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《點(diǎn)陣中的規律》的教學(xué)實(shí)錄
一、談話(huà)引入
師：從小我們就學(xué)數數、用數字，那么對于數字的發(fā)明和發(fā)展過(guò)程，你們都哪些了解？（學(xué)生交流課前搜集的相關(guān)信息）
生1：古時(shí)候人們用石子來(lái)計數，比如打一只兔子就擺一塊石子。
生2：還有用繩子打結的，有幾個(gè)人就打幾個(gè)結。
生3：我知道我們現在用的數字是印度人發(fā)明的，從阿拉伯傳到我國的，所以叫阿拉伯數字。
師：大家了解的信息真不少！阿拉伯數字的發(fā)明，使我們的記錄和計算更加方便，但是在表現數字的特征方面，有時(shí)候圖形會(huì )更加直觀(guān)。今天老師請來(lái)了一位圖形朋友點(diǎn)（老師在黑板上畫(huà)點(diǎn)），看到這個(gè)點(diǎn)，你能快速地想到哪個(gè)數字？
生齊：1。
師：不要小看了這個(gè)小小的點(diǎn)，早在2000多年前，古希臘的數學(xué)家們就是從這樣一個(gè)小小的點(diǎn)開(kāi)始研究，發(fā)現了由許多個(gè)這樣的點(diǎn)組成的圖形中的規律，還給這些圖形取了一個(gè)好聽(tīng)的名字，叫點(diǎn)陣。同學(xué)們想不想過(guò)一把當數學(xué)家的癮，自己來(lái)尋找這些規律？
生齊：想。
師：今天，我們就一起來(lái)探究點(diǎn)陣中隱含的規律。（板書(shū)課題：點(diǎn)陣中的規律）
二、探究正方形點(diǎn)陣中的規律
1、探究一組正方形點(diǎn)陣的規律。
師：我們一起來(lái)看看數學(xué)家們當年研究的點(diǎn)陣圖，邊看邊說(shuō)出各個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)子數。
�。ㄒ来纬鍪厩八膫�(gè)正方形點(diǎn)陣圖，并逐步引導學(xué)生想像、猜測：下一個(gè)點(diǎn)陣圖會(huì )是什么樣子呢？）
生：第一個(gè)是1個(gè)點(diǎn)；第二個(gè)是4個(gè)點(diǎn)；
師：在心里想第三個(gè)、第四個(gè)點(diǎn)陣圖是什么樣子。（示圖）與你的想像一樣嗎？
生1：一樣。就是9個(gè)點(diǎn)。
生2：我知道第四個(gè)點(diǎn)陣有16個(gè)點(diǎn)，肯定是的。
�。S著(zhù)點(diǎn)陣圖的依次出現，學(xué)生的思維逐漸活躍，當第三個(gè)點(diǎn)陣圖出現的時(shí)候，學(xué)生不用數，已經(jīng)忍不住地說(shuō)出了點(diǎn)數。說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)發(fā)現了這組正方形點(diǎn)陣中的規律。但這時(shí)，教師沒(méi)有急于讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，而是給學(xué)生留出了完善自己想法的時(shí)間，同時(shí)也暗示學(xué)生：規律的呈現不能依靠一個(gè)或幾個(gè)圖形來(lái)歸納，應該有耐心地繼續自己的觀(guān)察活動(dòng)。）
師：除了能說(shuō)出各個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數之外，仔細觀(guān)察點(diǎn)陣圖：你們還有什么其它的發(fā)現？
生1：第一個(gè)點(diǎn)陣是1個(gè)點(diǎn)，其余的都是正方形的。
生2：我發(fā)現從第一個(gè)圖開(kāi)始點(diǎn)子數分別是加3、加5、加7。
生3：我發(fā)現它們的點(diǎn)子數能寫(xiě)成11、22、33、44。
師：你們真了不起！這種形狀的點(diǎn)陣就是正方形點(diǎn)陣，大家不但用數字表示每個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數，還能用算式來(lái)表示這組點(diǎn)陣的規律。根據剛才發(fā)現的規律，想一想：第五個(gè)點(diǎn)陣是什么樣子呢？自己畫(huà)出來(lái)，并用算式表示點(diǎn)數。
