高中數學(xué)思想方法

高中數學(xué)常用思想方法

　　同學(xué)們在解決數學(xué)問(wèn)題時(shí)，都是將復雜的、困難的問(wèn)題轉換成簡(jiǎn)單的、熟悉的，也就是將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題，以下是小編整理的高中數學(xué)常用思想方法，希望對大家有所幫助。

　　高中數學(xué)常用思想方法

　　1、函數與方程的思想

　　著(zhù)名數學(xué)家克萊因說(shuō)“一般受教育者在數學(xué)課上應該學(xué)會(huì )的重要事情是用變量和函數來(lái)思考”。一個(gè)學(xué)生僅僅學(xué)習了函數的知識，他在解決問(wèn)題時(shí)往往是被動(dòng)的，而建立了函數思想，才能主動(dòng)地去思考一些問(wèn)題。

　　函數是高中代數內容的主干，函數思想貫穿于高中代數的全部?jì)热�，函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從函數各部分內容的內在聯(lián)系和整體角度來(lái)考慮問(wèn)題，研究問(wèn)題和解決問(wèn)題。

　　所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過(guò)設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的解題思路和策略，它是解決各類(lèi)計算問(wèn)題的基本思想，是運算能力的基礎。

　　函數和方程、不等式是通過(guò)函數值等于零、大于零或小于零而相互關(guān)聯(lián)的，它們之間既有區別又有聯(lián)系。函數與方程的思想，既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，是研究變量與函數、相等與不等過(guò)程中的基本數學(xué)思想。

　　高考把函數與方程的思想作為七種思想方法的重點(diǎn)來(lái)考查，使用選擇題和填空題考查函數與方程的思想的基本運用，而在解答題中，則從更深的層次，在知識網(wǎng)絡(luò )的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力的關(guān)系角度進(jìn)行綜合考查。

　　在解題時(shí)，要學(xué)會(huì )思考這些問(wèn)題：(1)是不是需要把字母看作變量?(2)是不是需要把代數式看作函數?如果是函數它具有哪些性質(zhì)?(3)是不是需要構造一個(gè)函數把表面上不是函數的問(wèn)題化歸為函數問(wèn)題?(4)能否把一個(gè)等式轉化為一個(gè)方程?對這個(gè)方程的根有什么要求?……

　　2、數形結合的思想

　　數學(xué)研究的對象是數量關(guān)系和空間形式，即“數”與“形”兩個(gè)方面�！皵怠迸c“形”兩者之間并不是孤立的，而是有著(zhù)密切的聯(lián)系。數量關(guān)系的研究可以轉化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉化為數量關(guān)系的研究，這種解決數學(xué)問(wèn)題過(guò)程中“數”與“形”相互轉化的研究策略，即是數形結合的思想。

　　數形結合的思想，在數學(xué)的幾乎全部的知識中，處處以數學(xué)對象的直觀(guān)表象及深刻精確的數量表達這兩方面給人以啟迪，為問(wèn)題的解決提供簡(jiǎn)捷明快的途徑。它的運用，往往展現出“柳暗花明又一村”般的數形和諧完美結合的境地。華羅庚先生曾作過(guò)精辟的論述：“數與開(kāi)形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數時(shí)難人微，數形結合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯(lián)系切莫離�！�

　　數形結合既是一個(gè)重要的數學(xué)思想，也是一種常用的解題策略。一方面，許多數量關(guān)系的抽象概念和解析式，若賦予幾何意義，往往變得非常直觀(guān)形象;另一方面，一些圖形的屬性又可通過(guò)數量關(guān)系的研究，使得圖形的性質(zhì)更豐富、更精準、更深刻。這種“數”與“形”的相互轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可大大開(kāi)拓我們的解題思路�？梢赃@樣說(shuō)，數形結合不僅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思維的有力“杠桿”。

　　由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識。因此，數形結合的思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化。

　　在高考中，選擇題和填空題這兩種題型的特點(diǎn)(只需寫(xiě)出結果而無(wú)需寫(xiě)出過(guò)程)，為考查數形結合的思想提供了方便，能突出考查考生將復雜的數量關(guān)系問(wèn)題轉化為直觀(guān)的幾何圖形問(wèn)題來(lái)解決的意識。而在解答題中，考慮到推理論證的嚴謹性，對數量關(guān)系問(wèn)題的研究仍突出代數的方法而不是提倡使用幾何的方法，解答題中對數形結合的思想的考查以由“數”到“形”的轉化為主。

　　3、分類(lèi)與整合的思想

　　解題時(shí)，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統一方法，統一的式子繼續進(jìn)行了，因為這時(shí)被研究的問(wèn)題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個(gè)子區域，然后分別在各個(gè)子區域內進(jìn)行解題，當分類(lèi)解決完這個(gè)問(wèn)題后，還必須把它們總合在一起，因為我們研究的畢竟是這個(gè)問(wèn)題的全體，這就是分類(lèi)與整合的思想。有分有合，先分后合，不僅是分類(lèi)與整合的思想解決問(wèn)題的主要過(guò)程，也是這種思想方法的本質(zhì)屬性。

