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不等式基本性質(zhì)教學(xué)設計
作為一名專(zhuān)為他人授業(yè)解惑的人民教師，時(shí)常要開(kāi)展教學(xué)設計的準備工作，教學(xué)設計把教學(xué)各要素看成一個(gè)系統，分析教學(xué)問(wèn)題和需求，確立解決的程序綱要，使教學(xué)效果最優(yōu)化。寫(xiě)教學(xué)設計需要注意哪些格式呢？以下是小編精心整理的不等式基本性質(zhì)教學(xué)設計，歡迎大家分享。
不等式基本性質(zhì)教學(xué)設計1
一、教材分析
1、本節課的地位、作用和意義
基本不等式又稱(chēng)為均值不等式，選自普遍高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)(北京師范大學(xué)出版社出版)必修5，第3章第3節內容。學(xué)生在初中學(xué)習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時(shí)，在本章前面兩節學(xué)習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節課提供了堅實(shí)的基礎；基本不等式是后面基本不等式與最大（�。┲档幕A，在高中數學(xué)中有著(zhù)比較重要的地位，在工業(yè)生產(chǎn)等有比較廣的實(shí)際應用。
2、本節課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
我通過(guò)解讀新課標和分析教材，認為：
重點(diǎn)：通過(guò)對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數學(xué)學(xué)習過(guò)程更重要，它有利于培養學(xué)生的數學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節課的重點(diǎn)之一；再者，均值不等式有比較廣的應用，需重點(diǎn)掌握，而掌握均值不等式，關(guān)鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學(xué)重點(diǎn)。
突出重點(diǎn)的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導啟發(fā)法來(lái)突出均值不等式的推導；用重復法（在課堂的每一環(huán)節，以各種方式進(jìn)行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學(xué)來(lái)突出均值不等式及其成立的條件。
難點(diǎn)：很多同學(xué)對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時(shí)候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節課的難點(diǎn)。
突破難點(diǎn)的'方法：我將采用用重復法（在課堂的每一環(huán)節，以各種方式進(jìn)行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學(xué)等等來(lái)突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。
二、教學(xué)目標分析
1、知識與技能目標
�。�2）理解的幾何意義。
�。�3）能3分鐘內寫(xiě)出基本不等式，并說(shuō)明其成立的條件，準確率為95%
2、過(guò)程方法與能力目標
�。�1）探索并了解均值不等式的證明過(guò)程。
�。�2）體會(huì )均值不等式的證明方法。
3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)目標
�。�1）通過(guò)探索均值不等式的證明過(guò)程，培養探索、研究精神。
�。�2）通過(guò)對均值不等式成立的條件的分析，養成嚴謹的科學(xué)態(tài)度，勇于提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的習慣�！疤骄俊被静坏仁降淖C明（1）
【三維目標】：
一、知識與技能
1.探索并了解基本不等式的證明過(guò)程，體會(huì )證明不等式的基本思想方法；
2.會(huì )用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（�。┲祮�(wèn)題；
二、過(guò)程與方法
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
1.通過(guò)本節的學(xué)習，體會(huì )數學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習數學(xué)的興趣
【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：
【學(xué)法與教學(xué)用具】：
2.教學(xué)用具：直角板、圓規、投影儀（多媒體教室）
【授課類(lèi)型】：新授課
【課時(shí)安排】：1課時(shí)
【教學(xué)思路】：
一、創(chuàng )設情景，揭示課題
1.提問(wèn)：與哪個(gè)大？
2.基本不等式的幾何背景：
如圖是在北京召開(kāi)的第24界國際數學(xué)家大會(huì )的會(huì )標，會(huì )標是根據中國古代數學(xué)家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）。
二、研探新知
重要不等式：一般地，對于任意實(shí)數、，我們有，當且僅當時(shí)，等號成立。
證明:
所以
不等式基本性質(zhì)教學(xué)設計2
一、教學(xué)設計理念：
這節課的目標定位分為三個(gè)層面：
本節課我設計了五個(gè)環(huán)節：
�、僮兘虒W(xué)生學(xué)會(huì )知識為指導學(xué)生會(huì )學(xué)知識；
導入新課
師同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？?
