求不定積分方法總結

求不定積分方法總結

　　總結是把一定階段內的有關(guān)情況分析研究，做出有指導性結論的書(shū)面材料，它是增長(cháng)才干的一種好辦法，不如立即行動(dòng)起來(lái)寫(xiě)一份總結吧�？偨Y怎么寫(xiě)才是正確的呢？下面是小編為大家整理的求不定積分方法總結，歡迎閱讀與收藏。

　　1、不定積分的線(xiàn)性性

　　成立的前提是，f和g都有不定積分！

　　這個(gè)性質(zhì)在計算不定積分時(shí)，經(jīng)常用！一般都是把難計算的不定積分，轉化為一個(gè)個(gè)容易計算的不定積分。例題就不說(shuō)了，看書(shū)。

　　2、分部積分法

　　這是一個(gè)很有效的計算積分的辦法！一定要掌握！

　　從本師的教學(xué)經(jīng)驗來(lái)看，初學(xué)者往往在兩個(gè)地方犯難：

　�。�1）不知道怎么湊微分

　�。�2）不知道把誰(shuí)當u，誰(shuí)當v

　　3、有理函數的積分

　　有理函數的積分，是一類(lèi)常見(jiàn)的不定積分。它有一套通用的辦法求解，并且很多不定積分，經(jīng)過(guò)適當的換元后，可以轉化成有理函數的不定積分來(lái)計算！所以，這種類(lèi)型的不定積分，一定要掌握！

　　其中P和Q是x的多項式函數。

　　這個(gè)類(lèi)型的積分，主要是通過(guò)拆項，化成簡(jiǎn)單的不定積分來(lái)計算。

　　下面的步驟，其實(shí)就是教你怎么拆項。

　　(1)用輾轉相除法，將被積函數化成一個(gè)多項式和“真分式”的和：

　　(2)h(x)是多項式函數，積分不要太簡(jiǎn)單！現在就是要計算右邊這個(gè)積分了。

　　(3)對Q(x)因式分解。因為我們考慮的是實(shí)系數多項式，多項式Q(x)一定能分解成下面兩種類(lèi)型的因子的乘積：

　　(4)利用待定系數法，將r/Q拆分，拆成簡(jiǎn)單的分式的和。

　　舉例說(shuō)明：

　　然后，右邊同分，比較等式兩邊分子的系數。

　　這樣就會(huì )得到待定系數的一個(gè)一次方程組，解之（非常簡(jiǎn)單），算出待定系數。

　　4、第一類(lèi)換元（湊分法）u=g(x)，主要是要記牢常見(jiàn)的求導公式，然后多從右往左看。

　　5、第二類(lèi)換元，x=u(t)

　　要注意，u(t)必須是單調的！所以一般要指明t的取值范圍。這里，換元的技巧非常多，本師也只掌握了其中一些常用的。

　　(1)倒代換x=1/t

　　使用的對象特征很明顯

　　來(lái)個(gè)例子

　　t<0時(shí)，類(lèi)似處理，最后再下結論。

　　(2)

　　這種形狀的積分，直接換元掉根號。

　　例子說(shuō)明一切

　　(3)三角換元

　　這是讓大家又愛(ài)又恨的積分法。愛(ài)是因為它實(shí)在是太好用了，恨是因為它實(shí)在是太多選擇太多恒等變化了！

　　這種情況，用合適的三角函數去換元。注意，換元的目的，在這里是為了去掉根號，以便達到簡(jiǎn)化被積函數的目的。知道這一點(diǎn)，你就知道如何選擇三角函數了。另外，注意新變量的取值范圍，以保證單調性。

　　書(shū)上有太多這樣的例題，這里不列舉了。

　　下面主要和大家分享下三角函數有理式（三角函數的乘除）的計算技巧。

　　(i)遇奇次冪，拿一個(gè)出來(lái)，湊到微分里

　　(ii)都是偶數次冪，倍角公式降冪

　　(iii)積化和差公式

　　(iv)當三角函數冪次較低時(shí)，使用萬(wàn)能公式換元

　　(v)配湊法

　　解之，得I_1，I_2.

　　不定積分

　　1、原函數存在定理

　　定理如果函數f(x)在區間I上連續，那么在區間I上存在可導函數F（x），使對任一x∈I都有F’（x）=f(x)；簡(jiǎn)單的說(shuō)連續函數一定有原函數。

　　分部積分法

　　如果被積函數是冪函數和正余弦或冪函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數和指數函數為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為u。

　　2、對于初等函數來(lái)說(shuō)，在其定義區間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。

　　定積分

　　1、定積分解決的典型問(wèn)題

　�。�1）曲邊梯形的面積

　�。�2）變速直線(xiàn)運動(dòng)的路程

　　2、函數可積的充分條件

　　定理設f(x)在區間[a，b]上連續，則f(x)在區間[a，b]上可積，即連續=>可積。

　　定理設f(x)在區間[a，b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區間[a，b]上可積。

　　3、定積分的若干重要性質(zhì)

　　性質(zhì)如果在區間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

　　推論如果在區間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　　推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　　性質(zhì)設M及m分別是函數f(x)在區間[a，b]上的最大值和最小值，則m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a），該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數在積分區間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

　　性質(zhì)（定積分中值定理）如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，則在積分區間[a，b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

　　4、關(guān)于廣義積分

　　設函數f(x)在區間[a，b]上除點(diǎn)c（a<c<b）外連續，而在點(diǎn)c的鄰域內無(wú)界，如果兩個(gè)廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂，則定義∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否則（只要其中一個(gè)發(fā)散）就稱(chēng)廣義積分∫abf(x)dx發(fā)散。

　　定積分的應用

　　1求平面圖形的面積（曲線(xiàn)圍成的面積）

　　直角坐標系下（含參數與不含參數）

　　極坐標系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）(扇形面積公式S=R2θ/2)

　　旋轉體體積（由連續曲線(xiàn)直線(xiàn)及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成）（且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線(xiàn)的方程）

　　平行截面面積為已知的立體體積（V=∫abA（x）dx，其中A（x）為截面面積）

　　功水壓力引力

　　函數的平均值（平均值y=1/(b-a)x∫abf(x)dx）

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