　　高考將分類(lèi)與整合的思想放在比較重要的位置，并以解答題為主進(jìn)行考查，考查時(shí)要求考生理解什么樣的問(wèn)題需要分類(lèi)研究，為什么要分類(lèi)，如何分類(lèi)以及分類(lèi)后如何研究與最后如何整合。特別注意引起分類(lèi)的原因，我們必須相當熟悉，有些概念就是分類(lèi)定義的，如絕對值的概念、整數分為奇數偶數等，有些運算法則和公式是分類(lèi)給出的，例如等比數列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況，對數函數的單調性就分為a>1，0

　　高考對分類(lèi)與整合的思想的考查往往集中在含有參數的解析式，包括函數問(wèn)題，數列問(wèn)題和解析幾何問(wèn)題等。此外，排列組合的問(wèn)題，概率統計的問(wèn)題也考查分類(lèi)與整合的思想。隨著(zhù)新課程高考在全國的實(shí)施，在新增內容中考查分類(lèi)與整合的思想，竊以為，是今后幾年高考命題的重點(diǎn)之一。

　　4、化歸與轉化的思想

　　將未知解法或難以解決的問(wèn)題，通過(guò)觀(guān)察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運用恰當的數學(xué)方法進(jìn)行變換，化歸為在已知知識范圍內已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題的思想叫做化歸與轉化的思想�；瘹w與轉化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現轉化。

　　除極簡(jiǎn)單的數學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉化為已知的問(wèn)題實(shí)現的。從這個(gè)意義上講，解決數學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉化的過(guò)程�；瘹w與轉化的思想是解決數學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉化的過(guò)程。數學(xué)中的轉化比比皆是，如未知向已知轉達化，復雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現。

　　轉化有等價(jià)轉化和非等價(jià)轉化。等價(jià)轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價(jià)性;在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉化，應附加限制條件，以保持等價(jià)性，或對所得結論進(jìn)行必要的驗證。

　　熟練、扎實(shí)地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是騍轉化的基礎;豐富的聯(lián)想、機敏細微的觀(guān)察、比較、類(lèi)比是實(shí)現轉化的橋梁;培養訓練自己自覺(jué)的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動(dòng)有意識地去發(fā)現事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。有人認為“抓基礎，重轉化”是學(xué)好中學(xué)數學(xué)的金鑰匙，說(shuō)的也不無(wú)道理。

　　5、特殊與一般的思想

　　由特殊到一般，由一般到特殊，是人們認識世界的基本方法之一。數學(xué)研究也不例外，由特殊到一般，由一般到特殊的研究數學(xué)問(wèn)題的基本認識過(guò)程，就是數學(xué)研究中的特殊與一般的思想。

　　我們對公式、定理、法則的學(xué)習往往都是從特殊開(kāi)始，通過(guò)總結歸納得出來(lái)的，證明后，又使用它們來(lái)解決相關(guān)的數學(xué)問(wèn)題。在數學(xué)中經(jīng)常使用的歸納法，演繹法就是特殊與一般的思想的集中體現。分析歷年的高考試題，考查特殊與一般的思想的題比比皆是，有的考查利用一般歸納法進(jìn)行猜想，有的通過(guò)構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊點(diǎn)，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問(wèn)題、抽象問(wèn)題、運動(dòng)變化的問(wèn)題等。隨著(zhù)新教材的全面推廣，高考以新增內容為素材，突出考查特殊與一般的思想必然成為今后命題改革的方向。

　　6、有限與無(wú)限的思想

　　有限與無(wú)限并不是一新東西，雖然我們開(kāi)始學(xué)習的數學(xué)都是有限的教學(xué)，但其中也包含有無(wú)限的成分，只不過(guò)沒(méi)有進(jìn)行深入的研究。在學(xué)習有關(guān)數及其運算的過(guò)程中，對自然數、整數、有理數、實(shí)數、復數的學(xué)習都是有限個(gè)數的運算，但實(shí)際上各數集內元素的個(gè)數都是無(wú)限的。在解析幾何中，還學(xué)習過(guò)拋物線(xiàn)的漸近線(xiàn)，已經(jīng)開(kāi)始有極限的思想體現在其中。數列的極限和函數的極限集中體現了有限與無(wú)限的思想。使用極限的思想解決數學(xué)問(wèn)題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無(wú)限分割的方法來(lái)解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，然后再求和求極限，這是典型的有限與無(wú)限的思想的應用。

　　函數是對運動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)事物的描述，體現了變量數學(xué)在研究客觀(guān)事物中的重要作用。導數是對事物變化快慢的一種描述，并由此可進(jìn)一步處理和解決函數的增減、極大、極小、最大、最小等實(shí)際問(wèn)題，是研究客觀(guān)事物變化率和最優(yōu)化問(wèn)題的有力工具。

