高中數學(xué)導數解題技巧和資料

高中數學(xué)導數解題技巧和必備資料

高中數學(xué)導數解題技巧和必備資料1

　　1、導數的定義：在點(diǎn)處的導數記作。

　　2、導數的幾何物理意義：曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率①k=f/（x0）表示過(guò)曲線(xiàn)y=f（x）上P（x0，f（x0））切線(xiàn)斜率。V=s/（t）表示即時(shí)速度。a=v/（t）表示加速度。

　　3、常見(jiàn)函數的導數公式：①；②；③；⑤；⑥；⑦；⑧。

　　4、導數的四則運算法則：

　　5、導數的應用：

　�。�1）利用導數判斷函數的單調性：設函數在某個(gè)區間內可導，如果，那么為增函數；如果，那么為減函數；

　　注意：如果已知為減函數求字母取值范圍，那么不等式恒成立。

　�。�2）求極值的步驟：

　�、偾髮�數；

　�、谇蠓匠痰母�；

　�、哿斜恚簷z驗在方程根的左右的符號，如果左正右負，那么函數在這個(gè)根處取得極大值；如果左負右正，那么函數在這個(gè)根處取得極小值；

　�。�3）求可導函數值與最小值的步驟：

　�、∏蟮腵根；ⅱ把根與區間端點(diǎn)函數值比較，的為值，最小的是最小值。

　　導數與物理，幾何，代數關(guān)系密切：在幾何中可求切線(xiàn)；在代數中可求瞬時(shí)變化率；在物理中可求速度、加速度。學(xué)好導數至關(guān)重要，一起來(lái)學(xué)習高二數學(xué)導數的定義知識點(diǎn)歸納吧！

　　導數是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f（x）的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

　　導數是函數的局部性質(zhì)。一個(gè)函數在某一點(diǎn)的導數描述了這個(gè)函數在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實(shí)數的話(huà)，函數在某一點(diǎn)的導數就是該函數所代表的曲線(xiàn)在這一點(diǎn)上的切線(xiàn)斜率。導數的本質(zhì)是通過(guò)極限的概念對函數進(jìn)行局部的線(xiàn)性逼近。例如在運動(dòng)學(xué)中，物體的位移對于時(shí)間的導數就是物體的瞬時(shí)速度。

　　不是所有的函數都有導數，一個(gè)函數也不一定在所有的點(diǎn)上都有導數。若某函數在某一點(diǎn)導數存在，則稱(chēng)其在這一點(diǎn)可導，否則稱(chēng)為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。

　　對于可導的函數f（x），xf'（x）也是一個(gè)函數，稱(chēng)作f（x）的導函數。尋找已知的函數在某點(diǎn)的導數或其導函數的過(guò)程稱(chēng)為求導。實(shí)質(zhì)上，求導就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導數的四則運算法則也來(lái)源于極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以倒過(guò)來(lái)求原來(lái)的函數，即不定積分。微積分基本定理說(shuō)明了求原函數與積分是等價(jià)的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎的概念。

　　設函數y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，（x0+Δx）也在該鄰域內時(shí)，相應地函數取得增量Δy=f（x0+Δx）—f（x0）；如果Δy與Δx之比當Δx→0時(shí)極限存在，則稱(chēng)函數y=f（x）在點(diǎn)x0處可導，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數y=f（x）在點(diǎn)x0處的導數記為f'（x0），也記作y'│x=x0或dy/dx│x=x0

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　　一、專(zhuān)題綜述

　　導數是微積分的初步知識，是研究函數，解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。在高中階段對于導數的學(xué)習，主要是以下幾個(gè)方面：

　　1、導數的`常規問(wèn)題：

　�。�1）刻畫(huà)函數（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線(xiàn)聯(lián)系（導數方法可用于研究平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)）；（3）應用問(wèn)題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡(jiǎn)便）等偉德國際次多項式的導數問(wèn)題屬于較難類(lèi)型。

　　2、偉德國際函數特征，最值問(wèn)題較多，所以有必要專(zhuān)項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。

　　3、導數與解析幾何或函數圖象的混合問(wèn)題是一種重要類(lèi)型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應引起注意。

　　二、知識整合

　　1、導數概念的理解。

　　2、利用導數判別可導函數的極值的方法及求一些實(shí)際問(wèn)題的值與最小值。

　　復合函數的求導法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內容。課本中先通過(guò)實(shí)例，引出復合函數的求導法則，接下來(lái)對法則進(jìn)行了證明。

　　3、要能正確求導，必須做到以下兩點(diǎn)：

　�。�1）熟練掌握各基本初等函數的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數的求導法則。

　�。�2）對于一個(gè)復合函數，一定要理清中間的復合關(guān)系，弄清各分解函數中應對哪個(gè)變量求導。

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　　一、求導數的方法

　�。�1）基本求導公式

　�。�2）導數的四則運算

　�。�3）復合函數的導數

　　設在點(diǎn)x處可導，y=在點(diǎn)處可導，則復合函數在點(diǎn)x處可導，且即

　　二、關(guān)于極限

　　1、數列的極限：

　　粗略地說(shuō)，就是當數列的項n無(wú)限增大時(shí)，數列的項無(wú)限趨向于A(yíng)，這就是數列極限的描述性定義。記作：=A。如：

　　2、函數的極限：

　　當自變量x無(wú)限趨近于常數時(shí)，如果函數無(wú)限趨近于一個(gè)常數，就說(shuō)當x趨近于時(shí)，函數的極限是，記作

　　三、導數的`概念

　　1、在處的導數。

　　2、在的導數。

　　3、函數在點(diǎn)處的導數的幾何意義：

　　函數在點(diǎn)處的導數是曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，

　　即k=，相應的切線(xiàn)方程是

　　注：函數的導函數在時(shí)的函數值，就是在處的導數。

　　例、若=2，則=（）A—1B—2C1D

　　四、導數的綜合運用

　�。ㄒ唬┣�線(xiàn)的切線(xiàn)

