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高一數學(xué)下冊知識點(diǎn)總結
1.直線(xiàn)在平面內的判定
(1)利用公理1：一直線(xiàn)上不重合的兩點(diǎn)在平面內，則這條直線(xiàn)在平面內.
(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)在第一個(gè)平面內，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.
(3)過(guò)一點(diǎn)和一條已知直線(xiàn)垂直的所有直線(xiàn)，都在過(guò)此點(diǎn)而垂直于已知直線(xiàn)的平面內，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.
(4)過(guò)平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線(xiàn)，都在過(guò)此點(diǎn)而與該平面平行的平面內，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.
(5)如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內一點(diǎn)與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)必在這個(gè)平面內，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.
2.存在性和唯一性定理
(1)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)有且只有一條;
(2)過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)有且只有一條;
(3)過(guò)平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè);
(4)與兩條異面直線(xiàn)都垂直相交的直線(xiàn)有且只有一條;
(5)過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的平面有且只有一個(gè);
(6)過(guò)平面的一條斜線(xiàn)且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè);
(7)過(guò)兩條異面直線(xiàn)中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè);
(8)過(guò)兩條互相垂直的異面直線(xiàn)中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).
3.射影及有關(guān)性質(zhì)
(1)點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).
(2)直線(xiàn)在平面上的射影自直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)兩垂足的直線(xiàn)叫做直線(xiàn)在這平面上的射影.
和射影面垂直的直線(xiàn)的射影是一個(gè)點(diǎn);不與射影面垂直的直線(xiàn)的射影是一條直線(xiàn).
(3)圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.
當圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線(xiàn)段;
當圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.
(4)射影的有關(guān)性質(zhì)
從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中：
(i)射影相等的兩條斜線(xiàn)段相等，射影較長(cháng)的斜線(xiàn)段也較長(cháng);
(ii)相等的斜線(xiàn)段的射影相等，較長(cháng)的斜線(xiàn)段的射影也較長(cháng);
(iii)垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短.
4.空間中的各種角
等角定理及其推論
定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.
推論若兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，則這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等.
異面直線(xiàn)所成的角
(1)定義：a、b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線(xiàn)a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角.
(2)取值范圍：0°<θ≤90°.
(3)求解方法
�、俑鶕x，通過(guò)平移，找到異面直線(xiàn)所成的角θ;
�、诮夂笑鹊娜切�，求出角θ的大小.
5.直線(xiàn)和平面所成的角
(1)定義和平面所成的角有三種：
(i)垂線(xiàn)?面所成的角?的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.
(ii)垂線(xiàn)與平面所成的角?直線(xiàn)垂直于平面，則它們所成的角是直角.
(iii)一條直線(xiàn)和平面平行，或在平面內，則它們所成的角是0°的角.
(2)取值范圍0°≤θ≤90°
(3)求解方法
�、僮鞒鲂本�(xiàn)在平面上的射影，找到斜線(xiàn)與平面所成的角θ.
�、诮夂鹊娜切�，求出其大小.
�、圩钚〗嵌ɡ�
斜線(xiàn)和平面所成的角，是這條斜線(xiàn)和平面內經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角，亦可說(shuō)，斜線(xiàn)和平面所成的角不大于斜線(xiàn)與平面內任何直線(xiàn)所成的角.
6.二面角及二面角的平面角
(1)半平面?直線(xiàn)把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角?條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.
若兩個(gè)平面相交，則以?xún)蓚�(gè)平面的交線(xiàn)為棱形成四個(gè)二面角.
二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，通常認為二面角的平面角θ的取值范圍是
0°<θ≤180°
(3)二面角的平面角
�、僖远娼抢馍先我庖稽c(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內作垂直于棱的射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所組成的角叫做二面角的平面角.
如圖，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置無(wú)關(guān).
�、诙娼堑钠矫娼蔷哂邢铝行再|(zhì)：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線(xiàn)，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長(cháng)線(xiàn))上.
(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.
�、壅�(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定義法
(ii)垂面法
(iii)三垂線(xiàn)法
(Ⅳ)根據特殊圖形的性質(zhì)
(4)求二面角大小的常見(jiàn)方法
�、傧日�(或作)出二面角的平面角θ，再通過(guò)解三角形求得θ的值.
�、诶妹娣e射影定理
S′=S·cosα
其中S為二面角一個(gè)面內平面圖形的面積，S′是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小.
�、劾卯惷嬷本�(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.
7.空間的各種距離
點(diǎn)到平面的距離
(1)定義?面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.
(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：
1)直接利用定義求
�、僬业�(或作出)表示距離的線(xiàn)段;
�、谧プ【�(xiàn)段(所求距離)所在三角形解之.
2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線(xiàn)的距離就是所求的點(diǎn)面距離.
3)體積法其步驟是：①在平面內選取適當三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構成三棱錐;②求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構成三角形的面積S;③由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線(xiàn)即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構造合適的三棱錐以便于計算.
4)轉化法將點(diǎn)到平面的距離轉化為(平行)直線(xiàn)與平面的距離來(lái)求.
8.直線(xiàn)和平面的距離
(1)定義一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線(xiàn)和平面的距離.
(2)求線(xiàn)面距離常用的方法
�、僦苯永枚x求證(或連或作)某線(xiàn)段為距離，然后通過(guò)解三角形計算之.
�、趯⒕�(xiàn)面距離轉化為點(diǎn)面距離，然后運用解三角形或體積法求解之.
�、圩鬏o助垂直平面，把求線(xiàn)面距離轉化為求點(diǎn)線(xiàn)距離.
9.平行平面的距離
(1)定義?個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線(xiàn)，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn).公垂線(xiàn)夾在兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段.兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段的長(cháng)度叫做這兩個(gè)平行平面的距離.
(2)求平行平面距離常用的方法
�、僦苯永枚x求
證(或連或作)某線(xiàn)段為距離，然后通過(guò)解三角形計算之.
�、诎衙婷嫫叫芯嚯x轉化為線(xiàn)面平行距離，再轉化為線(xiàn)線(xiàn)平行距離，最后轉化為點(diǎn)線(xiàn)(面)距離，通過(guò)解三角形或體積法求解之.
10.異面直線(xiàn)的距離
(1)定義?條異面直線(xiàn)都垂直相交的直線(xiàn)叫做兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn).兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)在這兩條異面直線(xiàn)間的線(xiàn)段的長(cháng)度，叫做兩條異面直線(xiàn)的距離.
任何兩條確定的異面直線(xiàn)都存在唯一的公垂線(xiàn)段.
(2)求兩條異面直線(xiàn)的距離常用的方法
�、俣x法?題目所給的條件，找出(或作出)兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段，再根據有關(guān)定理、性質(zhì)求出公垂線(xiàn)段的長(cháng).
此法一般多用于兩異面直線(xiàn)互相垂直的情形.
�、谵D化法?為以下兩種形式：線(xiàn)面距離面面距離
�、鄣润w積法④最值法⑤射影法⑥公式法
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