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高中數學(xué)必備函數知識點(diǎn)公式及練習題
(1)高中函數公式的變量：因變量，自變量。
在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數軸上的點(diǎn)表示因變量。
(2)一次函數：①若兩個(gè)變量間的關(guān)系式可以表示成為常數，不等于0)的形式，則稱(chēng)是的一次函數。
�、诋�=0時(shí)，稱(chēng)是的正比例函數。
(3)高中函數的一次函數的圖象及性質(zhì)
�、侔岩粋�(gè)函數的自變量與對應的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數的圖象。
�、谡壤瘮档膱D象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)。
�、墼谝淮魏瘮抵�，當0，O，則經(jīng)2、3、4象限;當0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限;當0，0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限;當0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。
�、墚�0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當0時(shí)，的值隨值的增大而減少。
(4)高中函數的二次函數：
如何應對高考數學(xué)難題？
這個(gè)，其實(shí)很多不了解這個(gè)，的難度并不是層層遞增，有時(shí)候我們打個(gè)比方，這個(gè)應該叫做梯度螺旋上升，那個(gè)難度有點(diǎn)像這樣了，就是上去了下來(lái)了，上去了下來(lái)了，就這種感覺(jué)。
你比如說(shuō)選擇題，1到8，肯定是逐漸變難，到了填空題，第一個(gè)肯定要比，就是試卷中的第9題，一定要比第8題簡(jiǎn)單，到了填空題又是重新來(lái)，所以這是梯度螺旋上升。所以一般我們說(shuō)你別看小題的最后一道，肯定比解答題第一道還難，學(xué)生應該了解，其實(shí)命題為什么這么命題？其實(shí)也是體現了一種人文關(guān)懷，就是希望學(xué)生呢，你前面小題做得差不多，到了后面一些小困難的話(huà)，由簡(jiǎn)到難，他可能信心上起來(lái)，最后難題也能做出來(lái)了，這是很好的。
考生真是遇到不會(huì )做的題，很有可能是這個(gè)題型板塊中比較靠后的，這個(gè)對于每個(gè)人來(lái)說(shuō)都不太好做，以北京卷為例，84、20，這個(gè)題肯定不好做，你20題不會(huì )做根本不用什么難過(guò)，好多學(xué)生連看都不用看，所以這種題不會(huì )做不用很擔心，不會(huì )做很正常，開(kāi)句玩笑，你會(huì )做才不正常，你要是會(huì )做試卷沒(méi)有區分度了。
所以很多學(xué)生不是末尾的題不會(huì )做，而是之前的題，就是螺旋上升中間的時(shí)候有點(diǎn)困難，這個(gè)時(shí)候心態(tài)會(huì )產(chǎn)生很大變化，他想知道遇到這個(gè)情況怎么處理，這個(gè)問(wèn)題真的很好，你要考慮得非常全面，如果中不是末尾題，而是做到中間有困難應該怎么辦？第一個(gè)還是心態(tài)很重要，你要知道，它前面從命題人角度來(lái)說(shuō)，他不希望你這個(gè)題做到一半卡住，他可能最后的時(shí)候把這個(gè)分數收起來(lái)，不會(huì )讓你得分，所以之前的題你不會(huì )做可能由于緊張，可能你剛上考場(chǎng)，比較緊，沒(méi)有放開(kāi)，一下卡住了，所以你千萬(wàn)別緊張，有時(shí)候我們說(shuō)這時(shí)候你要冷靜，平和一下心態(tài)，把好好分析分析，看看這個(gè)題突破口在哪兒？冷靜思考思考，可能問(wèn)題就解決了。
