《勾股定理》教學(xué)設計范文
一、內容和內容解析
1.內容
勾股定理的探究、證明及簡(jiǎn)單應用.
2.內容解析
勾股定理的內容是：如果直角三角形的兩條直角邊長(cháng)分別為a、b，斜邊長(cháng)為c，那么
.它揭示了直角三角形三邊之間的數量關(guān)系.在直角三角形中，已知任意兩邊長(cháng)，就可以求出第三邊長(cháng).勾股定理常用來(lái)求解線(xiàn)段長(cháng)度或距離問(wèn)題.
勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網(wǎng)格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，體現了從特殊到一般的探探索、發(fā)現和證明的過(guò)程.證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補法求以斜邊為邊長(cháng)的正方形的面積，教學(xué)中要注意引導學(xué)生通過(guò)探索去發(fā)現圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得定理的證明.
我國古代在數學(xué)方面又許多杰出的研究成果，對于勾股定理的研究就是一個(gè)突出的例子.教學(xué)中可以介紹我國古代在勾股定理的證明和應用方面取得的成就和作出的貢獻，以培養學(xué)生的民族自豪感;圍繞證明勾股定理的過(guò)程，培養學(xué)生學(xué)習數學(xué)的熱情和信心.
基于以上分析，確定本節課的教學(xué)重點(diǎn)：探索并證明勾股定理.
二、目標和目標解析
1.教學(xué)目標
(1)經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程.了解關(guān)于勾股定理的文化歷史背景，通過(guò)對我國古代研究勾股定理的成就的介紹，培養學(xué)生的民族自豪感.
(2)能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.
2.目標解析
(1)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察直角三角形的三邊為邊長(cháng)的正方形面積之間的關(guān)系，歸納并合理地用數學(xué)語(yǔ)言表示勾股定理的結論.理解趙爽弦圖的意義及其證明勾股定理的思路，能通過(guò)割補法構造圖形證明勾股定理.了解勾股定理相關(guān)的史料，知道我國古代在研究勾股定理上的杰出成就.
(2)學(xué)生能運用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計算，關(guān)鍵是已知直角三角形的兩邊長(cháng)能求第三條邊的長(cháng)度.
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個(gè)特殊的結論.在正方形網(wǎng)格中比較容易發(fā)現以等腰直角三角形三邊為邊長(cháng)的正方形的面積關(guān)系，進(jìn)而得出三邊之間的關(guān)系.但要從等腰直角三角形過(guò)渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，學(xué)生有較大困難.學(xué)生第一次嘗試用構造圖形的方法來(lái)證明定理存在較大的困難，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要想到用合理的割補方法求以斜邊為邊的正方形的面積.因此，在教學(xué)中需要先引導學(xué)生觀(guān)察網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，然后思考沒(méi)有網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，再將這種關(guān)系表示成邊長(cháng)之間的關(guān)系，這有利于學(xué)生自然合理地發(fā)現和證明勾股定理.
本節課的教學(xué)難點(diǎn)是：勾股定理的探究和證明.
四、教學(xué)過(guò)程設計
1. 創(chuàng )設情境 復習引入
國際數學(xué)家大會(huì )是最高水平的全球性數學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會(huì )議，被譽(yù)為數學(xué)界的“奧運會(huì )”.2002年在北京召開(kāi)了第24屆國際數學(xué)家大會(huì ).右圖就是大會(huì )會(huì )徽的圖案.你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎?它由哪些我們學(xué)過(guò)的基本圖形組成?這個(gè)圖案有什么特別的意義?前面我們學(xué)習了有關(guān)三角形的知識，我們知道，三角形有三個(gè)角和三條邊.
問(wèn)題1 三個(gè)角的數量關(guān)系明確嗎?三條邊的數量關(guān)系明確嗎?
師生活動(dòng) 教師引導，學(xué)生回答。
【設計意圖】回顧三角形的內角和是180°以及三角形任何兩邊的和大于第三邊，由三角形三邊的不等關(guān)系引導學(xué)生思考，三角形三邊之間是否存在等量關(guān)系.