�。▽W(xué)生活動(dòng)：獨立畫(huà)出第五個(gè)55的點(diǎn)陣圖，全班交流。）
師：照這樣的規律繼續畫(huà)下去，第9個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數如何用算式來(lái)表示？第100個(gè)呢？第n個(gè)呢？在小組內交流一下。
生：第九個(gè)點(diǎn)陣表示為99；
第100個(gè)點(diǎn)陣表示為100100；
第n個(gè)點(diǎn)陣就表示為nn。
�。ńY合發(fā)現的規律，引導學(xué)生逐步完善自己的想法，建立總結正方形點(diǎn)陣規律的模型。）
師：那么你們覺(jué)得每個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數與什么有關(guān)系？在小組內討論交流。
生1：點(diǎn)子總數與正方形點(diǎn)陣每一排的點(diǎn)子數有關(guān)系。
生2：就是邊長(cháng)乘邊長(cháng)。
生3：還與是第幾個(gè)有關(guān)系，第一個(gè)就是11，第二個(gè)就是22，第三個(gè)就是33，一直這樣數下去。
�。▽W(xué)會(huì )用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）
師：說(shuō)得真好！每個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數可以看作是一個(gè)相同數字相乘的積，這個(gè)數字與點(diǎn)陣的序號有關(guān)，與每個(gè)正方形點(diǎn)陣每排的點(diǎn)子數也有關(guān)系。
2、同一個(gè)點(diǎn)陣的不同劃分中的規律。
師：剛才我們研究了一組正方形點(diǎn)陣中隱含的規律，那么對于同一個(gè)點(diǎn)陣來(lái)說(shuō)，如果劃分的方法不同，所呈現的規律也就不同。
請大家仔細觀(guān)察第五個(gè)正方形點(diǎn)陣中點(diǎn)的劃分方法，你能發(fā)現什么規律？與同桌交流你的想法。
生1：我發(fā)現都是用折線(xiàn)分開(kāi)的。
生2：我發(fā)現從短的線(xiàn)開(kāi)始，每條線(xiàn)內的點(diǎn)分別是1、3、5、7、9。
生3：這個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數用算式表示就是：1＋3＋5＋7＋9=25。
師：大家的發(fā)現真不少！那如果把每條線(xiàn)所包圍的點(diǎn)子數記下來(lái)，如何用算式來(lái)表示？
學(xué)生匯報：
第一條線(xiàn)： 1 = 1；
第二條線(xiàn)： 1＋3 = 4；
第三條線(xiàn)： 1＋3＋5 = 9；
第四條線(xiàn)： 1＋3＋5＋7 = 16；
第五條線(xiàn)： 1＋3＋5＋7＋9 = 25；
師：你們覺(jué)得這組算式有什么特點(diǎn)？
生1：一個(gè)算式比一個(gè)算式多加一個(gè)數。
生2：它們的得數正好是剛才那一排點(diǎn)陣的點(diǎn)子數。
生3：都是連續的奇數在相加。
師：是從幾開(kāi)始的連續奇數呢？
生：是從1開(kāi)始的連續奇數在相加。
師：如果按這樣的劃分方法劃分第六個(gè)正方形點(diǎn)陣，它的點(diǎn)數該如何用算式來(lái)表示？
生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。
師：剛才我們是把這個(gè)55的正方形點(diǎn)陣用折線(xiàn)進(jìn)行了劃分，你們還有哪些不同的劃分的方法？如何用算式表示？在小組內研究一下。
學(xué)生匯報：
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生2：還可以用豎線(xiàn)劃分，算式也是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。
