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導數基本知識點(diǎn)總結
上學(xué)期間，大家最不陌生的就是知識點(diǎn)吧！知識點(diǎn)也不一定都是文字，數學(xué)的知識點(diǎn)除了定義，同樣重要的公式也可以理解為知識點(diǎn)。為了幫助大家更高效的學(xué)習，下面是小編為大家整理的導數基本知識點(diǎn)總結，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
導數基本知識點(diǎn)總結1
一、函數的單調性
在(a，b)內可導函數f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區間內都不恒等于0.
f′(x)≥0f(x)在(a，b)上為增函數.
f′(x)≤0f(x)在(a，b)上為減函數.
二、函數的極值
1、函數的極小值：
函數y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其它點(diǎn)的函數值都小，f′(a)=0，而且在點(diǎn)x=a附近的左側f(wàn)′(x)<0，右側f(wàn)′(x)>0，則點(diǎn)a叫做函數y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數y=f(x)的極小值.
2、函數的極大值：
函數y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近的其他點(diǎn)的函數值都大，f′(b)=0，而且在點(diǎn)x=b附近的左側f(wàn)′(x)>0，右側f(wàn)′(x)<0，則點(diǎn)b叫做函數y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數y=f(x)的極大值.
極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值和極小值統稱(chēng)為極值.
三、函數的最值
1、在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.
2、若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值.
四、求可導函數單調區間的一般步驟和方法
1、確定函數f(x)的定義域；
2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定義域內的一切實(shí)數根；
3、把函數f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標和上面的各實(shí)數根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數f(x)的定義區間分成若干個(gè)小區間；
4、確定f′(x)在各個(gè)開(kāi)區間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個(gè)相應小開(kāi)區間內的增減性.
五、求函數極值的步驟
1、確定函數的定義域；
2、求方程f′(x)=0的根；
3、用方程f′(x)=0的根順次將函數的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區間，并形成表格；
4、由f′(x)=0根的.兩側導數的符號來(lái)判斷f′(x)在這個(gè)根處取極值的情況.
六、求函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟
1、求函數在(a，b)內的極值；
2、求函數在區間端點(diǎn)的函數值f(a)，f(b)；
3、將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.
特別提醒：
1、f′(x)>0與f(x)為增函數的關(guān)系：f′(x)>0能推出f(x)為增函數，但反之不一定.如函數f(x)=x3在(-∞，+∞)上單調遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數的充分不必要條件.
2、可導函數的極值點(diǎn)必須是導數為0的點(diǎn)，但導數為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即f′(x0)=0是可導函數f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.例如函數y=x3在x=0處有y′|x=0=0，但x=0不是極值點(diǎn).此外，函數不可導的點(diǎn)也可能是函數的極值點(diǎn).
3、可導函數的極值表示函數在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對函數值的比較；函數的最值是表示函數在一個(gè)區間上的情況，是對函數在整個(gè)區間上的函數值的比較。
導數基本知識點(diǎn)總結2
一、早期導數概念
特殊的形式大約在1629年法國數學(xué)家費馬研究了作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和求函數極值的方法1637年左右他寫(xiě)一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線(xiàn)時(shí)他構造了差分f(A+E)-f(A),發(fā)現的因子E就是我們所說(shuō)的導數f(A)。
二、17世紀廣泛使用的“流數術(shù)”17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展在前人創(chuàng )造性研究的`基礎上大數學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開(kāi)始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱(chēng)為“流數術(shù)”他稱(chēng)變量為流量稱(chēng)變量的變化率為流數相當于我們所說(shuō)的導數。牛頓的有關(guān)“流數術(shù)”的主要著(zhù)作是《求曲邊形面積》、《運用無(wú)窮多項方程的計算法》和《流數術(shù)和無(wú)窮級數》流數理論的實(shí)質(zhì)概括為他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數的變化的比的構成最在于決定這個(gè)比當變化趨于零時(shí)的極限。
三、19世紀導數逐漸成熟的理論1750年達朗貝爾在為法國科學(xué)家院出版的《百科全書(shū)》第五版寫(xiě)的“微分”條目中提出了關(guān)于導數的一種觀(guān)點(diǎn)可以用現代符號簡(jiǎn)單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無(wú)窮小分析概論》中定義導數如果函數y=f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值那么是使變量得到一個(gè)無(wú)窮小增量。19世紀60年代以后魏爾斯特拉斯創(chuàng )造了ε-δ語(yǔ)言對微積分中出現的各種類(lèi)型的極限重加表達導數的定義也就獲得了今天常見(jiàn)的形式。
