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數學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系
哲學(xué)，在學(xué)術(shù)界里，對于這一詞并無(wú)普遍接受的定義，也預見(jiàn)不到有達成一致定義的可能。單就西方學(xué)術(shù)史來(lái)說(shuō)，哲學(xué)是對一些問(wèn)題的研究，涉及等概念。數學(xué)，是研究現實(shí)世界中數量關(guān)系和空間形式的，簡(jiǎn)單地說(shuō)，是研究數和形的科學(xué)。數學(xué)是社會(huì )科學(xué)和自然科學(xué)的基礎，哲學(xué)是社會(huì )科學(xué)和自然科學(xué)的概括。關(guān)鍵詞：哲學(xué)；數學(xué)；原理；關(guān)系哲學(xué)是對普遍而基本的問(wèn)題的研究，這些問(wèn)題多與實(shí)在、存在、知識、價(jià)值、理性、心靈、語(yǔ)言等有關(guān)。在東方，哲學(xué)一詞通常用來(lái)說(shuō)明一個(gè)人對生活的某種看法（例如某人的“人生哲學(xué)”）和基本原則（例如價(jià)值觀(guān)、思想、行為）。而在學(xué)術(shù)上的哲學(xué)，則是對這些基本原則的理性根據的質(zhì)疑、反思，并試圖對這些基本原則進(jìn)行理性的重建。在日常用語(yǔ)中，“哲學(xué)”一詞可以引申為個(gè)人或團體最基本的信仰、概念和態(tài)度，哲學(xué)一詞可以是指一種宗旨、主張或者理念。
而對于我的專(zhuān)業(yè)-——基礎數學(xué)，我認為我的這個(gè)專(zhuān)業(yè)，必然和哲學(xué)有著(zhù)千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，我發(fā)現了張景中院士獻給數學(xué)愛(ài)好者的禮物——《數學(xué)與哲學(xué)》一書(shū)，書(shū)中主要內容包括了“萬(wàn)物皆數”觀(guān)點(diǎn)的破滅與再生、哪種幾何才是真的、變量·無(wú)窮小·量的鬼魂、自然數有多少、羅素悖論引起的軒然大波、數是什么、是真的但又不能證明等內容，使我開(kāi)闊了視野，對于研究生期間要學(xué)習的內容，也有了更深層次的見(jiàn)解。
由于具體的數學(xué)問(wèn)題多如繁星，數學(xué)家往往整天埋頭于解決數學(xué)問(wèn)題，無(wú)暇關(guān)注數學(xué)發(fā)展中出現的“矛盾”。但數學(xué)史告訴我們，恰好是“矛盾”的一次次解決，才導致數學(xué)發(fā)展的飛躍與深化。張景中的書(shū)《數學(xué)與哲學(xué)》就是對數學(xué)發(fā)展中這些重大的歷史事件，用通俗的講法向大眾展示當時(shí)的爭論內容與形勢，及以后的解決辦法及數學(xué)的飛躍發(fā)展。
例如關(guān)于數，是否僅有自然數及由它產(chǎn)生的有理數就夠了。那么√2是什么？這就導致無(wú)理數的產(chǎn)生。在歐氏幾何中，不少人企圖給出第五公設的證明，但都失敗了。這導致非歐幾何的產(chǎn)生；無(wú)窮小量的應用與定義，導致嚴格實(shí)數極限理論的建立；無(wú)窮集合的比較；集合定義的確定及哥德?tīng)柖ɡ�，等等。每�?jīng)過(guò)這些重大的歷史事件，數學(xué)思想都得到飛躍，從而使數學(xué)得到質(zhì)的發(fā)展與飛躍。
翻開(kāi)西方數學(xué)史或哲學(xué)史，我們會(huì )發(fā)現一個(gè)有趣而重要的現象：西方數學(xué)與哲學(xué)有著(zhù)千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。這種聯(lián)系不但源源流長(cháng)，而且綿延至今。追溯起來(lái)，數學(xué)與哲學(xué)自西方哲學(xué)誕生之日起就結下了不解之緣。西方第一位哲學(xué)家泰勒斯是數學(xué)家；著(zhù)名數學(xué)家畢達哥拉斯在對數學(xué)的深入研究上得出了“萬(wàn)物皆數”的著(zhù)名哲學(xué)命題；大哲學(xué)家柏拉圖相信數是一種獨特的客觀(guān)存在，由
此產(chǎn)生了數學(xué)上的“柏拉圖主義”??進(jìn)入20世紀，圍繞著(zhù)數學(xué)基礎研究所產(chǎn)生的三大流派更是把兩者的關(guān)系推向了高峰。