生3：這些都可以寫(xiě)成是55 ＝ 25。
生4：我們的方法不一樣。我們是用斜線(xiàn)劃分的，用算式表示就是1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1。
師：這種劃分方法有新意！仔細觀(guān)察這個(gè)算式，你們發(fā)現了什么？
生1：算式里最大的數是5。
生2：這個(gè)算式是從1開(kāi)始加到5再加回到1。
生3：這個(gè)算式的兩邊是對稱(chēng)的，5在中間。
生4：這個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數是就中間那個(gè)數字5乘5的積。
師：照這樣的規律類(lèi)推，第六個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數如何表示？第9個(gè)呢？第n個(gè)呢？
生1：第六個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數是1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1。
生2：第九個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1。
生3：第n個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數是，我說(shuō)不完。
師：說(shuō)不完，我們可以借助什么來(lái)表示？
生：用省略號，這樣表示：1＋2＋3＋＋n＋＋3＋2＋1。
師：你太聰明了，幫我們解決了一個(gè)大難題，謝謝你。
�。ㄔ谶@里讓學(xué)生尋找正方形點(diǎn)陣的不同劃分方法，把教材分散處理的關(guān)于正方形點(diǎn)陣的不同劃分方法集中探究，便于學(xué)生思維的延續和拓展，不至于出現思維上的斷層。這樣設計既符合學(xué)生的探究心理和學(xué)習習慣，又給學(xué)生提供了自主探究的空間，體現了學(xué)生學(xué)習的自主性，還用另一種方式解讀了練一練中的第一題。培養了學(xué)生從不同的角度去發(fā)現問(wèn)題，總結概括規律的能力。）
三、延伸應用，形成策略
師：除了我們剛才研究的正方形點(diǎn)陣，請大家猜猜看，還會(huì )有什么形狀的點(diǎn)陣呢？
生1：長(cháng)方形點(diǎn)陣。
生2：三角形點(diǎn)陣。
生3：圓形點(diǎn)陣。
生4：橢圓形點(diǎn)陣。
師：請大家嘗試運用前面學(xué)會(huì )的方法探究長(cháng)方形點(diǎn)陣規律。在小組內合作研究：如何用算式表示每個(gè)長(cháng)方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子數？
�。▽W(xué)生分組活動(dòng)）
學(xué)生匯報：
生：這四長(cháng)方形點(diǎn)陣的可以用算式12；23；34；45來(lái)表示。
師：根據自己發(fā)現的規律，請你獨立畫(huà)出第五個(gè)長(cháng)方形點(diǎn)陣并用算式表示出點(diǎn)數。
�。▽W(xué)生獨立畫(huà)圖并寫(xiě)出算式，互相交流。）
生：第六個(gè)長(cháng)方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數用算式表示是56。
師：你們覺(jué)得自己所寫(xiě)的算式中的數字與圖形之間有什么關(guān)系？在小組內討論交流。
生1：乘法算式中的第二個(gè)因數總是比第一個(gè)因數多1。
生2：第一個(gè)算式的后面一個(gè)數是第二個(gè)算式開(kāi)頭的一個(gè)數，有點(diǎn)像詞語(yǔ)接龍。
生3：算式中的第一個(gè)因數是長(cháng)方形點(diǎn)陣的豎排點(diǎn)數，第二個(gè)因數是長(cháng)方形點(diǎn)陣的橫排點(diǎn)數。
師：這個(gè)算式與點(diǎn)陣的排列序號有關(guān)嗎？
