二次函數知識總結
一、定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(a0)，則稱(chēng)y為x的二次函數。
二、二次函數的三種表達式一般式：
y=ax2+bx+c(a0)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a0)，此時(shí)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標為P(h，k)交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)僅用于函數圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標，所以?xún)山稽c(diǎn)的坐標分別為A(x1，0)和B(x2，0))，對稱(chēng)軸所在的直線(xiàn)為x=注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-
三、二次函數的圖像從圖像可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)，屬于軸對稱(chēng)圖形。
四、拋物線(xiàn)的性質(zhì)
1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形，對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-，對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0)
2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為P(-，)。當x=-時(shí)，y最值=，當a0時(shí)，函數y有最小值;當a0時(shí)，函數y有最大值。當-=0時(shí)，P在y軸上(即交點(diǎn)的橫坐標為0);當=b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上(即函數與x軸只有一個(gè)交點(diǎn))。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小(即形狀)。當a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上;當a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下。|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。對于兩個(gè)拋物線(xiàn)，若形狀相同，開(kāi)口方向相同，則a相等;若形狀相同，開(kāi)口方向相反，則a互為相反數。
4.二次項系數a和一次項系數b共同決定對稱(chēng)軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當對稱(chēng)軸在y軸左邊時(shí)，a與b同號(即ab當對稱(chēng)軸在y軸右邊時(shí)，a與b異號(即ab0)。
5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位置，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)(0，c)。
6.拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，對應方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數根;=b2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，對應方程有兩個(gè)相同的實(shí)數根。=b2-4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，對應方程沒(méi)有實(shí)數根。
五、二次函數與一元二次方程
二次函數(以下稱(chēng)函數)y=ax2+bx+c(a0)，當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。(參考四-6)
六、常用的計算方法
1、求解析式的時(shí)候：若給定三個(gè)普通點(diǎn)的坐標，則設為一般式y=ax2+bx+c(a0)，分別將三點(diǎn)坐標代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設的一般式中即可求出解析式;若給定有頂點(diǎn)坐標或對稱(chēng)軸、最值，則設為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k(a0)，再找一點(diǎn)坐標代入即可求出a，再代回設的頂點(diǎn)式即可求出解析式;若給定有與x軸的交點(diǎn)坐標，則設為交點(diǎn)式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，再找一點(diǎn)坐標代入即可求出a，再代回設的交點(diǎn)式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號內的正負號。
2、若求函數與x軸的交點(diǎn)坐標，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點(diǎn)的橫坐標;
3、若求函數的頂點(diǎn)坐標，用配方的方法或者直接套用頂點(diǎn)坐標的公式;
4、若求函數的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點(diǎn)坐標)。
5、當需要判定函數y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，需判定方程ax2+bx+c=0的lt;0，同理，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，=0，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，gt;0。對的判定方法仍然是用配方的方法。
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