我們學(xué)習過(guò)等腰三角形，知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形，它有許多特殊的性質(zhì).研究特例是數學(xué)研究的一個(gè)方向，直角三角形是有一個(gè)角為直角的特殊三角形，中國古代人把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾”，較長(cháng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”.
直角三角形中最長(cháng)的邊是哪條邊?為什么?它們除了大小關(guān)系，有沒(méi)有更具體的數量關(guān)系呢?這就是我們要研究的問(wèn)題.
2.觀(guān)察思考，探究定理
問(wèn)題2 相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家作客，發(fā)現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數量關(guān)系.三個(gè)正方形A，B，C的面積有什么關(guān)系?
畢達哥拉斯(公元前572---前492年),古希臘著(zhù)名的哲學(xué)家、數學(xué)家、天文學(xué)家。
師生活動(dòng) 學(xué)生觀(guān)察圖形，分析、思考其中隱含的規律.通過(guò)直接數等腰直角三角形的個(gè)數，或者用割補的方法將小正方形A，B中的等腰直角三角形補成一個(gè)大正方形，得出結論：小正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積.
追問(wèn) 由這三個(gè)正方形A，B，C的邊長(cháng)構成的等腰直角三角形三條邊長(cháng)之間有怎樣的特殊關(guān)系?
師生活動(dòng) 教師引導學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(cháng)的平方，歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
【設計意圖】從最特殊的直角三角形入手，通過(guò)觀(guān)察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系，對等腰直角三角形邊長(cháng)關(guān)系進(jìn)行初步的一般化.
問(wèn)題3 在網(wǎng)格中的一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(cháng)的三個(gè)正方形A，B，C的面積是否也有類(lèi)似的關(guān)系?
師生活動(dòng) 學(xué)生動(dòng)手計算，分別求出A，B，C的面積并尋求它們之間的關(guān)系.
追問(wèn) 正方形A，B，C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的關(guān)系?
師生活動(dòng) 學(xué)生獨立思考后分組討論，難點(diǎn)是求以斜邊為邊長(cháng)的正方形面積，可由師生共同總結得出可以通過(guò)割、補兩種方法求出其面積，教師在學(xué)生回答的基礎上歸納方法---割補法.可求得C的面積為13，教師引導學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(cháng)的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
【設計意圖】為方便計算，網(wǎng)格中的直角三角形邊長(cháng)通常設定為整數，進(jìn)一步體會(huì )面積割補法，為探究無(wú)網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎，提供方法.
問(wèn)題4 通過(guò)前面的探究活動(dòng)，思考：直角三角形三邊之間應該有什么關(guān)系?
師生活動(dòng) 教師引導學(xué)生表述：如果直角三角形兩直角邊長(cháng)分別為，，斜邊長(cháng)為，那么
【設計意圖】在網(wǎng)格背景下通過(guò)觀(guān)察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三邊關(guān)系后，猜想直角三角形的三邊關(guān)系是很容易的.
問(wèn)題5 以上直角三角形的邊長(cháng)都是具體的數值，一般情況下，如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊長(cháng)為c，我們的猜想仍然成立嗎?
師生活動(dòng) 要求學(xué)生通過(guò)獨立思考，用a，b表示c.如圖，用“割”的方法可得;用“補”的方法可得.這兩個(gè)式子經(jīng)過(guò)整理都可以得到即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.中國人稱(chēng)它為“勾股定理”，外國人稱(chēng)它為“畢達哥拉斯定理”.
【設計意圖】從網(wǎng)格驗證到脫離網(wǎng)格，通過(guò)割補構造圖形和計算推導出一般結論.
問(wèn)題6 歷史上各國對勾股定理都有研究，下面我們看看我國古代的數學(xué)家趙爽對勾股定理的研究，并通過(guò)小組合作完成教科書(shū)拼圖法證明勾股定理.