有時(shí)候我們說(shuō)，其實(shí)你看，將來(lái)考試真是這，他每個(gè)題出來(lái)長(cháng)得都是挺嚇人的，我們小時(shí)候看的《西游記》一樣，妖怪出來(lái)都挺嚇人的，孫悟空一打，最后其實(shí)都是一些小動(dòng)物，小貓小狗，題感覺(jué)都一樣，每個(gè)題出來(lái)感覺(jué)都挺嚇人，長(cháng)得千奇百怪，尤其現在課標改了以后，它會(huì )考你讀題和分析，所以每個(gè)題出來(lái)提綱都很長(cháng)，很多人非常不適應處理這個(gè)題，所以你千萬(wàn)要冷靜，別看這個(gè)題長(cháng)得挺怪就嚇住你了，所以重要思想就是轉化和劃歸，你要把這個(gè)題轉化成熟悉的問(wèn)題，所以你一定要冷靜，分析分析，其實(shí)這個(gè)題并不見(jiàn)得難度很大，所以調整好心態(tài)，比如深呼吸、放冷靜，然后再看一看，分析分析，它到底是想考什么內容，給它準確定位，然后很可能這個(gè)題自然就出來(lái)了。
但是有些題我分析分析想一想還是挺難的，這個(gè)時(shí)候怎而辦呢？你比如我舉個(gè)例子，像全國有一年 高中化學(xué)，考的第一題選擇題，就考了一個(gè)幾何，他那個(gè)幾何本身其實(shí)也不很難，他考了一個(gè)摩根定律，摩根定律準確說(shuō)課本中其實(shí)是沒(méi)有的，好多人連兩項的摩根定律都記不住，而且那個(gè)題考的是三項摩根定律，所以第一題就考了，好多人上來(lái)考場(chǎng)，然后一做他就蒙了，就感覺(jué)今年廢了，難道我數學(xué)一分都得不上，第一題就不會(huì )了，就感覺(jué)很緊張。
如果真是遇見(jiàn)這種題的話(huà)，你也不用太慌張，有時(shí)候我們就說(shuō)什么情況呢？錯誤的想法，一看不會(huì )做的題，就是我完了，其實(shí)正確的想法應該是大家都完了，就是這些題可能也會(huì )出現，但是你千萬(wàn)別緊張，調整好心態(tài)。
然后如果是小題遇見(jiàn)的話(huà)，你必須先圈住，對吧，別著(zhù)急在那兒糾結半天，好多人一個(gè)小題做十分鐘，那個(gè)真是會(huì )影響后面解答題做的，所以你可以先圈住，可能你第一開(kāi)始剛上考場(chǎng)，還是我說(shuō)的，思維有點(diǎn)緊，然后你后面題做完了，你心態(tài)可能也平和一點(diǎn)了，回來(lái)再反攻，可能一些問(wèn)題就可以做出來(lái)了，也不一定。
所以還是遇見(jiàn)這種真不會(huì )做的題，我們通常說(shuō)，如果是選擇填空，你可以先空下來(lái)，然后回來(lái)再去反攻，如果反攻還不行的話(huà)，就是我們說(shuō)有時(shí)候小題是有技巧的，比如還是剛才那個(gè)，舉的05年全國交考的那個(gè)題，它其實(shí)考了三個(gè)集合，三個(gè)集合并起來(lái)，等于（全集優(yōu)），然后問(wèn)你下列ABCD哪個(gè)正確，所以你不見(jiàn)得會(huì )做這個(gè)題，你可以用一些技巧。比如人家有的人很，他說(shuō)三個(gè)集合并起來(lái)是（全集優(yōu)），人家舉個(gè)例子，我說(shuō)第一個(gè)集合一二，然后二三，第二集合二三，第三集合三四，那么全集優(yōu)就一二三四，我把我構造的這三個(gè)集合代到ABCD中去驗證，就類(lèi)似于這種小技巧，其實(shí)選擇填空也可以用上。
如果遇到大題，如果真的不會(huì )，然后我又分析了半天也沒(méi)有想到，這個(gè)時(shí)候我們應該怎么辦？一般我們告訴學(xué)生就是，你就盡量寫(xiě)唄，因為將來(lái)考試，我們判卷也是這樣，他不可能是你最后結果出來(lái)了，我就給你，你結果不正確我一分不給你，那不可能的，解答題他是論步給分，對吧，所以如果你要不會(huì )做你盡量寫(xiě)上，反正寫(xiě)錯他也不扣分，所以你使勁往上寫(xiě)，把你會(huì )的都寫(xiě)，所有的提示都寫(xiě)上，將來(lái)起碼會(huì )得到一些步驟分，所以你也不用太緊張，調整好你的心態(tài)，遇見(jiàn)不會(huì )做的題，首先是冷靜，好好分析分析，現在課標改了以后，其實(shí)難題比重不會(huì )很大，像原來(lái)高考數學(xué)真是，用一句話(huà)說(shuō)是很難很難的，有的題真的是太難了，我們都做不出來(lái)，像現在特別難的題比重在降低，有些題其實(shí)是比較靈活，所以你千萬(wàn)別緊張。
然后另外一個(gè)小題如果不會(huì )，可以多想一想技巧，看我能不能用其它技巧把它做出來(lái)，你選擇題不能當填空題做，填空題也不能當解答題做，他是不計過(guò)程的，你各種辦法做出來(lái)都可以，然后解答題遇到真不會(huì )做的，你就盡量寫(xiě)，順著(zhù)他那個(gè)題的意思，然后把你能寫(xiě)上去的都寫(xiě)上去。