　　高考中對有限與無(wú)限的思想的考查才剛剛起步并且往往是在考查其他數學(xué)思想和方法的過(guò)程中同時(shí)考查有限與無(wú)限思想。例如，在使用由特殊到一般的歸納思維時(shí)，含有有限與無(wú)限的思想;在使用數學(xué)歸納法證明時(shí)，解決的是無(wú)限的問(wèn)題，體現的是有限與無(wú)限的思想，等等。隨著(zhù)對新增內容的考查的逐步深入，必將加強對有限與無(wú)限的思想的考查，設計出突出體現出有限與無(wú)限的思想的新穎試題。

　　7、或然與必然的思想

　　隨機現象有兩個(gè)最基本的特征，一是結果的隨機性，即重復同樣的試驗，所得到的結果并不相同，以至于在試驗之前不能預料試驗的結果;二是頻率的穩定性，即在大量重復試驗中，每個(gè)試驗結果發(fā)生的頻率“穩定”在一個(gè)常數附近。了解一個(gè)隨機現象就要知道這個(gè)隨機現象中所有可能出現的結果，知道每個(gè)結果出現的概率，知道這兩點(diǎn)就說(shuō)對這個(gè)隨機現象研究清楚了。概率研究的是隨機現象，研究的過(guò)程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規律去解決“偶然”的問(wèn)題，這其中所體現的數學(xué)思想就是或然與必然的思想。

　　隨著(zhù)新教材的推廣，高考中對概率內容的考查已放在了重要的位置。通過(guò)對等可能性事件的概率，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨立重復試驗恰相好有k次發(fā)生的概率、隨機事件的分布列與數學(xué)期望等重點(diǎn)內容的考查，考查基本概念和基本方法，考查在解決實(shí)際應用問(wèn)題中或然與必然的辯證關(guān)系。

　　概率問(wèn)題，無(wú)論屬于哪一種類(lèi)型，所研究的都是隨機事件中“或然”與“必然”的辯證關(guān)系，在“或然”中尋找“必然”的規律。

　　高中數學(xué)中的思想方法

　　第一：函數與方程思想

　�。�1）函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數列、解析幾何等其他內容時(shí)，起著(zhù)重要作用

　�。�2）方程思想是解決各類(lèi)計算問(wèn)題的基本思想，是運算能力的基礎

　　高考把函數與方程思想作為七種重要思想方法重點(diǎn)來(lái)考查

　　第二：數形結合思想

　�。�1）數學(xué)研究的對象是數量關(guān)系和空間形式，即數與形兩個(gè)方面

　�。�2）在一維空間，實(shí)數與數軸上的點(diǎn)建立一一對應關(guān)系

　　在二維空間，實(shí)數對與坐標平面上的點(diǎn)建立一一對應關(guān)系

　　數形結合中，選擇、填空側重突出考查數到形的轉化，在解答題中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數的轉化

　　第三：分類(lèi)與整合思想

　�。�1）分類(lèi)是自然科學(xué)乃至社會(huì )科學(xué)研究中的基本邏輯方法

　�。�2）從具體出發(fā)，選取適當的分類(lèi)標準

　�。�3）劃分只是手段，分類(lèi)研究才是目的

　�。�4）有分有合，先分后合，是分類(lèi)整合思想的本質(zhì)屬性

　�。�5）含字母參數數學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)與整合的研究，重點(diǎn)考查學(xué)生思維嚴謹性與周密性

　　第四：化歸與轉化思想

　�。�1）將復雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將較難問(wèn)題化為較易問(wèn)題，將未解決問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題

　�。�2）靈活性、多樣性，無(wú)統一模式，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋找有利于問(wèn)題解決的變換途徑與方法

　�。�3）高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉化、繁與簡(jiǎn)的轉化、構造轉化、命題的等價(jià)轉化

　　第五：特殊與一般思想

　�。�1）通過(guò)對個(gè)例認識與研究，形成對事物的認識

　�。�2）由淺入深，由現象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論

　�。�3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反復認識過(guò)程

　�。�4）構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

　�。�5）高考以新增內容為素材，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向

　　第六：有限與無(wú)限的思想

　�。�1）把對無(wú)限的研究轉化為對有限的研究，是解決無(wú)限問(wèn)題的必經(jīng)之路

　�。�2）積累的解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗，將有限問(wèn)題轉化為無(wú)限問(wèn)題來(lái)解決是解決的方向

　�。�3）立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來(lái)解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無(wú)限數學(xué)思想的應用

　�。�4）隨著(zhù)高中課程改革，對新增內容考查深入，必將加強對有限與無(wú)限的考查

　　第七：或然與必然的思想

　�。�1）隨機現象兩個(gè)最基本的特征，一是結果的隨機性，二是頻率的穩定性

　�。�2）偶然中找必然，再用必然規律解決偶然

　�。�3）等可能性事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨立重復試驗、隨機事件的分布列、數學(xué)期望是考查的重點(diǎn)

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