張齊華的《交換律》教學(xué)實(shí)錄

張齊華的《交換律》教學(xué)實(shí)錄

　　交換律是被普遍使用的一個(gè)數學(xué)名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。 下面是小編為你帶來(lái)的張齊華的《交換律》教學(xué)實(shí)錄 ，歡迎閱讀。

　　師：喜歡聽(tīng)故事嗎？

　　生：喜歡。

　　師：那就給大家講一個(gè)“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽(tīng)完故事，想說(shuō)些什么嗎？

　　結合學(xué)生發(fā)言，教師板書(shū)：3+4=4+3。

　　師：觀(guān)察這一等式，你有什么發(fā)現？

　　生1：我發(fā)現，交換兩個(gè)加數的位置和不變。

　　(教師板書(shū)這句話(huà))

　　師：其他同學(xué)呢？(見(jiàn)沒(méi)有補充)老師的發(fā)現和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說(shuō)些什么？

　　生2：我覺(jué)得您(老師)給出的結論只代表了一個(gè)特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。

　　生3：我也同意他(生2)的觀(guān)點(diǎn)，但我覺(jué)得單就黑板上的這一個(gè)式子，就得出“交換兩個(gè)加數的位置和不變”好像不太好。萬(wàn)一其它兩個(gè)數相加的時(shí)候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺(jué)得您的觀(guān)點(diǎn)更準確、更科學(xué)一些。

　　師：的確，僅憑一個(gè)特例就得出“交換兩個(gè)加數的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點(diǎn)。但我們不妨把這一結論當作一個(gè)猜想(教師隨即將生1給出的結論中的“�！备臑椤�？”)。既然是猜想，那么我們還得——

　　生：驗證。

　　驗證猜想，需要怎樣的例子？

　　師：怎么驗證呢？

　　生1：我覺(jué)得可以再舉一些這樣的例子？

　　師：怎樣的例子，能否具體說(shuō)說(shuō)？

　　生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數的位置，看看和是不是跟原來(lái)一樣。（學(xué)生普遍認可這一想法）

　　師：那你們覺(jué)得需要舉多少個(gè)這樣的例子呢？

　　生2：五、六個(gè)吧。

　　生3：至少要十個(gè)以上。

　　生4：我覺(jué)得應該舉無(wú)數個(gè)例子才行。不然，你永遠沒(méi)有說(shuō)服力。萬(wàn)一你沒(méi)有舉到的例子中，正好有一個(gè)加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點(diǎn)頭贊同）

　　生5：我反對！舉無(wú)數個(gè)例子是不可能的，那得舉到什么時(shí)候才好？如果每次驗證都需要這樣的話(huà)，那我們永遠都別想得到結論！

　　師：我個(gè)人贊同你（生5）的觀(guān)點(diǎn)，但覺(jué)得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀(guān)點(diǎn)，我覺(jué)得是不是可以這樣，我們每人都來(lái)舉三、四個(gè)例子，全班合起來(lái)那就多了。同時(shí)大家也留心一下，看能不能找到“交換加數位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時(shí)告訴大家行嗎？

　　學(xué)生一致贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。

　　師：正式交流前，老師想給大家展示同學(xué)們在剛才舉例過(guò)程中出現的兩種不同的情況。

　�。ń處熣故救缦聝煞N情況：1．先寫(xiě)出12＋23和23＋12，計算后，再在兩個(gè)算式之間添上“＝”。2．不計算，直接從左往右依次寫(xiě)下“12＋23＝23＋12”。）

　　師：比較兩種舉例的情況，想說(shuō)些什么？

　　生6：我覺(jué)得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒(méi)算，就直接將等號寫(xiě)上去了。這叫不負責任。（生笑）

　　生7：我覺(jué)得舉例的目的就是為了看看交換兩個(gè)加數的位置和到底等不等，但這位同學(xué)只是照樣子寫(xiě)了一個(gè)等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒(méi)想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。

　�。ù蠹覍ι�6、生7的發(fā)言表示贊同。）

　　師：哪些同學(xué)是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？

　�。◣孜煌瑢W(xué)不好意思地舉起了手。）

　　師：明白問(wèn)題出在哪兒了嗎？（生點(diǎn)頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會(huì )，迅速看看你們寫(xiě)出的算式，左右兩邊是不是真的相等。

　　師：其余同學(xué)，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現？

　　生8：我舉了三個(gè)例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來(lái)看，交換兩個(gè)加數的位置和不變。

　　生9：我也舉了三個(gè)例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺(jué)得，交換兩個(gè)加數的位置和不變。