其實(shí)他那個(gè)評分的時(shí)候，學(xué)生可能不知道，他拿的可能是評分細則，那個(gè)評分細則中，分數是精確到一分的，他有時(shí)候拿的標答里面，有時(shí)候可能只給兩段，對吧，你第一部分做出來(lái)給你6分，第二部分做出來(lái)給你7分，實(shí)際上考試并不是這樣的，實(shí)際上判卷的話(huà)，它可能會(huì )精確到一分一分的，有時(shí)候判卷，并不是給你挑錯的，是給你對的，就是他會(huì )找你這個(gè)試卷中哪個(gè)地方會(huì )得分，所以你就盡量寫(xiě)，把你會(huì )的都寫(xiě)上去，得一些步驟分，這個(gè)其實(shí)很關(guān)鍵，就是這樣。
三角形面積公式
由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。 平面上三條直線(xiàn)或球面上三條弧線(xiàn)所圍成的圖形。 三條直線(xiàn)所圍成的圖形叫平面三角形；三條弧線(xiàn)所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。
面積公式：
�。�1）S＝ah/2
(2).已知三角形三邊a,b,c，則 （海倫公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S＝1/2 * absinC
(4).設三角形三邊分別為a、b、c，內切圓半徑為r
S=(a+b+c)r/2
(5).設三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R
S=abc/4R
(6).根據三角函數求面積：
S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中R為外切圓半徑。
3.4基本不等式
重難點(diǎn)：了解基本不等式的證明過(guò)程；會(huì )用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（�。┲祮�(wèn)題．
考綱要求：①了解基本不等式的證明過(guò)程．
�、跁�(huì )用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（�。┲祮�(wèn)題．
經(jīng)典例題：若a，b，c都是小于1的正數，求證：，，不可能同時(shí)大于．
當堂練習：
1. 若，下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2. 若且，則下列四個(gè)數中最大的是 （ ）
�。粒� Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a(chǎn)
3. 設x>0,則的最大值為 （ ）
�。粒�3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．－1
4. 設的最小值是( )
A. 10 B. C. D.
5. 若x, y是正數，且，則xy有 （ ）
�。粒畲笾�16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,則下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8. a,b是正數，則三個(gè)數的大小順序是 （ ）
�。粒� Ｂ．
�。茫� Ｄ．
9. 某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長(cháng)率為p，第二年的增長(cháng)率為q，設這兩年平均增長(cháng)率為x，則有（ ）
�。粒� Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10. 下列函數中，最小值為4的是 （ ）
�。粒� Ｂ．
�。茫� Ｄ．
11. 函數的最大值為 .
12. 建造一個(gè)容積為18m3, 深為2m的長(cháng)方形無(wú)蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為 元.
13. 若直角三角形斜邊長(cháng)是1，則其內切圓半徑的最大值是 .
14. 若x, y為非零實(shí)數，代數式的值恒為正，對嗎？答 .
15. 已知：, 求mx+ny的最大值.
