《函數的基本性質(zhì)》知識點(diǎn)總結

《函數的基本性質(zhì)》知識點(diǎn)總結

　　在日復一日的學(xué)習中，是不是經(jīng)常追著(zhù)老師要知識點(diǎn)？知識點(diǎn)也可以通俗的理解為重要的內容。掌握知識點(diǎn)有助于大家更好的學(xué)習。以下是小編精心整理的《函數的基本性質(zhì)》知識點(diǎn)總結，歡迎大家分享。

　　基礎知識：

　　1.奇偶性

　�。�1）定義：如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱(chēng)f(x)為奇函數；如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱(chēng)f(x)為偶函數。如果函數f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數，又是偶函數。

　　注意：

　�、俸瘮凳瞧婧瘮祷蚴桥己瘮捣Q(chēng)為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質(zhì)；

　�、谟珊瘮档钠媾夹远�義可知，函數具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)）。

　�。�2）利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：

　�、偈紫却_定函數的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)；

　�、诖_定f(－x)與f(x)的關(guān)系；

　�、圩鞒鱿鄳�結論：

　　若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；

　　若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數。

　�。�3）簡(jiǎn)單性質(zhì)：

　�、賵D象的對稱(chēng)性質(zhì)：一個(gè)函數是奇函數的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(chēng)；一個(gè)函數是偶函數的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸成軸對稱(chēng)；

　�、谠Of(x)，g(x)的定義域分別是D1,D2，那么在它們的公共定義域上：

　　奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

　　2.單調性

　�。�1）定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I內的某個(gè)區間D內的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當x1

　　注意：

　�、俸瘮档膯握{性是在定義域內的某個(gè)區間上的性質(zhì)，是函數的局部性質(zhì)；

　�、诒仨毷菍τ趨^間D內的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當x1

　�。�2）如果函數y=f(x)在某個(gè)區間上是增函數或是減函數，那么就說(shuō)函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。

　�。�3）設復合函數y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個(gè)區間，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

　�、偃魎=g(x) 在 A上是增

　�。ɑ驕p）函數，y= f(u)在B上也是增（或減）函數，則函數y= f[g(x)]

　　在A(yíng)上是增函數；

　�、谌魎=g(x)在A(yíng)上是增（或減）函數，而y= f(u)在B上是減（或增）函數，則函數y= f[g(x)]在A(yíng)上是減函數。

　�。�4）判斷函數單調性的方法步驟

　　利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：

　�、偃稳�x1，x2∈D，且x1

　�。�5）簡(jiǎn)單性質(zhì)

　�、倨婧瘮翟谄鋵ΨQ(chēng)區間上的單調性相同；

　�、谂己瘮翟谄鋵ΨQ(chēng)區間上的單調性相反；

　�、墼诠�共定義域內：

　　增函數f(x)增函數g(x)是增函數；減函數f(x)減函數g(x)是減函數； 增函數f(x)減函數g(x)是增函數；減函數f(x)增函數g(x)是減函數。

　�、苋艉瘮祔f(x)是偶函數，則f(xa)f(xa)；若函數yf(xa)是偶函數，則f(xa)f(xa).

　　3.函數的周期性

　　如果函數y＝f(x)對于定義域內任意的x，存在一個(gè)不等于0的常數T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則稱(chēng)函數f(x)是周期函數，T是它的一個(gè)周期.

　　性質(zhì)：

　�、偃绻鸗是函數f(x)的周期，則kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

　�、谌糁芷诤瘮礷(x)的周期為T(mén)，則f(x)（0）是周期函數，且周期為T(mén)||。

　�、廴鬴(x)f(xa),則函數yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱(chēng); 若a2f(x)f(xa),則函數yf(x)為周期為2a的周期函數.