　�。ㄗⅲ菏聦�(shí)上，選生8、生9進(jìn)行交流，是教師有意而為之。）

　　師：兩位同學(xué)舉的例子略有不同，一個(gè)全是一位數加一位數，另一個(gè)則有一位數加一位數、二位數加兩位數、三位數加三位數。比較而言，你更欣賞誰(shuí)？

　　生10：我更欣賞第一位同學(xué)，他舉的例子很簡(jiǎn)單，一看就明白。

　　生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數加一位數，那么我們最多只能說(shuō)，交換兩個(gè)一位數的位置和不變。至于加數是兩位數、三位數、四位數等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學(xué)的。

　　生12：我也更喜歡第二位同學(xué)的，她舉的例子更全面。我覺(jué)得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。

　�。ǘ鄶祵W(xué)生表示贊同。）

　　師：如果這樣的話(huà)，那你們覺(jué)得下面這位同學(xué)的舉例，又給了你哪些新的啟迪？

　　教師出示作業(yè)紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。

　　生：我們在舉例時(shí)，都沒(méi)考慮到0的問(wèn)題，但他考慮到了。

　　生：他還舉到了分數的例子，讓我明白了，不但交換兩個(gè)整數的位置和不變，交換兩個(gè)分數的位置和也不變。

　　師：沒(méi)錯，因為我們不只是要說(shuō)明“交換兩個(gè)整數的位置和不變”，而是要說(shuō)明，交換——

　　生：任意兩個(gè)加數的位置和不變。

　　師：看來(lái)，舉例驗證猜想，還有不少的學(xué)問(wèn)�，F在，有了這么多例子，能得出“交換兩個(gè)加數的位置和不變”這個(gè)結論了嗎？（學(xué)生均表示認同）有沒(méi)有誰(shuí)舉例時(shí)發(fā)現了反面的例子，也就是交換兩個(gè)加數位置和變了？（學(xué)生搖頭）這樣看來(lái)，我們能驗證剛才的猜想嗎？

　　生：能。

　�。ń處熤匦聦ⅰ�？”改成“�！�，并補充成為：“在加法中，交換兩個(gè)加數的位置和不變�！保�

　　師：回顧剛才的學(xué)習，除了得到這一結論外，你還有什么其它收獲？

　　生：我發(fā)現，只舉一、兩個(gè)例子，是沒(méi)法驗證某個(gè)猜想的，應該多舉一些例子才行。

　　生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。

　　師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進(jìn)而形成猜想。隨后，又通過(guò)舉例，驗證了猜想，得到了這一規律。該給這一規律起什么名稱(chēng)呢？

　�。▽W(xué)生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書(shū)。）

　　師：在這一規律中，變化的是兩個(gè)加數的――（板書(shū)：變）

　　生：位置。

　　師：但不變的是――

　　生：它們的和。（板書(shū)：不變）

　　師：原來(lái)，“變”和“不變”有時(shí)也能這樣巧妙地結合在一起。

　　結論，是終點(diǎn)還是新的起點(diǎn)？

　　師：從個(gè)別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結論的方法。但有時(shí)，從已有的結論中通過(guò)適當變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結論。比如（教師指讀剛才的結論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個(gè)加數的位置和不變�！蹦敲�，在——

　　生1：（似有所悟）減法中，交換兩個(gè)數的位置，差會(huì )不會(huì )也不變呢？

　�。▽W(xué)生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會(huì )變�！保�

　　師：不急于發(fā)表意見(jiàn)。這是他（生1）通過(guò)聯(lián)想給出的猜想。

　�。ń處熾S即板書(shū)：“猜想一：減法中，交換兩個(gè)數的位置差不變？”）

　　生2：同樣，乘法中，交換兩個(gè)乘數的位置積會(huì )不會(huì )也不變？

　�。ń處煱鍟�(shū)：“猜想二：乘法中，交換兩個(gè)數的位置積不變？”）

　　生3：除法中，交換兩個(gè)數的位置商會(huì )不變嗎？

　�。ń處煱鍟�(shū)：“猜想三：除法中，交換兩個(gè)數的位置商不變？”）

　　師：通過(guò)聯(lián)想，同學(xué)們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價(jià)值的思考。除此以外，還能通過(guò)其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？

　　生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個(gè)加數”換成“三個(gè)加數”、“四個(gè)加數”或更多個(gè)加數，不知道和還會(huì )不會(huì )不變？

　　師：這是一個(gè)與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書(shū)“猜想四：在加法中，交換幾個(gè)加數的位置和不變？”)現在，同學(xué)們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個(gè)，用合適的方法試著(zhù)進(jìn)行驗證。

