因數與倍數的教材分析
“因數與倍數”這一單元的知識是學(xué)生學(xué)習數學(xué)不可或缺的基礎。之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了一定的整數知識，如整數的認識、整數的四則混合運算及其應用。本單元將進(jìn)一步認識整數的性質(zhì)，主要學(xué)習內容包括：因數與倍數，2、5和3的倍數的特征，質(zhì)數與合數。因數、倍數、質(zhì)數、合數等概念以及最大公因數、最小公倍數等內容都是初等數論的基礎知識。數學(xué)一直被譽(yù)為“科學(xué)的皇后”，而數論更被譽(yù)為“數學(xué)的皇后”。單元的知識作為數論知識的基礎，是小學(xué)數學(xué)教材中的重要內容。一方面，學(xué)習分數，特別是學(xué)習約分、通分，需要以因數、倍數的概念為基礎，進(jìn)一步掌握公因數、最大公因數和公倍數、最小公倍數的概念，需以質(zhì)數、合數的概念為基礎，同時(shí)掌握2、5和3的倍數的特征。另一方面，學(xué)習了本單元的知識，能使學(xué)生加深對整數與整數除法的認識，加之這些知識比較抽象，而且概念間的聯(lián)系非常緊密，所以也有助于發(fā)展學(xué)生的數學(xué)思維。
一、與實(shí)驗教材(《義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)數學(xué)五年級》，下同)的主要區別
1.與實(shí)驗教材相比，修訂后的教材不再出現整除的概念，因數和倍數的概念由整數除法算式引出，而不是乘法，這樣便于學(xué)生感知因數與倍數的本質(zhì)內涵，領(lǐng)悟這兩個(gè)概念不是針對整數乘法，而是反映整數除法中余數為0的情況，為后面找一個(gè)數的因數和倍數做準備。
2.與實(shí)驗教材相比，修訂后的教材更加明確了因數與倍數的相互依存的關(guān)系。
3.與實(shí)驗教材相比，在學(xué)習2、5、3的倍數的特征時(shí)，修訂后的教材均采用了百數表，這樣使學(xué)生的探究學(xué)習更加開(kāi)放，有利于提高學(xué)生獨立學(xué)習的能力和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng )造性思維。
4.與實(shí)驗教材相比，修訂后的教材增加了兩數之和的奇偶性的探討，讓學(xué)生在探究過(guò)程中獲得數學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗，豐富解決問(wèn)題的策略。
二、教材例題分析
(一)因數和倍數
例1：因數和倍數的概念
例1教材給出9個(gè)除法算式，讓學(xué)生試著(zhù)分類(lèi);接著(zhù)出示以“商是整數且沒(méi)有余數”為分類(lèi)標準分成兩類(lèi)的一種結果。在此基礎上由第一類(lèi)中的整數除法，引出因數和倍數的概念，并舉例說(shuō)明。
從具體的整數除法等式到抽象的數學(xué)概念，再由抽象的概念回到具體，舉例說(shuō)明概念。這樣的思維轉換過(guò)程有利于學(xué)生認知概念，切實(shí)掌握概念。通過(guò)讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)第一類(lèi)中每個(gè)算式，誰(shuí)是誰(shuí)的因數，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數，進(jìn)一步體會(huì )“因數和倍數是互相依存的”。
在例1的最后，教材指出了本單元中的數的研究范圍是大于0的自然數。
例2：一個(gè)數的因數的求法
例2直接提出問(wèn)題：“18的因數有哪幾個(gè)?”引導學(xué)生利用因數的概念從小到大依次寫(xiě)出，然后再用集合圖表示出一個(gè)數的全部因數，為后面用交集圖表示兩個(gè)數的公因數打下基礎，并使學(xué)生初步體會(huì )一個(gè)數的因數個(gè)數是有限的。
例3：一個(gè)數的倍數的求法
例3教材直接提出問(wèn)題：“2的倍數有哪些?”因為被除數相當于積，所以求2的倍數可將2和任意非零自然數相乘得到。學(xué)生在列乘法算式時(shí)就會(huì )發(fā)現這樣的算式是列不完的，因此，2的倍數的個(gè)數是無(wú)限的。接著(zhù)也用集合圖表示出2的倍數，為后面學(xué)習交集圖表示兩個(gè)數的公倍數奠定基礎。