在這兩千多年結伴而行的漫長(cháng)歲月里，哲學(xué)與數學(xué)相互影響，相互促進(jìn)，與此同時(shí)也產(chǎn)生了許多介于兩者之間的問(wèn)題。比如：如何理解數學(xué)的真理性？什么是數？如何理解無(wú)窮、連續概念？等等。對這一系列問(wèn)題的研究與探討，促成了對數學(xué)進(jìn)行哲學(xué)分析的數學(xué)哲學(xué)分支的確立。然而，由于問(wèn)題的復雜，涉及面的廣泛，分歧的眾多，一般人對之只能望而卻步，對有關(guān)數學(xué)哲學(xué)研究有一個(gè)概貌了解都成為一件困難的事情。
再比如，“模糊的哲學(xué)與精確的數學(xué)——人類(lèi)的望遠鏡與顯微鏡”來(lái)描述數學(xué)與哲學(xué)各自的特點(diǎn)；“數學(xué)的領(lǐng)域在擴大。哲學(xué)的地盤(pán)在縮小”等等。值得注意的是我們可以對自己的部分數學(xué)研究工作做出新穎的哲學(xué)分析。例如從常微分方程的研究出發(fā)，可以探討了關(guān)于演繹與歸納統一性問(wèn)題；用泛函分析原理說(shuō)明泛函與算子的共性與差異等。
我們知道，可裂的文化的部門(mén)：科學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)、政治、宗教、倫理??需要注意的是，數學(xué)也是文化的一部分。數學(xué)和任何其他學(xué)科不同，它幾乎是任何科學(xué)所不可缺少的。沒(méi)有任何一門(mén)科學(xué)能像它那樣恩澤廣布。它是現代科學(xué)技術(shù)的語(yǔ)言和工具，這一點(diǎn)大概沒(méi)有什么人會(huì )懷疑了。它的思想是許多物理學(xué)說(shuō)的核心，并為它們的出現開(kāi)辟了道路，了解這一點(diǎn)的人就比較少了。它曾經(jīng)是科學(xué)革命的旗幟，現代科學(xué)之所以成為現代科學(xué)，第一個(gè)決定性的步驟是使自己數學(xué)化。為什么會(huì )這樣?因為數學(xué)在人類(lèi)理性思維活動(dòng)中有一些特點(diǎn)。這些特點(diǎn)的形成離不開(kāi)各個(gè)時(shí)代的總的文化背景，同時(shí)又是數學(xué)影響人類(lèi)文化最突出之點(diǎn)。我這里并不想概括什么是數學(xué)文化，而只是就它對人類(lèi)精神生活影響最突出之處提出一些看法。誠然，其他的學(xué)科也可能有這些特點(diǎn)，但大抵是與受數學(xué)的影響分不開(kāi)的。
在我看來(lái)，數學(xué)作為人類(lèi)文化組成部分的另一個(gè)特點(diǎn)是它不斷追求最簡(jiǎn)單的、最深層次的、超出人類(lèi)感官所及的宇宙的根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下進(jìn)行的。這是一種化繁為簡(jiǎn)以求統一的過(guò)程。很早以前，人們就有一個(gè)信念：冥冥之中最深處宇宙有一個(gè)偉大的、統一的、而且簡(jiǎn)單的設計圖，這是一個(gè)數學(xué)設計圖。在一切比較深入的科學(xué)研究后面，必定有一種信念驅使我們。這個(gè)信念就是：世界是合理的，簡(jiǎn)單的，因而是可以理解的。對于數學(xué)研究則還要加上一點(diǎn)：這個(gè)世界的合理性，首先在于它可以用數學(xué)來(lái)描述。在古代，這個(gè)信念有些神秘色彩�？墒前l(fā)展到現代，科學(xué)經(jīng)過(guò)了多次偉大的綜合。例如歐幾里得的綜合。牛頓牛頓在數學(xué)上創(chuàng )建了微積分，在物理學(xué)上建立了經(jīng)典物理學(xué)理論體系，在天文學(xué)上提出了萬(wàn)有引力定律，是近代科學(xué)的集大成者的綜合；麥克斯韋提出了作為經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)基礎的麥克斯韋方程組，統一了電磁理論的綜合；愛(ài)因斯坦在光量子論、分子運動(dòng)論方面都成績(jì)卓著(zhù)。他創(chuàng )建的狹義相對論和廣義相對論，在更高層次上解釋了物質(zhì)運動(dòng)和時(shí)空關(guān)系，推動(dòng)了現代物理學(xué)的革命，是一種新的綜合；量子物理的綜合指以量子力學(xué)為核心的量子物理學(xué)所取得的成就。量子力學(xué)是研究微觀(guān)粒子運動(dòng)規律的科學(xué)，已成為