　�。▽W(xué)生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時(shí)給予必要的指導。然后全班交流。）師：哪些同學(xué)選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？

　　生5：我舉了兩個(gè)例子，結果發(fā)現8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個(gè)數的位置差會(huì )變的，也就是減法中沒(méi)有交換律。

　　師：根據他舉的例子，你們覺(jué)得他得出的結論有道理嗎？

　　生：有。

　　師：但老師舉的例子中，交換兩數位置，差明明沒(méi)變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數的位置后，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著(zhù)呢。

　　生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數和減數不一樣，那就不行了。

　　生7：我還有補充，我只舉了一個(gè)例子，2－1≠1－2，我就沒(méi)有繼續往下再舉例。 師：哪又是為什么呢？

　　生7：因為我覺(jué)得，只要有一個(gè)例子不符合猜想，那猜想肯就錯了。

　　師：同學(xué)們怎么理解他的觀(guān)點(diǎn)。

　　生8：（略。）

　　生9：我突然發(fā)現，要想說(shuō)明某個(gè)猜想是對的，我們必須舉好多例子來(lái)證明，但要想說(shuō)明某個(gè)猜想是錯的，只要舉出一個(gè)不符合的例子就可以了。

　　師：瞧，多深刻的認識！事實(shí)上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數學(xué)上我們就稱(chēng)作“正例”，至于不符合猜想的例子，數學(xué)上我們就稱(chēng)作――

　　生：反例。

　�。ㄓ新�。）

　　師：關(guān)于其它幾個(gè)猜想，你們又有怎樣的發(fā)現？

　　生10：我研究的是乘法。通過(guò)舉例，我發(fā)現乘法中交換兩數的位置積也不變。

　　師：能給大家說(shuō)說(shuō)你舉的例子嗎？

　　生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。

　�。�另有數名同學(xué)交流自己舉的例子，都局限在整數范圍內。）

　　師：那你們都得出了怎樣的結論？

　　生11：在乘法中，交換兩數的位置積不變。

　　生12：我想補充。應該是，在整數乘法中，交換兩數的位置積不變，這樣說(shuō)更保險一些。

　　師：你的思考很?chē)烂�。在目前的學(xué)習范圍內，我們暫且先得出這樣的結論吧，等學(xué)完分數乘法、小數乘法后，再補充舉些例子試試，到時(shí)候，我們再來(lái)完善這一結論，你們看行嗎？

　�。▽Σ孪肴�、四的討論略。）

　　隨后，教師引導學(xué)生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實(shí)際問(wèn)題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯(lián)系。

　　怎樣的收獲更有價(jià)值？

　　師：通過(guò)今天的學(xué)習，你有哪些收獲？

　　生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒(méi)有減法交換律或除法交換律。

　　生：我發(fā)現，有了猜想，還需要舉許多例子來(lái)驗證，這樣得出的結論才準確。

　　生：我還發(fā)現，只要能舉出一個(gè)反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。

　　生：舉例驗證時(shí)，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結論才更可靠。

　　師：只有一個(gè)例子，行嗎？

　　生：不行，萬(wàn)一遇到特殊情況就不好了。

　�。ㄗ鳛檠a充，教師給學(xué)生介紹了如下故事：三位學(xué)者由倫敦去蘇格蘭參加會(huì )議，越過(guò)邊境不久，發(fā)現了一只黑羊�！罢嬗幸馑�，”天文學(xué)家說(shuō)：“蘇格蘭的羊都是黑的�！薄安粚Π��！蔽锢韺W(xué)家說(shuō)，“我們只能得出這樣的結論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的�！睌祵W(xué)家馬上接著(zhù)說(shuō)：“我覺(jué)得下面的結論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個(gè)地方，有至少一只羊，它是黑色的�！保�

　　必要的拓展：讓結論增殖！

　　師：在本課即將結束的時(shí)候，依然有一些問(wèn)題需要留給大家進(jìn)一步展開(kāi)思考。

　�。ń處煶鍪救缦滤闶剑�20－8－6○20－6－8 ; 60÷2÷3○60÷3÷2）

　　師：觀(guān)察這兩組算式，你發(fā)現什么變化了嗎？

　　生：我發(fā)現，第一組算式中，兩個(gè)減數交換了位置，第二組算式中，兩個(gè)除數也交換了位置。

　　師：交換兩個(gè)減數或除數，結果又會(huì )怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過(guò)進(jìn)一步的舉例驗證猜想并得出結論嗎？這些結論和我們今天得出的結論有沖突嗎，又該如何去認識？

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