16. 已知．若、, 試比較與的大小，并加以證明.
17. 已知正數a, b滿(mǎn)足a+b=1（1）求ab的取值范圍;（2）求的最小值.
18. 設.證明不等式 對所有的正整數n都成立.
參考答案：
經(jīng)典例題：
【 解析】 證法一 假設，，同時(shí)大于，
∵ 1－a>0，b>0，∴ ≥，
同理，.三個(gè)不等式相加得，不可能，
∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同時(shí)大于.
證法二 假設，，同時(shí)成立，
∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ ，
即. （*） 又∵ ≤，
同理≤，≤，
∴≤與（*）式矛盾，
故不可能同時(shí)大于.
當堂練習：
1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;
13. ; 14. 對;
15．
16. 【 解析】 ．
當且僅當＝時(shí)，取“＝”號．
當時(shí)，有．
即．
當時(shí)，有．
即
17. (1) (2)
18．【 解析】 證明 由于不等式
對所有的正整數k成立,把它對k從1到n(n≥1)求和,得到
又因 以及
因此不等式對所有的正整數n都成立.
1.4常用邏輯用語(yǔ)單元測試
1．函數f（x）=x|x+a|+b是奇函數的充要條件是 （ ）
A．a(chǎn)b=0 B．a(chǎn)+b=0 C．a(chǎn)=b D．a(chǎn)2+b2=0
2．“至多有三個(gè)”的否定為 （ ）
A．至少有三個(gè) B．至少有四個(gè) C．有三個(gè) D．有四個(gè)
3．有金盒、銀盒、鉛盒各一個(gè)，只有一個(gè)盒子里有肖像．金盒上寫(xiě)有命題p：肖像在這個(gè)盒子里；銀盒上寫(xiě)有命題q：肖像不在這個(gè)盒子里；鉛盒上寫(xiě)有命題r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一個(gè)是真命題，則肖像在 （ ）
A．金盒里 B．銀盒里
C．鉛盒里 D．在哪個(gè)盒子里不能確定
4．不等式 對于恒成立，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．“a和b都不是偶數”的否定形式是 （ ）
A．a(chǎn)和b至少有一個(gè)是偶數 B．a(chǎn)和b至多有一個(gè)是偶數
C．a(chǎn)是偶數，b不是偶數 D．a(chǎn)和b都是偶數
6．某食品的廣告詞為：“幸福的人們都擁有”，初聽(tīng)起來(lái)，這似乎只是普通的贊美說(shuō)詞，然
而他的實(shí)際效果大哩，原來(lái)這句話(huà)的等價(jià)命題是 （ ）
A．不擁有的人們不一定幸福 B．不擁有的人們可能幸福
C．擁有的人們不一定幸福 D．不擁有的人們不幸福
7．若命題“p或q”為真，“非p”為真，則 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
8．條件p：，，條件q：，，則條件p是條件q的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．即不充分也不必要條件
9．2x2－5x－3＜0的一個(gè)必要不充分條件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
10．設原命題：若a+b≥2，則a,b 中至少有一個(gè)不小于1。則原命題與其逆命題的真假情況是（ ）
A．原命題真，逆命題假 B．原命題假，逆命題真
C．原命題與逆命題均為真命題 D．原命題與逆命題均為假命題
11．下列命題中_________為真命題．
�、佟癆∩B=A”成立的必要條件是“AB”；
�、凇叭魓2+y2=0，則x，y全為0”的否命題；
�、邸叭热切问窍嗨迫切巍钡哪婷}；
�、堋皥A內接四邊形對角互補”的逆否命題。
12．若p：“平行四邊形一定是菱形”，則“非p”為_(kāi)__ _____。
13．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件,q是s的充分條件，則s是q的 條件，r是q的 條件，p是s的 條件。
14．設p、q是兩個(gè)命題，若p是q的充分不必要條件，那么非p是非q的 條件。
15．分別寫(xiě)出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。
�。�1）矩形的對角線(xiàn)相等且互相平分；
�。�2）正偶數不是質(zhì)數。
16．寫(xiě)出由下述各命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題，并指出所構成的這些復合命題的真假.
