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“方程的根與函數的零點(diǎn)”教學(xué)設計
作為一位不辭辛勞的人民教師，時(shí)常需要用到教學(xué)設計，教學(xué)設計以計劃和布局安排的形式，對怎樣才能達到教學(xué)目標進(jìn)行創(chuàng )造性的決策，以解決怎樣教的問(wèn)題。我們應該怎么寫(xiě)教學(xué)設計呢？以下是小編整理的“方程的根與函數的零點(diǎn)”教學(xué)設計，僅供參考，歡迎大家閱讀。
“方程的根與函數的零點(diǎn)”教學(xué)設計1
學(xué)習目標
1.結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數，從而了解函數的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系；
2.掌握零點(diǎn)存在的判定定理.
學(xué)習過(guò)程
一、課前準備
�。A習教材P86~P88，找出疑惑之處）
復習1：一元二次方程+bx+c=0(a0)的解法.
判別式=.
當0，方程有兩根，為；
當0，方程有一根，為；
當0，方程無(wú)實(shí)根.
復習2：方程+bx+c=0(a0)的根與二次函數y=ax+bx+c(a0)的圖象之間有什么關(guān)系？
判別式一元二次方程二次函數圖象
二、新課導學(xué)
※學(xué)習探究
探究任務(wù)一：函數零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系
問(wèn)題：
�、俜匠痰慕鉃�，函數的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標為.
�、诜匠痰慕鉃�，函數的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標為.
�、鄯匠痰慕鉃�，函數的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標為.
根據以上結論，可以得到：
一元二次方程的根就是相應二次函數的圖象與x軸交點(diǎn)的
你能將結論進(jìn)一步推廣到嗎？
新知：對于函數，我們把使的實(shí)數x叫做函數的零點(diǎn)（zeropoint）.
反思：
函數的零點(diǎn)、方程的實(shí)數根、函數的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標，三者有什么關(guān)系？
試試：
�。�1）函數的零點(diǎn)為；
�。�2）函數的零點(diǎn)為.
小結：方程有實(shí)數根函數的.圖象與x軸有交點(diǎn)函數有零點(diǎn).
探究任務(wù)二：零點(diǎn)存在性定理
問(wèn)題：
�、僮鞒龅膱D象，求的值，觀(guān)察和的符號
�、谟^(guān)察下面函數的圖象，
在區間上零點(diǎn)；0；
在區間上零點(diǎn)；0；
在區間上零點(diǎn)；0.
新知：如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線(xiàn)，并且有<0，那么，函數在區間內有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)c也就是方程的根.
討論：零點(diǎn)個(gè)數一定是一個(gè)嗎？逆定理成立嗎？試結合圖形來(lái)分析.
※典型例題
例1求函數的零點(diǎn)的個(gè)數.
變式：求函數的零點(diǎn)所在區間.
小結：函數零點(diǎn)的求法.
�、俅鷶捣ǎ呵蠓匠痰膶�(shí)數根；
�、趲缀畏ǎ簩τ诓荒苡们蟾降姆匠�，可以將它與函數的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
※動(dòng)手試試
練1.求下列函數的零點(diǎn)：
�。�1）；
�。�2）.
練2.求函數的零點(diǎn)所在的大致區間.
三、總結提升
※學(xué)習小結
�、倭泓c(diǎn)概念；②零點(diǎn)、與x軸交點(diǎn)、方程的根的關(guān)系；③零點(diǎn)存在性定理
※知識拓展
圖象連續的函數的零點(diǎn)的性質(zhì)：
�。�1）函數的圖象是連續的，當它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（非偶次零點(diǎn)），函數值變號.
推論：函數在區間上的圖象是連續的，且，那么函數在區間上至少有一個(gè)零點(diǎn).
�。�2）相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數值保持同號.
學(xué)習評價(jià)
※自我評價(jià)你完成本節導學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計分：
1.函數的零點(diǎn)個(gè)數為（）.
A.1B.2C.3D.4
2.若函數在上連續，且有．則函數在上（）.
A.一定沒(méi)有零點(diǎn)B.至少有一個(gè)零點(diǎn)
C.只有一個(gè)零點(diǎn)D.零點(diǎn)情況不確定
3.函數的零點(diǎn)所在區間為（）.
A.B.C.D.
4.函數的零點(diǎn)為.
5.若函數為定義域是R的奇函數，且在上有一個(gè)零點(diǎn)．則的零點(diǎn)個(gè)數為.
課后作業(yè)
1.求函數的零點(diǎn)所在的大致區間，并畫(huà)出它的大致圖象.
2.已知函數.
�。�1）為何值時(shí)，函數的圖象與軸有兩個(gè)零點(diǎn)；
�。�2）若函數至少有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側，求值.