　　例題： 1.y1x2的遞減區間是 ；ylog1(x3x2)的單調遞增區間是 。 1x22.函數f(x)lg(21)的圖象（ ） 1xA.關(guān)于x軸對稱(chēng)B. 關(guān)于y軸對稱(chēng)C. 關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng) D. 關(guān)于直線(xiàn)yx對稱(chēng)

　　3.設f(x)是定義在R上的奇函數，若當x0時(shí)，f(x)log3(1x)，則f(2)。

　　4.定義在R上的偶函數f(x)滿(mǎn)足f(x2)f(x2)，若f(x)在[2,0]上遞增，則（ ）

　　A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不對

　　5.討論函數f(x)x1的單調性。

　　6.已知奇函數f(x)是定義在(2,2)上的減函數,若f(m1)f(2m1)0，求實(shí)數m 的取值范圍。

　　7.已知函數f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2004，求f(2004)。

　　、函數的解析式與定義域

　　1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒(méi)有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫(xiě)出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時(shí)，求出函數的定義域。求函數的定義域一般有三種類(lèi)型：

　�。�1）有時(shí)一個(gè)函數來(lái)自于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這時(shí)自變量x有實(shí)際意義，求定義域要結合實(shí)際意義考慮;

　�。�2）已知一個(gè)函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：

　�、俜质降姆帜覆坏脼榱�;

　�、谂即畏礁�的被開(kāi)方數不小于零;

　�、蹖�數函數的真數必須大于零;

　�、苤笖岛瘮岛蛯�數函數的底數必須大于零且不等于1;

　�、萑�角函數中的正切函數y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

　　應注意，一個(gè)函數的解析式由幾部分組成時(shí)，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。

　�。�3）已知一個(gè)函數的定義域，求另一個(gè)函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。

　　已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿(mǎn)足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時(shí)f（x）的定義域，即g（x）的值域。

　　2、求函數的解析式一般有四種情況

　�。�1）根據某實(shí)際問(wèn)題需建立一種函數關(guān)系時(shí)，必須引入合適的變量，根據數學(xué)的有關(guān)知識尋求函數的解析式。

　�。�2）有時(shí)題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法。比如函數是一次函數，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可。

　�。�3）若題設給出復合函數f[g（x）]的表達式時(shí)，可用換元法求函數f（x）的表達式，這時(shí)必須求出g（x）的值域，這相當于求函數的定義域。

　�。�4）若已知f（x）滿(mǎn)足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f（x）是未知量外，還出現其他未知量（如f（—x），等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。

　　函數的值域與最值

　　1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

　�。�1）直接法：亦稱(chēng)觀(guān)察法，對于結構較為簡(jiǎn)單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀(guān)察得出函數的值域。

　�。�2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡(jiǎn)單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時(shí)用代數換元，當根式里是二次式時(shí)，用三角換元。

　�。�3）反函數法：利用函數f（x）與其反函數f—1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過(guò)求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如（a≠0）的函數值域可采用此法求得。

　�。�4）配方法：對于二次函數或二次函數有關(guān)的函數的值域問(wèn)題可考慮用配方法。

　�。�5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數的值域，不過(guò)應注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧。

　�。�6）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。

　�。�7）利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上（或某個(gè)定義域的子集上）的單調性，可采用單調性法求出函數的值域。

　�。�8）數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域。

　　2、求函數的最值與值域的區別和聯(lián)系

　　求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在函數的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數，這個(gè)數就是函數的最�。ù螅┲�。因此求函數的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同，因而答題的方式就有所相異。

　　如函數的值域是（0，16]，最大值是16，無(wú)最小值。再如函數的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數無(wú)最大值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時(shí)，函數的最小值為2�？梢�(jiàn)定義域對函數的值域或最值的影響。

　　3、函數的最值在實(shí)際問(wèn)題中的應用

　　函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實(shí)際問(wèn)題上，從文字表述上常常表現為“工程造價(jià)最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最�。�”等諸多現實(shí)問(wèn)題上，求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。

