高中數學(xué)必修3知識點(diǎn)總結：第一章 算法初步

高中數學(xué)必修3知識點(diǎn)總結：第一章 算法初步

　　總結就是對一個(gè)時(shí)期的學(xué)習、工作或其完成情況進(jìn)行一次全面系統的回顧和分析的書(shū)面材料，它能幫我們理順知識結構，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，因此好好準備一份總結吧。那么我們該怎么去寫(xiě)總結呢？以下是小編整理的高中數學(xué)必修3知識點(diǎn)總結：第一章 算法初步，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　第一章算法初步

　　1.1.1

　　算法的概念

　　1、算法概念：

　　在數學(xué)上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來(lái)解決的某一類(lèi)問(wèn)題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.2.算法的特點(diǎn):

　�。�1）有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的

　�。�2）確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.

　�。�3）順序性與正確性：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題.

　�。�4）不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法.

　�。�5）普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過(guò)有限、事先設計好的步驟加以解決.

　　1.1.2程序框圖

　　1、程序框圖基本概念：

　�。ㄒ唬┏绦驑媹D的概念：程序框圖又稱(chēng)流程圖，是一種用規定的圖形、指向線(xiàn)及文字說(shuō)明來(lái)準確、直觀(guān)地表示算法的圖形。一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線(xiàn)；程序框外必要文字說(shuō)明。

　�。ǘ�）構成程序框的圖形符號及其作用

　　程序框起止框輸入、輸出框處理框判斷框“Y”；不成立時(shí)標明“否”或“N”。寫(xiě)在不同的用以處理數據的處理框內。判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標明“是”或要輸入、輸出的位置。賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公式等分別表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需名稱(chēng)功能表示一個(gè)算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。

　　學(xué)習這部分知識的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規則，畫(huà)程序框圖的規則如下：

　　1、使用標準的圖形符號。

　　2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫(huà)。

　　3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號。

　　4、判斷框分兩大類(lèi)，一類(lèi)判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結果；另一類(lèi)是多分支判斷，有幾種不同的結果。

　　5、在圖形符號內描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。

　�。ㄈ�）算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構。

　　1、順序結構：順序結構是最簡(jiǎn)單的算法結構，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結構。順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線(xiàn)將程序框自上而下地連接起來(lái)，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接著(zhù)執行B框所指定的操作。

　　2、條件結構：

　　條件結構是指在算法中通過(guò)對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。

　　條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無(wú)論P條件是否成立，只能執行A框或B框之一，不可能同時(shí)執行A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。一個(gè)判斷結構可以有多個(gè)判斷框。

　　3、循環(huán)結構：在一些算法中，經(jīng)常會(huì )出現從某處開(kāi)始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結構，反復執行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結構中一定包含條件結構。循環(huán)結構又稱(chēng)重復結構，循環(huán)結構可細分為兩類(lèi)：（1）一類(lèi)是當型循環(huán)結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時(shí)，執行A框，A框執行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執行A框，如此反復執行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執行A框，離開(kāi)循環(huán)結構。

　�。�2）另一類(lèi)是直到型循環(huán)結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執行A框，離開(kāi)循環(huán)結構。

　　當型循環(huán)結構直到型循環(huán)結構ABAAP不成立構要在某個(gè)條件循環(huán)結構中一定包含條件結構，但不用于記錄循環(huán)次數，累加變量用于輸出結下終止循允許“死循環(huán)”。P注意：1循環(huán)結不成立成立環(huán)，這就需要條件結構來(lái)判斷。因此，成立2在循環(huán)結構中都有一個(gè)計數變量和累加變量。計數變量果。計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次。

　　1.2.1輸入、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句

　　1、輸入語(yǔ)句

　�。�1）輸入語(yǔ)句的一般格式

　　INPUT“提示內容”；變量圖形計算器格式

　�。�2）輸入

　　INPUT“提示內容”，變量語(yǔ)句的作用是實(shí)現算法的輸入信息功能；

　�。�3）“提示內容”提示用戶(hù)輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時(shí)其值是可以變化的量；