�。�1）p：連續的三個(gè)整數的乘積能被2整除，q：連續的三個(gè)整數的乘積能被3整除。
�。�2）p：對角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形，q：對角線(xiàn)互相平分的四邊形是菱形。
17．給定兩個(gè)命題,
�。簩θ我鈱�(shí)數都有恒成立；：關(guān)于的方程有實(shí)數根；如果與中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數的取值范圍。
18．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么
�。�1）s是q的什么條件？（2）r是q的什么條件？（3）p是q的什么條件？
19．設0<a, b, c<1，求證：（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不同時(shí)大于．
20．求證：關(guān)于x的方程x2+2ax+b=0 有實(shí)數根，且兩根均小于2的充分但不必要條件是a≥2且|b| ≤4.
參考答案：
1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.D; 7.B; 8.A; 9.D; 10.A; 11. ②④; 12. 平行四邊形不一定是菱形；或至少存在一個(gè)平行四邊形不是菱形; 13. 必要，充分，必要;14. 必要不充分
15．本題考查四種命題間的關(guān)系．
解：（1）逆命題：若一個(gè)四邊形的對角線(xiàn)相等且互相平分，則它是矩形（假命題）．
否命題：若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對角線(xiàn)不相等或不互相平分（假命題）．
逆否命題：若一個(gè)四邊形的對角線(xiàn)不相等或不互相平分，則它不是矩形（真命題）．
�。�2）逆命題：如果一個(gè)正數不是質(zhì)數，那么這個(gè)正數是正偶數（假命題）．
否命題：如果一個(gè)正數不是偶數，那么這個(gè)數是質(zhì)數（假命題）．
逆否命題：如果一個(gè)正數是質(zhì)數，那么這個(gè)數不是偶數（假命題）．
16．解：（1）根據真值表，復合命題可以寫(xiě)成簡(jiǎn)單形式：
p或q：連續的三個(gè)整數的乘積能被2或能被3整除.
p且q：連續的三個(gè)整數的乘積能被2且能被3整除.
非p：存在連續的三個(gè)整數的乘積不能被2整除.
∵連續的三整數中有一個(gè)（或兩個(gè)）是偶數，而有一個(gè)是3的倍數，
∴p真，q真，∴p或q與p且q均為真，而非p為假.
�。�2）根據真值表，只能用邏輯聯(lián)結詞聯(lián)結兩個(gè)命題，不能寫(xiě)成簡(jiǎn)單形式：
p或q：對角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形或對角線(xiàn)互相平分的四邊形是菱形.
p且q：對角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形且對角線(xiàn)互相平分的四邊形是菱形.
非p：存在對角線(xiàn)互相垂直的四邊形不是菱形.
∵p假q假，∴p或q與p且q均為假，而非p為真.
17．解：對任意實(shí)數都有恒成立
��；關(guān)于的方程有實(shí)數根；如果P正確，且Q不正確，有；如果Q正確，且P不正確，有。所以實(shí)數的取值范圍為。
18．本題考查充要條件、充分條件、必要條件．對于這類(lèi)問(wèn)題，將語(yǔ)言敘述符號化，畫(huà)出它們的綜合結構圖，再給予判定．
解：p、q、r、s的關(guān)系如圖所示，由圖可知
答案：（1）s是q的充要條件 （2）r是q的充要條件 （3）p是q的必要條件
19．證明：用反證法，假設，①+②+③得：
，左右矛盾，故假設不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同時(shí)大于.
20．解析：先證充分性，而必要性只需要通過(guò)舉反例來(lái)否定.
先證明條件的充分性：
∴方程有實(shí)數根 ①
�、�、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有實(shí)數根，且兩根均小于2”.
再驗證條件不必要：
∵方程x2－x=0的兩根為x1=0, x2=1，則方程的兩根均小于2，而a=－<2，
∴“方程的兩根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
綜上，a≥2且|b|≤4是方程有實(shí)數根且兩根均小于2的充分但不必要條件.
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