　　習題：

　　題型一：判斷函數的奇偶性

　　1.以下函數：（1）y1(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x；（5）x4xx2；其中奇函數是 ，偶函數是 ，ylog2(xx1)，(6)f(x)x222非奇非偶函數是。

　　2.已知函數f(x)=xx,那么f(x)是( )

　　A.奇函數而非偶函數 B. 偶函數而非奇函數

　　C.既是奇函數又是偶函數 D.既非奇函數也非偶函數

　　題型二：奇偶性的應用

　　1.已知偶函數f(x)和奇函數g(x)的定義域都是(-4,4),它們在4,0上的圖像分別如 圖（2-3）所示，則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。

　　圖(2-3)

　　2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d為常數，若f(7)7，則f(7)____

　　3.下列函數既是奇函數，又在區間1,1上單調遞減的是（）

　　A.f(x)sinx B.f(x)xC.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln 22x

　　4.已知函數yf(x)在R是奇函數，且當x0時(shí)，f(x)x22x，則x0時(shí)，f(x)的 解析式為 。

　　5.若fx是偶函數,且當x0,時(shí), fxx1,則fx10的解集是（ ）

　　A.x1x0 B. xx0或1x2 C. x0x2 D. x1x2 題型三：判斷證明函數的單調性

　　1.判斷并證明f(x)

　　22在(0,)上的單調性 x12.判斷f(x)2x2x1在(,0)上的單調性

　　題型四：函數的單調區間

　　1.求函數ylog0.7(x23x2)的單調區間。

　　2.下列函數中，在(,0)上為增函數的是（ ）

　　A.yx24x8 B.yax3(a0) C.y2 D.ylog1(x) x12

　　3.函數f(x)x

　　A.0,1的一個(gè)單調遞增區間是（ ） xB.,0C.0,1D.1,

　　4.下列函數中，在(0，2)上為增函數的是( )A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=

　　5.函數y=54xx2的遞增區間是( )

　　A.(-∞，-2)B.[-5，-2] C.[-2，1]D.[1，+∞)

　　題型五：?jiǎn)握{性的應用

　　1.函數f(x)=x+2(a-1)x+2在區間(-∞，4)上是減函數，那么實(shí)數a的取值范圍是( )

　　A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3}D.(-∞，5]

　　2.已知函數f(x)=2x-mx+3，當x∈(-2，+∞)時(shí)是增函數，當x∈(-∞，-2)時(shí)是減函數，則f(1)等于( )

　　A.-3B.13C.7 D.由m而決定的常數． 2242 D.y=x-4x+3 x

　　3.若函數f(x)x3ax2bx7在R上單調遞增，則實(shí)數a, b一定滿(mǎn)足的條件是（ ）

　　A．a(chǎn)3b0B.a3b0 22C．a(chǎn)3b0 2D．a(chǎn)3b1 2

　　4.函數f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恒成立，則b的最小值為 。

　　5.已知偶函數f(x)在(0，+∞)上為增函數，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 題型六：周期問(wèn)題

　　1.奇函數f(x)以3為最小正周期，f(1)3，則f(47)為( )

　　A.3B.6C.-3 D.-6

　　2.設f(x)是定義在R上以6為周期的函數，f(x)在(0,3)內單調遞增，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x =3對稱(chēng)，則下面正確的結論是()

　　A.f(1.5)

　　C.f(6.5)

　　x3.已知fx為偶函數,且f2xf2x,當2x0時(shí),fx2,則f2006

　�。� ）

　　A．2006 B．4C．4 D． 1 4

　　4.設f(x)是(,)上的奇函數，f(x2)f(x)，當0x1時(shí)，f(x)x，則f(47.5)等于_____

　　5.已知函數f(x)對任意實(shí)數x,都有f(x＋m)＝－f(x),求證:2m是f(x)的一個(gè)周期.

　　6、已知函數f(x)對任意實(shí)數x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函數,

　　求證:2m是f(x)的一個(gè)周期.

　　7、函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(－1)＝3，對任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.

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