　�。�4）輸入語(yǔ)句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函數、變量或表達式；

　�。�5）提示內容與變量之間用分號“；”隔開(kāi)，若輸入多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開(kāi)。

　　2、輸出語(yǔ)句

　�。�1）輸出語(yǔ)句的一般格式輸PRINT“提示內容”；表達式圖形計算器格式Disp“提示內容”，變量

　�。�2）出語(yǔ)

　　句的作用是實(shí)現算法的輸出結果功能；

　�。�3）“提示內容”提示用戶(hù)輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數據；

　�。�4）輸出語(yǔ)句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。

　　3、賦值語(yǔ)句

　�。�1）賦值語(yǔ)句的一般格式

　�。�2）賦值語(yǔ)句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；

　�。�3）賦值語(yǔ)句中的“＝”稱(chēng)作賦值號，與數學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；

　�。�4）賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個(gè)數據、常量或算式；

　�。�5）對于一個(gè)變量可以多次賦值。

　　注意：

　�、儋x值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。

　�、谫x值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。

　�、鄄荒芾�用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數式的演算。（如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等）

　�、苜x值號“=”與數學(xué)中的等號意義不同。1.2.2條件語(yǔ)句

　　1、條件語(yǔ)句的一般格式有兩種：

　�。�1）IFTHENELSE語(yǔ)句；

　�。�2）IFTHEN語(yǔ)句。

　　2、IFTHENELSE語(yǔ)句IFTHENELSE語(yǔ)句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。

　　圖形計算器變量＝表達式格式表達式變量IF條件THEN語(yǔ)句1ELSE語(yǔ)句2ENDIF滿(mǎn)足條件？是語(yǔ)句1否

　　語(yǔ)句2

　　圖1圖2

　　分析：在IFTHENELSE語(yǔ)句中，“條件”表示判斷的條件，“語(yǔ)句1”表示滿(mǎn)足條件時(shí)執行的操作內容；“語(yǔ)句2”表示不滿(mǎn)足條件時(shí)執行的操作內容；ENDIF表示條件語(yǔ)句的結束。計算機在執行時(shí)，首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執行THEN后面的語(yǔ)句1；若條件不符合，則執行ELSE后面的語(yǔ)句2。3、IFTHEN語(yǔ)句

　　IFTHEN語(yǔ)句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。

　　IF條件THEN語(yǔ)句ENDIF（圖3）

　　是滿(mǎn)足條件？否（圖4）語(yǔ)句注意：“條件”表示判斷的條件；“語(yǔ)句”表示滿(mǎn)足條件時(shí)執行的操作

　　內容，條件不滿(mǎn)足時(shí)，結束程序；ENDIF表示條件語(yǔ)句的結束。計算機在執行時(shí)首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執行THEN后邊的語(yǔ)句，若條件不符合則直接結束該條件語(yǔ)句，轉而執行其它語(yǔ)句。

　　1.2.3循環(huán)語(yǔ)句

　　循環(huán)結構是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結構，一般程序設計語(yǔ)言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語(yǔ)句結構。即WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句。1、WHILE語(yǔ)句

　�。�1）WHILE語(yǔ)句的一般格式是對應的程序框圖是

　　循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND滿(mǎn)足條件？否是（2）當計算機遇到WHILE語(yǔ)句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環(huán)體，這個(gè)過(guò)程反復進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計算機將不執行循環(huán)體，直接跳到WEND語(yǔ)句后，接著(zhù)執行WEND之后的語(yǔ)句。因此，當型循環(huán)有時(shí)也稱(chēng)為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語(yǔ)句

　�。�1）UNTIL語(yǔ)句的一般格式是對應的程序框圖是

　�。�2）直到型循環(huán)又稱(chēng)為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結構分析，計算機執行該語(yǔ)句時(shí)，先執行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件循環(huán)體否滿(mǎn)足條件？是