【三維目標】：
一、知識與技能
二、過(guò)程與方法
本節課是基本不等式應用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學(xué)生分析題意、設未知量、找出數量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心。
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
1.引發(fā)學(xué)生學(xué)習和使用數學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng )新精神，培養實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。
【三維目標】：
一、知識與技能
二、過(guò)程與方法
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
1.通過(guò)本節的學(xué)習，體會(huì )數學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習數學(xué)的興趣
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)解讀
三、知識點(diǎn)精析
一、教學(xué)目標
1．知識與技能
探究基本不等式的證明過(guò)程，初步理解基本不等式
2．過(guò)程與方法
通過(guò)對基本不等式的不同角度的探究，滲透數形結合及轉化的數學(xué)思想．
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：
三、教學(xué)資源普通高中數學(xué)課程標準（實(shí)驗）人教a版教材必修5
中學(xué)數學(xué)周刊20xx年第10期百度
四、教學(xué)方法與手段
啟發(fā)學(xué)生探究，多媒體輔助教學(xué)
五、教學(xué)過(guò)程
�。ㄒ唬﹦�(chuàng )設情境：
你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？
設計意圖：創(chuàng )設問(wèn)題情境，為問(wèn)題的引出做鋪墊
�。ǘ┬轮骄浚簣D1
將風(fēng)車(chē)抽象成圖2
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?圖2
即時(shí),正方形efgh縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有
2．過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；
【教學(xué)重點(diǎn)】
應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過(guò)程；
【教學(xué)難點(diǎn)】
基本不等式等號成立條件
【教學(xué)過(guò)程】
1.課題導入
基本不等式的幾何背景：
教師引導學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系
2.講授新課
1．探究圖形中的不等關(guān)系
將圖中的“風(fēng)車(chē)”抽象成如圖，在正方形abcd中右個(gè)全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長(cháng)為a,b那么正方形的.邊長(cháng)為。這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切�，即a=b時(shí)，正方形efgh縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有。
2．得到結論：一般的，如果
3．思考證明：你能給出它的證明嗎？
不等式基本性質(zhì)教學(xué)設計3
知識與技能：
理解并掌握不等式的三個(gè)性質(zhì)，能運用性質(zhì)，用不等號連接某些代數式，進(jìn)行不等式的變形。
過(guò)程與方法：
經(jīng)歷自主學(xué)習，小組交流合作學(xué)習，以及課堂上的成果，培養學(xué)生自主分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，養成與他人交流，共同學(xué)習，共同進(jìn)步的學(xué)習方法。
情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：在自主分析，交流合作，成果的活動(dòng)中，感受學(xué)習的樂(lè )趣，體會(huì )與人合作的快樂(lè )。
教學(xué)難點(diǎn)：
正確運用不等式的性質(zhì)。
教學(xué)重點(diǎn)：
理解并掌握不等式的性質(zhì)3。
教學(xué)過(guò)程：
一、創(chuàng )設情境引入新課
利用一臺平衡的天平提出問(wèn)題，引入新課
1、給不平衡的天平兩邊同時(shí)加入相同質(zhì)量的砝碼，天平會(huì )有什么變化？
2、不平衡的天平兩邊同時(shí)拿掉相同質(zhì)量的`砝碼，天平會(huì )有什么變化？
3、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質(zhì)量同時(shí)擴大相同的倍數，天平會(huì )平衡嗎？縮小相同的倍數呢？通過(guò)天平演示，結合自己的觀(guān)察和思考，讓學(xué)生感受生活中的不等關(guān)系。
二、合作交流探究新知
1、問(wèn)題情景：數學(xué)老師比語(yǔ)文老師年齡小。
1、10年后誰(shuí)的年齡大？
2、20年之后呢？
3、5年之前呢？
假設數學(xué)，語(yǔ)文兩位老師的年齡分別為a，b，則a
a+10
a+20
a—5
2、探索與發(fā)現
一組：已知5>3，則5+2 3+2
5—2 3—2
二組：已知—1
—1—33—3
想一想不等號的方向改變嗎？
3、歸納：不等式的性質(zhì)1：
不等式兩邊都加（或減去）同一個(gè)數（或式子），不等號的方向不變
如果a＜b，那么a+c
如果a＞b，那么a+c >b+c，a—c >b—c。
不等號方向不改變！
4、大膽猜想
不等式兩邊都加（或減去）同一個(gè)數，不等號方向不改變
不等式兩邊都加（或減去）同一個(gè)數，不等號方向不改變
不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數（不為零），不等號的方向呢？
5、探索與發(fā)現
已知4
一組：4×2 6×（—2）；
4÷26÷（—2）。
思考不等號方向改變嗎？
不等式兩邊都乘（或除以）一個(gè)不為零的數，不等號方向改不改變和什么有關(guān)？
6、不等式的性質(zhì)2：