生1：第一個(gè)點(diǎn)陣是12，第二個(gè)點(diǎn)陣是23，第三個(gè)點(diǎn)陣是34，是第幾個(gè)點(diǎn)陣就是用幾去乘。
生2：是用點(diǎn)陣的排列序號去乘比它大1的數。
師：照這樣繼續寫(xiě)，你能寫(xiě)出第n個(gè)長(cháng)方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數嗎？
生齊：n（n＋1）。
師：看來(lái)對于任何一個(gè)點(diǎn)陣，只要我們認真觀(guān)察研究，總能發(fā)現其獨特的規律。下面請大家認真觀(guān)察給出的四個(gè)三角形點(diǎn)陣的規律，快速畫(huà)出第五個(gè)三角形點(diǎn)陣并說(shuō)出點(diǎn)數。
生：（舉起自己的點(diǎn)陣圖）有15個(gè)點(diǎn)。
師：對自己畫(huà)出的第五個(gè)三角形點(diǎn)陣進(jìn)行劃分，你能想到哪些不同的劃分方法？分別用算式表示點(diǎn)數。
�。▽W(xué)生活動(dòng)）
全班交流：
生1：我是橫著(zhù)分的，算式是1＋2＋3＋4＋5＝15。
生2：我是斜著(zhù)劃分的，算式也是1＋2＋3＋4＋5＝15。
生3：我是豎著(zhù)劃分的，算式跟他們一樣，也是1＋2＋3＋4＋5＝15，就是連續的自然數的和。
生4：我的是用折線(xiàn)劃分的，算式可以寫(xiě)為1＋5＋9＝15，就是每次都多4個(gè)。
�。▽τ谇懊娴娜N劃分方法，都在我的預設之內，學(xué)生到此，已經(jīng)很輕松地用語(yǔ)言表述出自己的想法：這樣的三角形點(diǎn)陣的點(diǎn)數是從1開(kāi)始的連續自然數的和。而對于第四種劃分方法，是我沒(méi)有預想到的。有一個(gè)孩子卻用非常強烈地要求，表達了自己的這種劃分方法，并且說(shuō)出了這個(gè)算式依次遞加4的規律。我真的很慶幸給了他一個(gè)機會(huì )，他用如此精彩的回答回報了我，也許課堂教學(xué)永遠的魅力就在于這預設外的驚喜吧。）
師：同學(xué)們真的很了不起！真正具有未來(lái)數學(xué)家的風(fēng)范，用自己的聰明才智，發(fā)現并總結了各個(gè)不同的點(diǎn)陣圖中隱藏的規律。那么你們覺(jué)得應該從哪些方面來(lái)探究點(diǎn)陣的規律呢？
生1：我會(huì )仔細看清點(diǎn)陣是什么形狀的。
生2：我覺(jué)得應該數清每一行的點(diǎn)子數是多少。
生3：我認為還要看清前后兩個(gè)點(diǎn)陣的變化。
�。ㄔ谶@里不需要學(xué)生說(shuō)出多么專(zhuān)業(yè)的、深奧的數學(xué)方法，只是引導學(xué)生對自己探究性學(xué)習方法的一個(gè)總結，盡管語(yǔ)言可能不夠簡(jiǎn)練，總結不夠到位，只要學(xué)生是用自己的語(yǔ)言在表述自己的想法，就是對學(xué)生思維訓練層次的一個(gè)提升，一種飛越。）
聯(lián)系生活：
師：點(diǎn)陣的知識在生活中有著(zhù)廣泛的應用，比如北京奧運會(huì )開(kāi)幕式上的擊缶表演、太極表演等，都是把一個(gè)人看作了一點(diǎn)，來(lái)排列有規律的隊形。你還知道什么地方運用了點(diǎn)陣的相關(guān)知識？
生1：五子棋。
生2：解放軍閱兵式的方隊。
生3：節日里擺放的花壇
生4：我們參加市八運會(huì )排練的團體操。
師：看來(lái)生活中用到點(diǎn)陣知識的地方還真不少。課后自己也設計一幅美麗的點(diǎn)陣圖，下節課我們一起展評。
�。ㄔ谶@里，把學(xué)生的課堂學(xué)習延伸到課外，鏈接到學(xué)生已有的相關(guān)生活經(jīng)驗，使得原本陌生的數學(xué)知識與學(xué)生的日常生活自然對接，體現了數學(xué)與生活的密切聯(lián)系。學(xué)生課后的自主設計作業(yè)，給了學(xué)生極大的創(chuàng )造空間，真正體現數學(xué)來(lái)源于生活，又應用于生活。）
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