“方程的根與函數的零點(diǎn)”教學(xué)設計2
一、教學(xué)內容解析
本節課的主要內容有函數零點(diǎn)的的概念、函數零點(diǎn)存在性判定定理。
函數f(x)的零點(diǎn),是中學(xué)數學(xué)的一個(gè)重要概念,從函數值與自變量對應的角度看,就是使函數值為0的實(shí)數x;從方程的角度看,即為相應方程f(x)=0的實(shí)數根，從函數的圖形表示看,函數的零點(diǎn)就是函數f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標.函數是中學(xué)數學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結點(diǎn),它從不同的角度,將數與形,函數與方程有機的聯(lián)系在一起。
函數零點(diǎn)的存在性判定定理，其目的就是通過(guò)找函數的零點(diǎn)來(lái)研究方程的根，進(jìn)一步突出函數思想的應用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明，關(guān)鍵在于讓學(xué)生通過(guò)感知體驗并加以確認，由些需要結合具體的實(shí)例，加強對定理進(jìn)行全面的認識，比如定理應用的局限性，即定理的前提是函數的圖象必須是連續的，定理只能判定函數的“變號”零點(diǎn);定理結論中零點(diǎn)存在但不一定唯一，需要結合函數的圖象和性質(zhì)作進(jìn)一步的判斷。
對函數與方程的關(guān)系有一個(gè)逐步認識的過(guò)程，教材遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則.從學(xué)生認為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。
函數與方程相比較,一個(gè)“動(dòng)”，一個(gè)“靜”;一個(gè)“整體”，一個(gè)“局部”。用函數的觀(guān)點(diǎn)研究方程，本質(zhì)上就是將局部的問(wèn)題放在整體中研究，將靜態(tài)的結果放在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中研究，這為今后進(jìn)一步學(xué)習函數與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實(shí)的基礎。
本節是函數應用的第一課，因此教學(xué)時(shí)應當站在函數應用的高度，從函數與其他知識的聯(lián)系的角度來(lái)引入較為適宜。
二、教學(xué)目標解析
1.結合具體的問(wèn)題，并從特殊推廣到一般，使學(xué)生領(lǐng)會(huì )函數與方程之間的內在聯(lián)系，從而了解函數的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。
2.結合函數圖象，通過(guò)觀(guān)察分析特殊函數的零點(diǎn)存在的特點(diǎn)，通過(guò)問(wèn)題，理解連續函數在某個(gè)區間上存在零點(diǎn)的判定方法，并能由此方法判定函數在某個(gè)區間上存在零點(diǎn)。了解定理應用的前提條件，應用的局限性，及定理的準確結論。
3.通過(guò)具體實(shí)例，學(xué)生能結合函數的圖象和性質(zhì)進(jìn)一步判斷函數零點(diǎn)的個(gè)數。
4.在學(xué)習過(guò)程中，體驗函數與方程思想及數形結合思想。
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
1.通過(guò)前面的學(xué)習，學(xué)生已經(jīng)了解一些基本初等函數的模型，掌握了函數圖象的一般畫(huà)法，及一定的看圖識圖能力,這為本節課利用函數圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數零點(diǎn)的'概念本質(zhì)的理解，學(xué)生缺乏的是函數的觀(guān)點(diǎn)，或是函數應用的意識，造成對函數與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由此作為函數應用的第一課時(shí)，有必要點(diǎn)明函數的核心地位，即說(shuō)明函數與其他知識的聯(lián)系及其在生活中的應用，初步樹(shù)立起函數應用的意識。并從此出發(fā)，通過(guò)問(wèn)題的設置，引導學(xué)生思考，再通過(guò)實(shí)例的確認與體驗，從直觀(guān)到抽象，從特殊到一般的學(xué)習方式，捅破學(xué)生認識上的這層“窗戶(hù)紙”。
2.對于零點(diǎn)存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學(xué)生操作感知，同時(shí)鼓勵學(xué)生舉例來(lái)驗證，最終能自主地獲得并確認該定理的結論。對于定理的條件和結論，學(xué)生往往考慮不夠深入，需要教師通過(guò)具體的問(wèn)題，引導學(xué)生從正面、反面、側面等不同的角度重新進(jìn)行審視。
3.函數的零點(diǎn)，體現了函數與方程之間的密切聯(lián)系，教學(xué)中應遵循高中數學(xué)以函數為主線(xiàn)的這一原則進(jìn)行聯(lián)結，側重在從函數的角度看方程，同時(shí)為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。
四、教學(xué)過(guò)程設計
(一)創(chuàng )設情景，揭示課題
函數是中學(xué)數學(xué)的核心內容，它不僅在生活中有著(zhù)大量的應用，與其他數學(xué)知識有著(zhù)千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，若能抓住這一聯(lián)系，你就擁有了一把解決問(wèn)題的金鑰匙。
案例1：周長(cháng)為定值的矩形
不妨取l=12
問(wèn)題1：求其面積的值：
顯然面積是一個(gè)關(guān)于x的一個(gè)二次多項式
，用幾何畫(huà)板演示矩形的變化：
問(wèn)題2：求矩形面積的最大值?