四、實(shí)無(wú)限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能 微積分學(xué)理論基礎大體可以分為兩個(gè)部分。一個(gè)是實(shí)無(wú)限理論即無(wú)限是一個(gè)具體的東西一種真實(shí)的存在另一種是潛無(wú)限指一種意識形態(tài)上的過(guò)程比如無(wú)限接近。就歷史來(lái)看兩種理論都有一定的道理。其中實(shí)無(wú)限用了150年后來(lái)極限論就是現在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個(gè)物理學(xué)長(cháng)期爭論的問(wèn)題后來(lái)由波粒二象性來(lái)統一。微積分無(wú)論是用現代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。
導數基本知識點(diǎn)總結3
1. 求函數的單調性：
利用導數求函數單調性的基本方法：設函數yf(x)在區間(a,b)內可導：
(1)如果恒f(x)0，則函數yf(x)在區間(a,b)上為增函數；
(2)如果恒f(x)0，則函數yf(x)在區間(a,b)上為減函數；
(3)如果恒f(x)0，則函數yf(x)在區間(a,b)上為常數函數。
利用導數求函數單調性的基本步驟：
�、偾蠛瘮祔f(x)的定義域；
�、谇髮礷(x)；
�、劢獠坏仁絝(x)0，解集在定義域內的不間斷區間為增區間；
�、芙獠坏仁絝(x)0，解集在定義域內的不間斷區間為減區間。
反過(guò)來(lái), 也可以利用導數由函數的單調性解決相關(guān)問(wèn)題(如確定參數的取值范圍)： 設函數yf(x)在區間(a,b)內可導：
(1)如果函數yf(x)在區間(a,b)上為增函數,則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構成區間)；
(2) 如果函數yf(x)在區間(a,b)上為減函數,則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構成區間)；
(3) 如果函數yf(x)在區間(a,b)上為常數函數,則f(x)0恒成立。
2. 求函數的極值：
設函數yf(x)在x0及其附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，則稱(chēng)f(x0)是函數f(x)的極小值(或極大值)。
可導函數的極值，可通過(guò)研究函數的單調性求得，基本步驟是：
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)求導數f(x)；
(3)求方程f(x)0的全部實(shí)根，x1x2xn，順次將定義域分成若干個(gè)小區間，并列表：x變化時(shí)，f(x)和f(x)值的`
變化情況：
(4)檢查f(x)的符號并由表格判斷極值。
3. 求函數的最大值與最小值：
如果函數f(x)在定義域I內存在x0，使得對任意的xI，總有f(x)f(x0)，則稱(chēng)f(x0)為函數在定義域上的最大值。函數在定義域內的極值不一定唯一，但在定義域內的最值是唯一的。
求函數f(x)在區間[a,b]上的最大值和最小值的步驟：
(1)求f(x)在區間(a,b)上的極值；
(2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較，得到f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值。
4. 解決不等式的有關(guān)問(wèn)題：
(1)不等式恒成立問(wèn)題(絕對不等式問(wèn)題)可考慮值域。
f(x)(xA)的值域是[a,b]時(shí)，
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)max0，即b0；
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)min0，即a0。
f(x)(xA)的值域是(a,b)時(shí)，
不等式f(x)0恒成立的充要條件是b0； 不等式f(x)0恒成立的充要條件是a0。
(2)證明不等式f(x)0可轉化為證明f(x)max0，或利用函數f(x)的單調性，轉化為證明f(x)f(x0)0。
5. 導數在實(shí)際生活中的應用：
實(shí)際生活求解最大(小)值問(wèn)題，通常都可轉化為函數的最值. 在利用導數來(lái)求函數最值時(shí)，一定要注意，極值點(diǎn)唯一的單峰函數，極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，在解題時(shí)要加以說(shuō)明。
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一、求導數的方法
(1)基本求導公式
(2)導數的四則運算
(3)復合函數的導數
設在點(diǎn)x處可導，y=在點(diǎn)處可導，則復合函數在點(diǎn)x處可導，且即
二、關(guān)于極限
1、數列的極限：
粗略地說(shuō)，就是當數列的項n無(wú)限增大時(shí)，數列的項無(wú)限趨向于A(yíng)，這就是數列極限的描述性定義。記作：=A。如：
2、函數的極限：
當自變量x無(wú)限趨近于常數時(shí)，如果函數無(wú)限趨近于一個(gè)常數，就說(shuō)當x趨近于時(shí)，函數的極限是,記作
三、導數的概念
1、在處的導數.
2、在的導數.
3、函數在點(diǎn)處的導數的幾何意義：
函數在點(diǎn)處的導數是曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，
即k=，相應的切線(xiàn)方程是
注：函數的導函數在時(shí)的函數值，就是在處的導數。
例、若=2，則=()A-1B-2C1D
四、導數的綜合運用
(一)曲線(xiàn)的切線(xiàn)
函數y=f(x)在點(diǎn)處的.導數，就是曲線(xiàn)y=(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率.由此，可以利用導數求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程.具體求法分兩步：
(1)求出函數y=f(x)在點(diǎn)處的導數，即曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率k=；
(2)在已知切點(diǎn)坐標和切線(xiàn)斜率的條件下，求得切線(xiàn)方程為_(kāi)。
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