中國剩余定理的解題技巧

中國剩余定理的解題技巧

　　剩余定理一般指孫子定理。孫子定理是中國古代求解一次同余式組（見(jiàn)同余）的方法。是數論中一個(gè)重要定理。以下是小編幫大家整理的中國剩余定理的解題技巧，希望對大家有所幫助。

　　中國剩余定理的解題技巧

　　有1個(gè)數，除以7余2，除以8余4，除以9余3，這個(gè)數至少是多少？

　　這種問(wèn)題稱(chēng)為“中國剩余定理”問(wèn)題。

　　我一般用兩種方法解決這類(lèi)問(wèn)題。

　　第一種是逐步滿(mǎn)足法，方法麻煩一點(diǎn)，但適合所有這類(lèi)題目。

　　第二種是最小共倍法，方法簡(jiǎn)單，但只適合特殊類(lèi)型的題目。

　　還有“中國剩余定理”的方法，但它不完善且解法較為復雜，普及應用有一定難度，還不穩定。所以一般不用。

　　下面分別介紹一下常用的兩種方法。

　　通用的方法：逐步滿(mǎn)足法

　　一個(gè)數，除以5余1，除以3余2。問(wèn)這個(gè)數最小是多少？

　　把除以5余1的數從小到大排列：1，6，11，16，21，26……

　　然后從小到大找除以3余2的，發(fā)現最小的是11。

　　所以11就是所求的數。

　　先滿(mǎn)足一個(gè)條件，再滿(mǎn)足另一個(gè)條件，所以稱(chēng)之為“逐步滿(mǎn)足法”。

　　好多數學(xué)題目都可以用逐步滿(mǎn)足的思想解決。

　　特殊的方法：最小公倍法

　　情況一

　　一個(gè)數除以5余1，除以3也余1。問(wèn)這個(gè)數最小是多少？（1除外）

　　除以5余1：說(shuō)明這個(gè)數減去1后是5的倍數。

　　除以3余1：說(shuō)明這個(gè)數減去1后也是3的倍數。

　　所以，這個(gè)數減去1后是3和5的公倍數。要求最小，所以這個(gè)數減去1后就是3和5的最小公倍數。即這個(gè)數減去1后是15，所以這個(gè)數是15＋1=16。

　　情況二

　　一個(gè)數除以5余4，除以3余2。問(wèn)這個(gè)數最小是多少？

　　這種情況也可以用特殊法。

　　數除以5余4，說(shuō)明這個(gè)數加上1后是5的倍數。

　　數除以3余2，說(shuō)明這個(gè)數加上1后也是3的倍數。

　　所以，這個(gè)數加上1后是3和5的公倍數。要求最小，所以這個(gè)數加上1后就是3和5的最小公倍數。即這個(gè)數加上1后是15，所以這個(gè)數是15－1=14。

　　多個(gè)數的，比如3個(gè)數的，有時(shí)候其中兩個(gè)可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿(mǎn)足兩個(gè)條件的數后再用通用的方法求滿(mǎn)足最后一個(gè)條件的數。

　　所以有時(shí)候特殊法和通用法混合使用。在使用的過(guò)程中如果能靈活運用余數問(wèn)題的技巧，會(huì )非常有利于解題。

　　我們接下來(lái)分析最開(kāi)始的那個(gè)問(wèn)題。

　　有1個(gè)數，除以7余2，除以8余4，除以9余3，這個(gè)數至少是多少？

　　這道題目不能用特殊法，我們用通用法，解題過(guò)程中注意余數知識的運用。

　　除以7余2的數可以寫(xiě)成7n＋2。

　　7n＋2這樣的數除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余數知識）

　　7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余數知識），則n最小取6。

　　所以滿(mǎn)足“除以7余2，除以8余4”的最小的數是7×6＋2=44。

　　所有滿(mǎn)足“除以7余2，除以8余4”的數都可以寫(xiě)成44＋56×m。（想想為什么？）

　　要求44＋56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余數知識）

　　56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余數知識），則m最小取2。

　　所以滿(mǎn)足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的數是44＋56×2=156。

　　剩余定理是什么

　　剩余定理是數論中的一個(gè)重要定理，主要用于解決關(guān)于整數的一些問(wèn)題。它主要分為以下幾種類(lèi)型：

　　余同取余：如果一個(gè)數除以幾個(gè)不同的數，余數相同，那么這個(gè)數可以表示成這幾個(gè)除數的最小公倍數的倍數與余數相加的形式。例如，如果一個(gè)數除以3余1，除以4余1，除以10余1”，則這個(gè)數可表示為60n1。

　　和同加和：如果一個(gè)數除以幾個(gè)不同的數，除數與余數之和相同，那么這個(gè)數可以表示成這幾個(gè)除數的最小公倍數的倍數與該和相加的形式。例如，如果一個(gè)數除以5余4，除以6余3，除以8余1”，則這個(gè)數可表示為120n9。

　　差同減差：如果一個(gè)數除以幾個(gè)不同的數，除數與余數之差相同，那么這個(gè)數可以表示成這幾個(gè)除數的最小公倍數的倍數與該差相減的形式。例如，如果一個(gè)數除以3余1，除以4余2，除以10余8”，則這個(gè)數可表示為60n-2。

　　此外，剩余定理也被用于求解一些特定的數值問(wèn)題，例如《孫子算經(jīng)》中提到的“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二”的問(wèn)題，可以通過(guò)剩余定理找到最小正整數解。

　　在實(shí)際應用中，剩余定理可以幫助我們確定一個(gè)數在被多個(gè)數除時(shí)的余數，進(jìn)而推算出這個(gè)數本身。例如，如果我們知道一個(gè)數被3、5、7這三個(gè)數除都余2，我們可以利用這些信息來(lái)計算這個(gè)數。

　　綜上所述，剩余定理是一種重要的數論定理，它在解決問(wèn)題時(shí)提供了簡(jiǎn)潔且有效的解決方法。

　　技巧：

　　1、模線(xiàn)性同余方程求解：

　　對于單個(gè)模線(xiàn)性同余方程ax≡b(mod m)，可以利用擴展歐幾里得算法求出其解。

　　2、構造乘積形式：

　　根據定理內容，需要將原問(wèn)題轉化為求一個(gè)數x，在每個(gè)模mi下都滿(mǎn)足給定的同余條件。這通常通過(guò)先分別對每個(gè)模求解，然后利用中國剩余定理的結論進(jìn)行“拼接”。

　　3、使用遞歸或迭代法：

　　當模數較多時(shí)，可以采用逐次求解、逐步合并的方法，類(lèi)似于輾轉相除法或者更高級的遞歸算法。

　　4、簡(jiǎn)化問(wèn)題：

　　如果發(fā)現某些模數之間不互質(zhì)，可以通過(guò)約簡(jiǎn)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，即將不互質(zhì)的模數合并成互質(zhì)的模數。

　　5、利用程序實(shí)現：

　　對于復雜的問(wèn)題，可以借助計算機編程語(yǔ)言如Python、C++等，利用已有的庫函數來(lái)快速高效地求解。

　　總結起來(lái)，靈活運用中國剩余定理的關(guān)鍵在于理解和熟練掌握模運算性質(zhì)，并能夠針對具體問(wèn)題選擇合適的求解策略。