師生活動(dòng) 教師展示“弦圖”，并介紹：這個(gè)圖案是公元3世紀三國時(shí)期的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為“趙爽弦圖”，趙爽根據此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中間部分是一個(gè)小正方形(黃實(shí)).我們剛才用割的方法證明使用的就是這個(gè)圖形，教師介紹勾股定理相關(guān)史料，勾股定理的證明方法據說(shuō)有400多種，有興趣的同學(xué)可以搜集研究一下.
【設計意圖】通過(guò)拼圖活動(dòng)，調動(dòng)學(xué)生思維的積極性，為學(xué)生提供從事數學(xué)活動(dòng)的機會(huì )，發(fā)展學(xué)生的形象思維，使學(xué)生對定理的理解更加深刻，體會(huì )數學(xué)中數形結合的思想.通過(guò)對趙爽弦圖的介紹，了解我國古代數學(xué)家對勾股定理的發(fā)現及證明所做出的貢獻，增強民族自豪感，通過(guò)了解勾股定理的證明方法，增強學(xué)生學(xué)習數學(xué)的自信心.
3.初步應用，鞏固新知
例1 畫(huà)一個(gè)直角三角形
，
，它的兩直角邊分別是
，量一量它的斜邊
是多少厘米?算一算，你量的結果對嗎?
師生活動(dòng) 學(xué)生操作，教師個(gè)別指導.
【設計意圖】通過(guò)運算，培養學(xué)生的運算能力并正確運用勾股定理解決直角三角形的邊長(cháng)問(wèn)題.通過(guò)測量進(jìn)一步驗證勾股定理所得結論的正確性.
例2 在直角三角形中，各邊的長(cháng)如圖，求出未知邊的長(cháng)度.
師生活動(dòng) 學(xué)生計算，教師檢驗.
【設計意圖】勾股定理是通過(guò)構造圖形法通過(guò)面積關(guān)系進(jìn)行證明的.所以勾股定理本質(zhì)上是反映面積關(guān)系的.如果直角三角形的兩條直角邊長(cháng)分別為
，
，斜邊長(cháng)為
，那么
.通過(guò)對等式變形，可以得出直角三角形三邊之間的關(guān)系：
;
;
.在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應用勾股定理求解，也可建立方程解決問(wèn)題，滲透方程思想.
例3 螞蟻沿圖中的折線(xiàn)從A點(diǎn)爬到D點(diǎn)，一共爬了多少厘米?
師生活動(dòng) 學(xué)生觀(guān)察、思考、計算，教師檢驗.
【設計意圖】設計實(shí)際問(wèn)題背景，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
4.歸納小結，反思提高
師生共同回顧本節課所學(xué)主要內容，并請學(xué)生回答以下問(wèn)題：
(1)勾股定理總結的是什么數量關(guān)系?
(2)勾股定理有什么作用?
(3)閱讀教科書(shū)，總結教科書(shū)提供的勾股定理的其他證明方法.了解中國人的偉大和外國人的智慧.
【設計意圖】讓學(xué)生從不同角度談本節課學(xué)習的主要內容，在學(xué)習過(guò)程中感受到中國數學(xué)文化博大精深和數學(xué)的美，感悟數形結合的思想，增強對數學(xué)學(xué)習的自信.
5.布置作業(yè)
(1)教科書(shū)第28頁(yè)第1題;
(2)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)收集定理的多種證法.自主探究定理的證明.
五、目標檢測設計
1.直角三角形的周長(cháng)為12，斜邊長(cháng)為5，其面積為( )
A.12 B.10 C.8 D.6
【設計意圖】勾股定理的簡(jiǎn)單計算，結合三角形的周長(cháng)和面積知識進(jìn)行求解.
2.等邊三角形的高是h，則它的面積是( )
A.
B.
C.
D.
【設計意圖】勾股定理的應用和三角形的面積公式.
3.直角三角形
中，
，
，求
和
.
【設計意圖】考查學(xué)生運用勾股定理的能力.
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