　　條件的判斷，如果條件不滿(mǎn)足，繼續返回執行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過(guò)程反復進(jìn)行，直到某一次條件滿(mǎn)足時(shí)，不再執行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語(yǔ)句后執行其他語(yǔ)句，是先執行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語(yǔ)句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區別：（先由學(xué)生討論再歸納）

　�。�1）當型循環(huán)先判斷后執行，直到型循環(huán)先執行后判斷；在WHILE語(yǔ)句中，是當條件滿(mǎn)足時(shí)執行循環(huán)體，在UNTIL語(yǔ)句中，是當條件不滿(mǎn)足時(shí)執行循環(huán)

　　1.3.1輾轉相除法與更相減損術(shù)

　　1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：

　�。�1）：用較大的數m除以較小的數n得到一個(gè)商

　　S0和一個(gè)余數R0；

　�。�2）：若R0＝0，則n為m，n的最大公約數；若R0≠0，則用除數n除以余數除以余數

　　R0得到一個(gè)商S1和一個(gè)余數R1；

　�。�3）：若R1＝0，則R1為m，n的最大公約數；若R1≠0，則用除數R0R1得到一個(gè)商S2和一個(gè)余數R2；依次計算直至Rn＝0，此時(shí)所得到的Rn1即為所求的最大公約數。

　　2、更相減損術(shù)

　　我國早期也有求最大公約數問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。

　　翻譯為：

　�。�1）：任意給出兩個(gè)正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執行第二步。

　�。�2）：以較大的數減去較小的數，接著(zhù)把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個(gè)操作，直到所得的數相等為止，則這個(gè)數（等數）就是所求的最大公約數。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數.分析：（略）

　　3、輾轉相除法與更相減損術(shù)的區別：

　�。�1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個(gè)數字大小區別較大時(shí)計算次數的區別較明顯。

　�。�2）從結果體現形式來(lái)看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數與差相等而得到

　　1.3.2秦九韶算法與排序

　　1、秦九韶算法概念：

　　f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問(wèn)題

　　f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+….+a1）x+a0=（（anxn-2+an-1xn-3+….+a2）x+a1）x+a0

　　=......=（...（anx+an-1）x+an-2）x+...+a1）x+a0

　　求多項式的值時(shí)，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

　　這樣，把n次多項式的求值問(wèn)題轉化成求n個(gè)一次多項式的值的問(wèn)題。

　　2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序

　�。�1）直接插入排序

　　基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第１個(gè)數放入數組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數與已存入數組的數進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置.將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置，將讀入的新數填入空出的位置中.（由于算法簡(jiǎn)單，可以舉例說(shuō)明）

　�。�2）冒泡排序

　　基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數,把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數和第2個(gè)數,大數放前,小數放后.然后比較第2個(gè)數和第3個(gè)數......直到比較最后兩個(gè)數.第一趟結束,最小的一定沉到最后.重復上過(guò)程,仍從第1個(gè)數開(kāi)始,到最后第2個(gè)數......由于在排序過(guò)程中總是大數往前,小數往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

　　1.3.3進(jìn)位制

　　1、概念：進(jìn)位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值�？墒褂脭底址�號的個(gè)數稱(chēng)為基數，基數為n，即可稱(chēng)n進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱(chēng)n進(jìn)制�，F在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯數字0-9進(jìn)行記數。對于任何一個(gè)數，我們可以用不同的進(jìn)位制來(lái)表示。比如：十進(jìn)數57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。

　　一般地，若k是一個(gè)大于一的整數，那么以k為基數的k進(jìn)制可以表示為：anan1...a1a0（k）（0ank,0an1,...,a1,a0k），而表示各種進(jìn)位制數一般在數字右下腳加注來(lái)表示,如111001（2）表示二進(jìn)制數,34（5）表示5進(jìn)制數

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