最后引導學(xué)生抽象概括出一個(gè)數的最小、最大因數和最小倍數分別是什么，總結出一個(gè)數的因數、倍數的個(gè)數的結論，在其中滲透從個(gè)別到全體、從具體到一般的抽象歸納思想方法。
(二)2、5、3的倍數的特征
例1：2、5的倍數的特征
例1教材采用了百數表，讓學(xué)生畫(huà)圈、畫(huà)框、觀(guān)察、發(fā)現、總結。比如，將5的倍數圈起來(lái)，學(xué)生馬上就能發(fā)現5的倍數都集中在兩列上，特征也非常明顯，一列個(gè)位都是5，另一列個(gè)位都是0，因此學(xué)生能順利的歸納出5的倍數的特征。同樣道理，將2的倍數框起來(lái)，也能夠顯而易見(jiàn)地發(fā)現其特征。
為了便于學(xué)生總結自己的發(fā)現，教材以學(xué)生對話(huà)的形式，給出5、2倍數的特征的不完整描述，讓學(xué)生把特征填寫(xiě)完整。在總結了2的倍數的特征的基礎上，教材引出了偶數、奇數的概念。完成了做一做，學(xué)生能夠歸納出既是2的倍數也是5的倍數的數的特征。
例2：3的倍數的特征
例2教材仍采用百數表，讓學(xué)生先圈數，再根據提示，觀(guān)察、思考，回答問(wèn)題，獲得新的發(fā)現。3的倍數的特征比較隱蔽，且容易受2和5倍數特征的觀(guān)察定式、思維定式的影響。為了盡量避免已學(xué)知識對新知識學(xué)習的負遷移，教材第(2)條指導語(yǔ)，提出兩個(gè)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生排除只看到個(gè)位的定式，然后通過(guò)第(3)條指導語(yǔ)，提示變換觀(guān)察的角度。
兩個(gè)女孩的對話(huà)，說(shuō)出了探究過(guò)程中思維轉換的關(guān)鍵內容。小精靈的提示，引導學(xué)生進(jìn)一步驗證規律。
(三)質(zhì)數和合數
質(zhì)數和合數的概念
教材首先讓學(xué)生找出1—20各數的全部因數，然后按照每個(gè)數的因數的個(gè)數進(jìn)行分類(lèi)。在此基礎上給出質(zhì)數、合數的概念。同時(shí)指出1既不是質(zhì)數，也不是合數。在小學(xué)階段學(xué)生可以理解為1只有一個(gè)因數，質(zhì)數有兩個(gè)因數，合數有三個(gè)及多因數。
例1：找出100以?xún)人械馁|(zhì)數
例1教材又采用了百數表，讓學(xué)生找出100以?xún)鹊乃匈|(zhì)數。通過(guò)學(xué)生的對話(huà)，介紹了兩種操作方法。其中依次劃去每個(gè)質(zhì)數本身之外的所有倍數的方法，叫做“篩法”，它是數論中有著(zhù)廣泛應用的一個(gè)初等方法。
由于小學(xué)用到的質(zhì)數比較少，所以教材中只要求學(xué)生找出100以?xún)鹊乃匈|(zhì)數。這些質(zhì)數不必要求學(xué)生都背熟，但是熟悉20以?xún)鹊馁|(zhì)數還是必要的。
例2：探索兩數之和的奇偶性
例2是以探索兩數之和的奇偶性為例，讓學(xué)生在探究過(guò)程中獲得數學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗，豐富解決問(wèn)題的策略。
教材根據奇數、偶數相加的三種情況，提出了三個(gè)問(wèn)題�！伴喿x與理解”環(huán)節給出了三個(gè)問(wèn)題的一種表征方式，即用算式表示�！胺治雠c解答”環(huán)節提示了三種獲取結論的方法，即舉例、說(shuō)理、圖示。事實(shí)上，這三種方法結合使用，可以提高結論的可靠性，增強學(xué)生對結論的理解和確信感�！盎仡櫯c反思”環(huán)節給出了用大數試一試的檢驗方法，并提出問(wèn)題，請學(xué)生思考其他的驗證方法。也就是啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系加減法的關(guān)系想到：如果“奇數+偶數=奇數”是對的，那么一定有“奇數—奇數=偶數”“奇數—偶數=奇數”。這樣既驗證和的奇偶性，又獲得了差的奇偶性的結論。作為教師必須清楚，舉例驗證本質(zhì)上只是不完全歸納，不是證明。
本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：因數和倍數的概念;2、5、3的倍數的特征;質(zhì)數和合數的概念。教學(xué)難點(diǎn)是概念之間的聯(lián)系和區別，在建立概念、運用概念的過(guò)程中，逐步發(fā)展數學(xué)的抽象能力與推理能力。
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