )生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問(wèn)題即使他們還沒(méi)有接觸過(guò)，沒(méi)有現成的經(jīng)驗，但當問(wèn)題一旦呈現在面前時(shí)，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠他們的認知能力，形成對問(wèn)題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學(xué)不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識，而是要把學(xué)生現有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長(cháng)點(diǎn)，引導學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長(cháng)”出新的知識經(jīng)驗。 為此我們根據“情境—問(wèn)題”教學(xué)模式，沿著(zhù)“設置情境—提出問(wèn)題—解決問(wèn)題—反思應用”這條主線(xiàn)，把從情境中探索和提出數學(xué)問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，以“問(wèn)題”為紅線(xiàn)組織教學(xué)，形成以提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境—問(wèn)題”學(xué)習鏈，使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，成為知識的“發(fā)現者”和“創(chuàng )造者”，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識、發(fā)展能力、體驗數學(xué)的過(guò)程。根據上述精神，做出了如下設計： �、賱�(chuàng )設一個(gè)現實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景； �、趩l(fā)、引導學(xué)生提出自己關(guān)心的現實(shí)問(wèn)題，逐步將現實(shí)問(wèn)題轉化、抽象成過(guò)渡性數學(xué)問(wèn)題，解決問(wèn)題時(shí)需要使用余弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機。然后引導學(xué)生抓住問(wèn)題的數學(xué)實(shí)質(zhì)，引伸成一般的數學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。 �、蹫榱私鉀Q提出的問(wèn)題，引導學(xué)生從原有的'知識經(jīng)驗中“生長(cháng)”出新的知識經(jīng)驗，通過(guò)作邊BC的垂線(xiàn)得到兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式，進(jìn)而引導學(xué)生進(jìn)行嚴格的邏輯證明。證明時(shí)，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導學(xué)生明確以下兩點(diǎn)：一是證明的起點(diǎn)；二是如何將向量關(guān)系轉化成數量關(guān)系。 �、苡蓪W(xué)生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問(wèn)題。 二、教學(xué)反思 本課中，教師立足于所創(chuàng )設的情境，通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、應用反思的過(guò)程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現者”和“創(chuàng )造者”，切身感受了創(chuàng )造的苦和樂(lè )，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實(shí)，為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。 例如，新課的引入，我引導學(xué)生從向量的模下手思考： 生：利用向量的模并借助向量的數量積。 教師：正確！由于向量的模長(cháng)，夾角已知，只需將向量用向量來(lái)表示即可。易知，接下來(lái)只要把這個(gè)向量等式數量化即可。如何實(shí)現呢 學(xué)生：通過(guò)向量數量積的運算。 通過(guò)教師的引導，學(xué)生不難發(fā)現還可以寫(xiě)成，不共線(xiàn)，這是平面向量基本定理的一個(gè)運用。因此在一些解三角形問(wèn)題中，我們還可以利用平面向量基本定理尋找向量等式，再把向量等式化成數量等式，從而解決問(wèn)題。 �。◤膶W(xué)生的“最近發(fā)展區”出發(fā)，證明方法層層遞進(jìn)，激發(fā)學(xué)生探求新知的欲望，從而感受成功的喜悅。） 創(chuàng )設數學(xué)情境是“情境·問(wèn)題·反思·應用”教學(xué)的基礎環(huán)節，教師必須對學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識水平、教學(xué)內容、教學(xué)目標等因素進(jìn)行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。 從應用需要出發(fā)，創(chuàng )設認知沖突型數學(xué)情境，是創(chuàng )設情境的常用方法之一�！坝嘞叶ɡ怼本哂袕V泛的應用價(jià)值，故本課中從應用需要出發(fā)創(chuàng )設了教學(xué)中所使用的數學(xué)情境。該情境源于教材解三角形應用舉例的例1實(shí)踐說(shuō)明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng )設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進(jìn)行深入、細致、全面的研究，便不難發(fā)現教材中有不少可用的素材。 “情境·問(wèn)題·反思·應用”教學(xué)模式主張以問(wèn)題為“紅線(xiàn)”組織教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體，如何引導學(xué)生提出問(wèn)題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵，教學(xué)實(shí)驗表明，學(xué)生能否提出數學(xué)問(wèn)題，不僅受其數學(xué)基礎、生活經(jīng)歷、學(xué)習方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng )設適宜的數學(xué)情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有“問(wèn)題”的誘導性、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉變對學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度，提高引導水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題。關(guān)注學(xué)生學(xué)習的結果，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習的過(guò)程；關(guān)注學(xué)生數學(xué)學(xué)習的水平，更關(guān)注學(xué)生在數學(xué)活動(dòng)中所表現出來(lái)的情感與態(tài)度；關(guān)注是否給學(xué)生創(chuàng )設了一種情境，使學(xué)生親身經(jīng)歷了數學(xué)活動(dòng)過(guò)程。把“質(zhì)疑提問(wèn)”，培養學(xué)生的數學(xué)問(wèn)題意識，提高學(xué)生提出數學(xué)問(wèn)題的能力作為教與學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)與歸宿。 【《余弦定理》教學(xué)設計】相關(guān)文章： 余弦定理優(yōu)秀教學(xué)設計08-25 余弦定理優(yōu)秀教學(xué)設計8篇（精）03-12 高三數學(xué)《余弦定理》評課稿07-22 《杯子的設計》教學(xué)設計03-14 an教學(xué)設計06-13 教學(xué)設計09-05 數學(xué)學(xué)習方法：正弦與余弦定理和公式06-28 高三數學(xué)《余弦定理》評課稿2篇03-10《余弦定理》教學(xué)設計2
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