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北師大版數學(xué)五年級上冊《點(diǎn)陣中的規律》的教學(xué)實(shí)錄
一、談話(huà)引入
師：從小我們就學(xué)數數、用數字，那么對于數字的發(fā)明和發(fā)展過(guò)程，你們都哪些了解？（學(xué)生交流課前搜集的相關(guān)信息）
生1：古時(shí)候人們用石子來(lái)計數，比如打一只兔子就擺一塊石子。
生2：還有用繩子打結的，有幾個(gè)人就打幾個(gè)結。
生3：我知道我們現在用的數字是印度人發(fā)明的，從阿拉伯傳到我國的，所以叫阿拉伯數字。
師：大家了解的信息真不少！阿拉伯數字的發(fā)明，使我們的記錄和計算更加方便，但是在表現數字的特征方面，有時(shí)候圖形會(huì )更加直觀(guān)。今天老師請來(lái)了一位圖形朋友——點(diǎn)（老師在黑板上畫(huà)點(diǎn)），看到這個(gè)點(diǎn)，你能快速地想到哪個(gè)數字？
生齊：1。
師：不要小看了這個(gè)小小的點(diǎn)，早在2000多年前，古希臘的數學(xué)家們就是從這樣一個(gè)小小的點(diǎn)開(kāi)始研究，發(fā)現了由許多個(gè)這樣的點(diǎn)組成的圖形中的規律，還給這些圖形取了一個(gè)好聽(tīng)的名字，叫點(diǎn)陣。同學(xué)們想不想過(guò)一把當數學(xué)家的癮，自己來(lái)尋找這些規律？
生齊：想。
師：今天，我們就一起來(lái)探究點(diǎn)陣中隱含的規律。（板書(shū)課題：點(diǎn)陣中的規律）
二、探究正方形點(diǎn)陣中的規律
1、探究一組正方形點(diǎn)陣的規律。
師：我們一起來(lái)看看數學(xué)家們當年研究的點(diǎn)陣圖，邊看邊說(shuō)出各個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)子數。
�。ㄒ来纬鍪厩八膫�(gè)正方形點(diǎn)陣圖，并逐步引導學(xué)生想像、猜測：下一個(gè)點(diǎn)陣圖會(huì )是什么樣子呢？）
生：第一個(gè)是1個(gè)點(diǎn)；第二個(gè)是4個(gè)點(diǎn)；
師：在心里想第三個(gè)、第四個(gè)點(diǎn)陣圖是什么樣子。（示圖）與你的想像一樣嗎？
生1：一樣。就是9個(gè)點(diǎn)。
生2：我知道第四個(gè)點(diǎn)陣有16個(gè)點(diǎn)，肯定是的。
�。S著(zhù)點(diǎn)陣圖的依次出現，學(xué)生的思維逐漸活躍，當第三個(gè)點(diǎn)陣圖出現的時(shí)候，學(xué)生不用數，已經(jīng)忍不住地說(shuō)出了點(diǎn)數。說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)發(fā)現了這組正方形點(diǎn)陣中的規律。但這時(shí)，教師沒(méi)有急于讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，而是給學(xué)生留出了完善自己想法的時(shí)間，同時(shí)也暗示學(xué)生：規律的呈現不能依靠一個(gè)或幾個(gè)圖形來(lái)歸納，應該有耐心地繼續自己的觀(guān)察活動(dòng)。）
師：除了能說(shuō)出各個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數之外，仔細觀(guān)察點(diǎn)陣圖：你們還有什么其它的發(fā)現？
生1：第一個(gè)點(diǎn)陣是1個(gè)點(diǎn)，其余的都是正方形的。
生2：我發(fā)現從第一個(gè)圖開(kāi)始點(diǎn)子數分別是加3、加5、加7。
生3：我發(fā)現它們的點(diǎn)子數能寫(xiě)成1×1、2×2、3×3、4×4。
