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關(guān)于極限與探索性問(wèn)題的解題技巧
【命題趨向】
綜觀(guān)歷屆全國各套高考數學(xué)試題,我們發(fā)現對極限的考查有以下一些知識類(lèi)型與特點(diǎn):
1.數學(xué)歸納法
�、倏陀^(guān)性試題主要考查學(xué)生對數學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)的理解,掌握數學(xué)歸納法的證題步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用).
�、诮獯痤}大多以考查數學(xué)歸納法內容為主,并涉及到函數、方程、數列、不等式等綜合性的知識,在解題過(guò)程中通常用到等價(jià)轉化,分類(lèi)討論等數學(xué)思想方法,是屬于中高檔難度的題目
�、蹟祵W(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內容之一.類(lèi)比與猜想是應用數學(xué)歸納法所體現的比較突出的思想,抽象與概括,從特殊到一般是應用數學(xué)歸納法的一種主要思想方法. 在由n=時(shí)命題成立,證明n= 1命題也成立時(shí),要注意設法化去增加的項,通常要用到拆項、組合、添項、減項、分解、化簡(jiǎn)等技巧,這一點(diǎn)要高度注意.
2. 數列的極限
�、倏陀^(guān)性試題主要考查極限的四則運算法則、無(wú)窮遞縮等比數列所有項和等內容,對基本的計算技能要求比較高,直接運用四則運算法則求極限.
�、诮獯痤}大多結合數列的計算求極限等,涉及到函數、方程、不等式知識的綜合性試題,在解題過(guò)程中通常用到等價(jià)轉化,分類(lèi)討論等數學(xué)思想方法,是屬于中高檔難度的題目.
�、蹟盗信c幾何:由同樣的方法得到非常有規律的同一類(lèi)幾何圖形,通常相關(guān)幾何量構成等比數列,這是一類(lèi)新題型.
3.函數的極限
�、俅瞬糠譃樾略鰞热�,本章內容在高考中以填空題和解答題為主.應著(zhù)重在概念的理解,通過(guò)考查函數在自變量的某一變化過(guò)程中,函數值的變化趨勢,說(shuō)出函數的極限.
�、诶脴O限的運算法則求函數的極限進(jìn)行簡(jiǎn)單的運算.
�、劾脙蓚�(gè)重要極限求函數的極限.
�、芎瘮档倪B續性是新教材新增加的內容之一.它把高中的極限知識與大學(xué)知識緊密聯(lián)在一起.在高考中,必將這一塊內容溶入到函數內容中去,因而一定成為高考的又一個(gè)熱點(diǎn).
4.在一套高考試題中,極限一般分別有1個(gè)客觀(guān)題或1個(gè)解答題,分值在5分-12分之間.
5.在高考試題中,極限題多以低檔或中檔題目為主,一般不會(huì )出現較難題,更不會(huì )出現難題,因而極限題是高考中的得分點(diǎn).
6.注意掌握以下思想方法
�、� 極限思想:在變化中求不變,在運動(dòng)中求靜止的思想;
�、� 數形結合思想,如用導數的幾何意義及用導數求單調性、極值等.
此類(lèi)題大多以解答題的形式出現,這類(lèi)題主要考查學(xué)生的綜合應用能力,分析問(wèn)題和學(xué)生解決問(wèn)題的能力,對運算能力要求較高.
【考點(diǎn)透視】
1.理解數學(xué)歸納法的原理,能用數學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數學(xué)命題.
2.了解數列極限和函數極限的概念.
3.掌握極限的四則運算法則;會(huì )求某些數列與函數的極限.
4.了解函數連續的意義,了解閉區間上連續函數有最大值和最小值的性質(zhì).
【例題解析】
考點(diǎn)1 數列的極限
1.數列極限的定義:一般地,如果當項數n無(wú)限增大時(shí),無(wú)窮數列{an}的項an無(wú)限地趨近于某個(gè)常數a(即|an-a|無(wú)限地接近于0),那么就說(shuō)數列{an}以a為極限.
注意:a不一定是{an}中的項.
2.幾個(gè)常用的極限:① C=C(C為常數);② =0;③ qn=0(|q|<1).
3.數列極限的四則運算法則:設數列{an}、{bn},
當 an=a, bn=b時(shí), (an±bn)=a±b;
例1. ( 2006年湖南卷)數列{ }滿(mǎn)足: ,且對于任意的正整數,n都有 ,則 ( )
A. B. C. D.2
[考查目的]本題考查無(wú)窮遞縮等比數列求和公式和公式 的應用.
[解答過(guò)程]由 和 得
故選A.
例2.(2006年安徽卷)設常數 , 展開(kāi)式中 的系數為 ,則 _____.
[考查目的]本題考查利用二項式定理求出關(guān)鍵數, 再求極限的能力.
[解答過(guò)程] ,由 ,所以 ,所以為1.
例3. (2007年福建卷理)把 展開(kāi)成關(guān)于 的多項式,其各項系數和為 ,則 等于( ) ( )
A. B. C. D.2
[考查目的]本題考查無(wú)窮遞縮等比數列求和公式和公式 的應用.
[解答過(guò)程]
故選D
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