近代物理學(xué)的基礎理論之一，并且得到廣泛的應用。；計算機的出現，哪一次不是或多或少遵循這個(gè)信念?也許有例外：達爾文和孟德?tīng)柾ㄟ^(guò)進(jìn)行豌豆雜交實(shí)驗，提出了遺傳的分離定律和獨立分配定律，這兩個(gè)定律成為遺傳學(xué)的基本定律。，但是今天已經(jīng)開(kāi)始，人們在用數學(xué)去討論物種的進(jìn)化與競爭，討論遺傳的規律。人們會(huì )又一次看見(jiàn)宇宙的根本規律表現為一種抽象的、至少是數學(xué)味很重的設計圖。這不是幻想而是現實(shí)。為什么DNA的雙螺旋結構是在卡文迪什實(shí)驗室是世界上最有聲望的物理學(xué)研究和教育中心之一。這所實(shí)驗室是為紀念英國物理學(xué)家和化學(xué)家卡文迪什命名的。完成了研究分子結構的X射線(xiàn)衍射方法，X射線(xiàn)照射到分子整齊排列的晶體上時(shí)，會(huì )產(chǎn)生一系列衍射點(diǎn)。從這些衍射點(diǎn)的空間排列規律及強度，可以推算出分子在晶體中的排列情況和原子在分子中的立體排列情況。利用這一原理測定分子立體結構的方法稱(chēng)為X射線(xiàn)衍射方法。
美國遺傳學(xué)家沃森和英國物理學(xué)家克里克根據英國晶體衍射專(zhuān)家維爾金斯對脫氧核糖核的X射線(xiàn)衍射資料，提出了DNA的雙螺旋結構模型。那么多好處?難道看不出這也是一種把生命歸結為最簡(jiǎn)單成分的不同位置、不同形式、不同數量而成的數學(xué)味很重的結構嗎?這種深層次的研究是能破除迷信的，它鼓勵人們按照最深刻的內在規律來(lái)考慮事物。我們?yōu)槭澜鐖D景的精巧和合理而欣喜而驚異。這種感情正是人類(lèi)文化精神的結晶。數學(xué)正是在這樣的文化氣氛中成長(cháng)的，而反過(guò)來(lái)推動(dòng)這種文化氣氛的發(fā)展�，F在應該提出的問(wèn)題是，對這樣一種信念應該怎樣去估價(jià)？是否還應該同時(shí)也看到它的不足的一面?從科學(xué)史看來(lái)，一直存在一種“還原”的傾向：把復雜的現象歸結為一些最簡(jiǎn)單的最原始的因素的作用。物體分成了“質(zhì)點(diǎn)”、“電荷”；分成了分子、原子、亞原子的粒子；生物分成了細胞，然后又是細胞核、細胞質(zhì)、染色體真核細胞有絲分裂和減數分裂時(shí)出現的由染色質(zhì)聚集而成的結構，一般呈棒狀，因易被堿性染料著(zhù)色，故稱(chēng)染色體，主要由核酸和蛋白質(zhì)組成，是遺傳物質(zhì)的主要基礎、基因遺傳物質(zhì)的最小功能單位，多數生物的基因由脫氧核糖核酸構成，并在染色體上呈線(xiàn)狀排列。
核酸由數十至數十億個(gè)核苷酸通過(guò)磷酸二酯鍵連接成的生物大分子，存在于所有動(dòng)物、植物、微生物體內，根據組成成分不同可分為脫氧核糖核酸和核糖核酸兩大類(lèi)，是生命最基本的物質(zhì)之一。豐富無(wú)比、千差萬(wàn)別的世界的多樣性似乎越來(lái)越被歸納為這些基本的成分或稱(chēng)為宇宙的磚石在數量上、形狀上、結構上的差別，這當然是數學(xué)發(fā)揮作用的大好場(chǎng)所。同時(shí)也就產(chǎn)生了一種越來(lái)越深刻的疑問(wèn)：大千世界真是由這些最簡(jiǎn)單的成分疊加的嗎?難道線(xiàn)性的疊加原理指事物呈直線(xiàn)增長(cháng)。線(xiàn)性是一個(gè)數學(xué)概念，即數學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次的形式來(lái)表達的，是成正比例增長(cháng)的，可以用直線(xiàn)表示。竟是宇宙的最根本法則嗎?由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區別究竟何在?可是，每一個(gè)從事數學(xué)研究的人仍然抱有下面說(shuō)的信念：想解決這個(gè)更深刻的問(wèn)題——我把它稱(chēng)為綜合，而把那種還原的傾向稱(chēng)為分析——仍然要靠數學(xué)，當代數學(xué)的發(fā)展將越來(lái)越證實(shí)這一點(diǎn)。
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