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中國剩余定理問(wèn)題的解題技巧
【問(wèn)題】有１個(gè)數，除以７余２．除以８余４，除以９余３，這個(gè)數至少是多少？
這種問(wèn)題稱(chēng)為“中國剩余定理”問(wèn)題。
我一般用兩種方法解決這類(lèi)問(wèn)題。
第一種是逐步滿(mǎn)足法，方法麻煩一點(diǎn)，但適合所有這類(lèi)題目。
第二種是最小共倍法，方法簡(jiǎn)單，但只適合特殊類(lèi)型的題目。
還有“中國剩余定理”的方法，但它不完善且解法較為復雜，普及應用有一定難度，還不穩定。所以一般不用。
下面分別介紹一下常用的兩種方法。
通用的方法：逐步滿(mǎn)足法
【問(wèn)題】一個(gè)數，除以5余1，除以3余2。問(wèn)這個(gè)數最小是多少？
把除以5余1的數從小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后從小到大找除以3余2的，發(fā)現最小的是11。
所以11就是所求的數。
先滿(mǎn)足一個(gè)條件，再滿(mǎn)足另一個(gè)條件，所以稱(chēng)之為“逐步滿(mǎn)足法”。
好多數學(xué)題目都可以用逐步滿(mǎn)足的思想解決。
特殊的方法：最小公倍法
情況一
【問(wèn)題】一個(gè)數除以5余1，除以3也余1。問(wèn)這個(gè)數最小是多少？（1除外）
除以5余1：說(shuō)明這個(gè)數減去1后是5的倍數。
除以3余1：說(shuō)明這個(gè)數減去1后也是3的倍數。
所以，這個(gè)數減去1后是3和5的公倍數。要求最小，所以這個(gè)數減去1后就是3和5的最小公倍數。即這個(gè)數減去1后是15，所以這個(gè)數是15＋1=16。
情況二
【問(wèn)題】一個(gè)數除以5余4，除以3余2。問(wèn)這個(gè)數最小是多少？
這種情況也可以用特殊法。
數除以5余4，說(shuō)明這個(gè)數加上1后是5的倍數。
數除以3余2，說(shuō)明這個(gè)數加上1后也是3的倍數。
所以，這個(gè)數加上1后是3和5的公倍數。要求最小，所以這個(gè)數加上1后就是3和5的最小公倍數。即這個(gè)數加上1后是15，所以這個(gè)數是15－1=14。
多個(gè)數的，比如3個(gè)數的，有時(shí)候其中兩個(gè)可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿(mǎn)足兩個(gè)條件的數后再用通用的方法求滿(mǎn)足最后一個(gè)條件的數。
所以有時(shí)候特殊法和通用法混合使用。在使用的過(guò)程中如果能靈活運用余數問(wèn)題的技巧，會(huì )非常有利于解題。
我們接下來(lái)分析最開(kāi)始的那個(gè)問(wèn)題。
【問(wèn)題】有１個(gè)數，除以７余２．除以８余４，除以９余３，這個(gè)數至少是多少？
這道題目不能用特殊法，我們用通用法，解題過(guò)程中注意余數知識的運用。
除以７余２的數可以寫(xiě)成7n＋2。
7n＋2這樣的數除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余數知識）
7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余數知識），則n最小取6。
所以滿(mǎn)足“除以７余２，除以8余4”的最小的數是7×6＋2=44。
所有滿(mǎn)足“除以７余２，除以8余4”的數都可以寫(xiě)成44＋56×m。（想想為什么？）
要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余數知識）
56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余數知識），則m最小取2。
所以滿(mǎn)足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的數是44＋56×2=156。
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