　　函數y=f（x）在點(diǎn)處的導數，就是曲線(xiàn)y=（x）在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率。由此，可以利用導數求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程。具體求法分兩步：

　�。�1）求出函數y=f（x）在點(diǎn)處的導數，即曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率k=；

　�。�2）在已知切點(diǎn)坐標和切線(xiàn)斜率的條件下，求得切線(xiàn)方程為_(kāi)。

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　　第一、求函數定義域題忽視細節函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，考生想要在考場(chǎng)上準確求出定義域，就要根據函數解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來(lái)，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數的定義域。在求一般函數定義域時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：分母不為0；偶次被開(kāi)放式非負；真數大于0以及0的0次冪無(wú)意義。函數的定義域是非空的數集，在解答函數定義域類(lèi)的題時(shí)千萬(wàn)別忘了這一點(diǎn)。復合函數要注意外層函數的定義域由內層函數的值域決定。

　　第二、帶絕對值的函數單調性判斷錯誤帶絕對值的函數實(shí)質(zhì)上就是分段函數，判斷分段函數的單調性有兩種方法：第一，在各個(gè)段上根據函數的解析式所表示的函數的單調性求出單調區間，然后對各個(gè)段上的單調區間進(jìn)行整合；第二，畫(huà)出這個(gè)分段函數的圖象，結合函數圖象、性質(zhì)能夠進(jìn)行直觀(guān)的判斷。函數題離不開(kāi)函數圖象，而函數圖象反應了函數的所有性質(zhì)，考生在解答函數題時(shí)，要第一時(shí)間在腦海中畫(huà)出函數圖象，從圖象上分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。對于函數不同的單調遞增（減）區間，千萬(wàn)記住，不要使用并集，指明這幾個(gè)區間是該函數的單調遞增（減）區間即可。

　　第三、求函數奇偶性的常見(jiàn)錯誤求函數奇偶性類(lèi)的題最常見(jiàn)的錯誤有求錯函數定義域或忽視函數定義域，對函數具有奇偶性的前提條件不清，對分段函數奇偶性判斷方法不當等等。判斷函數的奇偶性，首先要考慮函數的'定義域，一個(gè)函數具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數的定義域區間關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，如果不具備這個(gè)條件，函數一定是非奇非偶的函數。在定義域區間關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)的前提下，再根據奇偶函數的定義進(jìn)行判斷。在用定義進(jìn)行判斷時(shí)，要注意自變量在定義域區間內的任意性。

　　第四、抽象函數推理不嚴謹很多抽象函數問(wèn)題都是以抽象出某一類(lèi)函數的共同“特征”而設計的，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，考生可以通過(guò)類(lèi)比這類(lèi)函數中一些具體函數的性質(zhì)去解決抽象函數。多用特殊賦值法，通過(guò)特殊賦可以找到函數的不變性質(zhì)，這往往是問(wèn)題的突破口。抽象函數性質(zhì)的證明屬于代數推理，和幾何推理證明一樣，考生在作答時(shí)要注意推理的嚴謹性。每一步都要有充分的條件，別漏掉條件，更不能臆造條件，推理過(guò)程層次分明，還要注意書(shū)寫(xiě)規范。

　　第五、函數零點(diǎn)定理使用不當若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線(xiàn)，且有f（a）f（b）<>

　　第六、混淆兩類(lèi)切線(xiàn)曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)，這樣的切線(xiàn)只有一條；曲線(xiàn)的過(guò)一個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)是指過(guò)這個(gè)點(diǎn)的曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)如果在曲線(xiàn)上當然包括曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)，曲線(xiàn)的過(guò)一個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)可能不止一條。因此，考生在求解曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，首先要區分是什么類(lèi)型的切線(xiàn)。

　　第七、混淆導數與單調性的關(guān)系一個(gè)函數在某個(gè)區間上是增函數的這類(lèi)題型，如果考生認為函數的導函數在此區間上恒大于0，很容易就會(huì )出錯。解答函數的單調性與其導函數的關(guān)系時(shí)一定要注意，一個(gè)函數的導函數在某個(gè)區間上單調遞增（減）的充要條件是這個(gè)函數的導函數在此區間上恒大（�。┯诘扔�0，且導函數在此區間的任意子區間上都不恒為零。

　　第八、導數與極值關(guān)系不清考生在使用導數求函數極值類(lèi)問(wèn)題時(shí)，容易出現的錯誤就是求出使導函數等于0的點(diǎn)，卻沒(méi)有對這些點(diǎn)左右兩側導函數的符號進(jìn)行判斷，誤以為使導函數等于0的點(diǎn)就是函數的極值點(diǎn)，往往就會(huì )出錯，出錯原因就是考生對導數與極值關(guān)系沒(méi)搞清楚�？蓪Ш瘮翟谝粋�(gè)點(diǎn)處的導函數值為零只是這個(gè)函數在此點(diǎn)處取到極值的必要條件，小編在此提醒廣大考生，在使用導數求函數極值時(shí)，一定要對極值點(diǎn)進(jìn)行仔細檢查。

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