師：你們真了不起！這種形狀的點(diǎn)陣就是正方形點(diǎn)陣，大家不但用數字表示每個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數，還能用算式來(lái)表示這組點(diǎn)陣的規律。根據剛才發(fā)現的規律，想一想：第五個(gè)點(diǎn)陣是什么樣子呢？自己畫(huà)出來(lái)，并用算式表示點(diǎn)數。
�。▽W(xué)生活動(dòng)：獨立畫(huà)出第五個(gè)5×5的點(diǎn)陣圖，全班交流。）
師：照這樣的規律繼續畫(huà)下去，第9個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數如何用算式來(lái)表示？第100個(gè)呢？第n個(gè)呢？在小組內交流一下。
生：第九個(gè)點(diǎn)陣表示為9×9；
第100個(gè)點(diǎn)陣表示為100×100；
第n個(gè)點(diǎn)陣就表示為n×n。
�。ńY合發(fā)現的規律，引導學(xué)生逐步完善自己的想法，建立總結正方形點(diǎn)陣規律的模型。）
師：那么你們覺(jué)得每個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數與什么有關(guān)系？在小組內討論交流。
生1：點(diǎn)子總數與正方形點(diǎn)陣每一排的點(diǎn)子數有關(guān)系。
生2：就是邊長(cháng)乘邊長(cháng)。
生3：還與是第幾個(gè)有關(guān)系，第一個(gè)就是1×1，第二個(gè)就是2×2，第三個(gè)就是3×3，一直這樣數下去。
�。▽W(xué)會(huì )用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）
師：說(shuō)得真好！每個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數可以看作是一個(gè)相同數字相乘的積，這個(gè)數字與點(diǎn)陣的序號有關(guān)，與每個(gè)正方形點(diǎn)陣每排的點(diǎn)子數也有關(guān)系。
2、同一個(gè)點(diǎn)陣的不同劃分中的規律。
師：剛才我們研究了一組正方形點(diǎn)陣中隱含的規律，那么對于同一個(gè)點(diǎn)陣來(lái)說(shuō)，如果劃分的方法不同，所呈現的規律也就不同。
請大家仔細觀(guān)察第五個(gè)正方形點(diǎn)陣中點(diǎn)的劃分方法，你能發(fā)現什么規律？與同桌交流你的想法。
生1：我發(fā)現都是用折線(xiàn)分開(kāi)的。
生2：我發(fā)現從短的線(xiàn)開(kāi)始，每條線(xiàn)內的點(diǎn)分別是1、3、5、7、9。
生3：這個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數用算式表示就是：1＋3＋5＋7＋9=25。
師：大家的發(fā)現真不少！那如果把每條線(xiàn)所包圍的點(diǎn)子數記下來(lái)，如何用算式來(lái)表示？
學(xué)生匯報：
第一條線(xiàn)：1 = 1；
第二條線(xiàn)：1＋3 = 4；
第三條線(xiàn)：1＋3＋5 = 9；
第四條線(xiàn)：1＋3＋5＋7 = 16；
第五條線(xiàn)：1＋3＋5＋7＋9 = 25；
師：你們覺(jué)得這組算式有什么特點(diǎn)？
生1：一個(gè)算式比一個(gè)算式多加一個(gè)數。
生2：它們的得數正好是剛才那一排點(diǎn)陣的點(diǎn)子數。
生3：都是連續的奇數在相加。
師：是從幾開(kāi)始的連續奇數呢？
生：是從1開(kāi)始的連續奇數在相加。
師：如果按這樣的劃分方法劃分第六個(gè)正方形點(diǎn)陣，它的點(diǎn)數該如何用算式來(lái)表示？
生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。
師：剛才我們是把這個(gè)5×5的正方形點(diǎn)陣用折線(xiàn)進(jìn)行了劃分，你們還有哪些不同的劃分的方法？如何用算式表示？在小組內研究一下。
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