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數學(xué)積化和差公式
高中數學(xué)公式：數學(xué)積化和差公式
【摘要】鑒于大家對十分關(guān)注，小編在此為大家整理了此文“高中數學(xué)公式：數學(xué)積化和差公式”，供大家參考!
本文題目：高中數學(xué)公式：數學(xué)積化和差公式
積化和差，指初等數學(xué)三角函數部分的一組恒等式。
公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的負號】
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
證明
法1
積化和差恒等式可以通過(guò)展開(kāi)角的和差恒等式的右手端來(lái)證明。
即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開(kāi)就能證明：
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。
(該證明法逆向推導可用于和差化積的計算，參見(jiàn)和差化積)
法2
根據歐拉公式，e^ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
記憶方法
積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了特點(diǎn)各自的簡(jiǎn)單記憶方法。
【1】這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是
[-2,2]，而積的值域確是[-1,1]，因此除以2是必須的。
也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶，因為展開(kāi)兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
高中數學(xué)公式：數學(xué)積化和差公式
【摘要】鑒于大家對十分關(guān)注，小編在此為大家整理了此文“高中數學(xué)公式：數學(xué)積化和差公式”，供大家參考!
本文題目：高中數學(xué)公式：數學(xué)積化和差公式
積化和差，指初等數學(xué)三角函數部分的一組恒等式。
公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的負號】
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
證明
法1
積化和差恒等式可以通過(guò)展開(kāi)角的和差恒等式的右手端來(lái)證明。
即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開(kāi)就能證明：
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。
(該證明法逆向推導可用于和差化積的計算，參見(jiàn)和差化積)
法2
根據歐拉公式，e^ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
記憶方法
積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了特點(diǎn)各自的簡(jiǎn)單記憶方法。
【1】這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是
[-2,2]，而積的值域確是[-1,1]，因此除以2是必須的。
也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶，因為展開(kāi)兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
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