當x取不同值時(shí)，代數式的值也相應隨之變化，你能從函數的角度審視其中的關(guān)系嗎?
問(wèn)題3：能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?
(1)實(shí)驗演示的角度進(jìn)行估計，拖動(dòng)時(shí)難以恰好出現面積為8的情況;
(2)解方程：x(6-x)=8
(3)方程x(6-x)=8能否從函數的角度來(lái)進(jìn)行描述?
問(wèn)題4：
一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數，它們之間有何聯(lián)系?
結論：
代數式的值就是相應的函數值;
方程的根就是使相應函數值為0的x的值。
更一般地
方程f(x)=0的根，就是使函數值y=f(x)的函數值為0的x值，從函數的角度我們稱(chēng)之為零點(diǎn)。
設計意圖:本節課是函數應用的第一課，有必要讓學(xué)生對函數的應用有所了解。從具體的問(wèn)題出發(fā),揭示函數與代數式、方程之間的內在聯(lián)系，并從學(xué)生所熟悉的具體的二次函數，推廣到一般的二次函數，再進(jìn)一步推廣到一般的函數。
(二) 互動(dòng)交流 研討新知
1.函數零點(diǎn)的概念：
對于函數
，把使
成立的實(shí)數
叫做函數
的零點(diǎn).
2.對零點(diǎn)概念的理解
案例2：觀(guān)察圖象
問(wèn)題1：此圖象是否能表示函數?
問(wèn)題2：你能從中分析函數有哪些零點(diǎn)嗎?
問(wèn)題3：從函數圖象的角度，你能對函數的零點(diǎn)換一種說(shuō)法嗎?
結論：函數
的零點(diǎn)就是方程
實(shí)數根，亦即函數
的圖象與
軸交點(diǎn)的橫坐標.即：
方程
有實(shí)數根
函數
的圖象與
軸有交點(diǎn)
函數
有零點(diǎn).
設計意圖：進(jìn)一步掌握函數的核心概念，同時(shí)通過(guò)圖象進(jìn)行一步完善對函數零點(diǎn)的全面理解，為下面借助圖象探究零點(diǎn)存在性定理作好一定的鋪墊。
2.零點(diǎn)存在定理的探究
案例3：下表是三次函數
的部分對應值表：
問(wèn)題1：你能從表中找出函數的零點(diǎn)嗎?
問(wèn)題2：結合圖象與表格，你能發(fā)現此函數零點(diǎn)的附近函數值有何特點(diǎn)?
生：兩邊的函數值異號!
問(wèn)題3：如果一個(gè)函數f(x)滿(mǎn)足f(a)f(b)<0,在區間(a,b)上是否一定存在著(zhù)函數的零點(diǎn)?
注意:函數在區間上必須是連續的(圖象能一筆畫(huà)),從而引出零點(diǎn)存在性定理.
問(wèn)題4: 有位同學(xué)畫(huà)了一個(gè)圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?
問(wèn)題5:你能改變定理的條件或結論,得到一些新的命題嗎?
如1:加強定理的結論:若在區間[a，b]上連續函數f(x)滿(mǎn)足f(a)f(b)<0,是否意味著(zhù)函數f(x)在[a,b]上恰有一個(gè)零點(diǎn)?
如2.將定理反過(guò)來(lái):若連續函數f(x)在[a,b]上有一個(gè)零點(diǎn),是否一定有f(a)f(b)<0?
如3:一般化:一個(gè)函數的零點(diǎn)是否都可由上述的定理進(jìn)行判斷?(反例:同號零點(diǎn),如案例2中的零點(diǎn)-2)
設計意圖：通過(guò)表格，是為了進(jìn)一步鞏固對函數這一概念的全面認識，并為觀(guān)察零點(diǎn)存在性定理中函數值的異號埋下伏筆。通過(guò)教師的設問(wèn)讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內容，而鼓勵學(xué)生提問(wèn)，是培養學(xué)生學(xué)習主動(dòng)性和創(chuàng )造能力必要的過(guò)程。
(三)鞏固深化，發(fā)展思維
例1、求函數f(x)=㏑x+2x -6的零點(diǎn)個(gè)數。
設計問(wèn)題：
(1)你可以想到什么方法來(lái)判斷函數零點(diǎn)?
(2)你是如何來(lái)確定零點(diǎn)所在的區間的?請各自選擇。
(3)零點(diǎn)是唯一的嗎?為什么?
設計意圖：對所學(xué)內容鞏固，可以借助<幾何畫(huà)板>畫(huà)出函數f(x)的圖象觀(guān)察,也可借助列出函數值表觀(guān)察。
本題可以使學(xué)生意識對零點(diǎn)的區間是不唯一的，為下一節二分法求方程的近似解奠定基礎。
讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟，零點(diǎn)的唯一性需要借助函數的單調性。
(四)歸納整理，整體認識
請回顧本節課所學(xué)知識內容有哪些?
所涉及到的主要數學(xué)思想又有哪些?
你還獲得了什么?
(五)作業(yè)(略)
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