不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數，不等號的方向不變。
如果a>b，且c>0，那么ac>bc，如果a0，那么ac
7、不等式的性質(zhì)3：
不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負數，不等號的方向改變。
如果a>b，且c
如果a
三、鞏固提高拓展延伸
例1：判斷下列各題的推導是否正確？為什么（學(xué)生口答）
�。�1）因為7.5＞5.7，所以—7.5＜—5.7；
�。�2）因為a+8＞4，所以a＞—4；
�。�3）因為4a＞4b，所以a＞b；
�。�4）因為—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；
�。�5）因為3＞2，所以3a＞2a．
�。�1）正確，根據不等式基本性質(zhì)3．
�。�2）正確，根據不等式基本性質(zhì)1．
�。�3）正確，根據不等式基本性質(zhì)2．
�。�4）正確，根據不等式基本性質(zhì)1．
�。�5）不對，應分情況逐一討論．
當a＞0時(shí)，3a＞2a．（不等式基本性質(zhì)2）
當a=0時(shí)，3a=2a．
當a＜0時(shí)，3a＜2a．（不等式基本性質(zhì)3）
考考你！0>4，哪里錯了？
已知m>n，兩邊都乘以4，得4m>4n，兩邊都減去4m，得0>4n—4m，即0>4（n—m），兩邊同時(shí)除以（n—m），得0>4。
等式與不等式的性質(zhì)
1、不等式的三個(gè)性質(zhì)。
2、等式與不等式的性質(zhì)對比。
先前后比較，再定不等號
四、總結歸納
1、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的不同之處；
2、在運用“不等式性質(zhì)3"時(shí)應注意的問(wèn)題．學(xué)生通過(guò)總結，可以幫助自己從整體上把握本節課所學(xué)知識培養良好的學(xué)習習慣，也為下節課學(xué)好解不等式打下基礎。
五、布置作業(yè)
1、必做題：教科書(shū)第134頁(yè)習題9.1第4、5題
2、選做題：教科書(shū)第134頁(yè)習題9。 1第7題．
不等式基本性質(zhì)教學(xué)設計4
教學(xué)分析
本節課的研究是對初中不等式學(xué)習的延續和拓展，也是實(shí)數理論的進(jìn)一步發(fā)展。在本節課的學(xué)習過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數的基本理論，并能用實(shí)數的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數式的大小。
通過(guò)本節課的學(xué)習，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中，感受到在現實(shí)世界和日常生活中存在著(zhù)大量的不等關(guān)系，并充分認識不等關(guān)系的存在與應用。對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數學(xué)觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行觀(guān)察、歸納、抽象，完成量與量的比較過(guò)程。即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái)。
在本節課的學(xué)習過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對數學(xué)知識和方法的應用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，并由衷地產(chǎn)生用數學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望。根據本節課的教學(xué)內容，應用再現、回憶得出實(shí)數的基本理論，并能用實(shí)數的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數式的大小。
在本節教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書(shū)中實(shí)例，充分利用數軸這一簡(jiǎn)單的數形結合工具，直接用實(shí)數與數軸上點(diǎn)的一一對應關(guān)系，從數與形兩方面建立實(shí)數的順序關(guān)系。要在溫故知新的基礎上提高學(xué)生對不等式的認識。
三維目標
1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數軸回憶實(shí)數的基本理論，理解實(shí)數的大小關(guān)系，理解實(shí)數大小與數軸上對應點(diǎn)位置間的關(guān)系。
2.會(huì )用作差法判斷實(shí)數與代數式的大小，會(huì )用配方法判斷二次式的大小和范圍。
3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對不等式的認識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，體會(huì )數學(xué)的奧秘與數學(xué)的結構美。
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數與代數式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍。
教學(xué)難點(diǎn)：準確比較兩個(gè)代數式的大小。
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過(guò)多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀(guān)畫(huà)面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數學(xué)研究不等關(guān)系的強烈愿望，自然地引入新課。
思路2.(情境導入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠近、百米賽跑的時(shí)間、數學(xué)成績(jì)的多少等現實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀(guān)事物在數量上存在的不等關(guān)系。這些不等關(guān)系怎樣在數學(xué)上表示出來(lái)呢？讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行觀(guān)察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現實(shí)世界和日常生活中大量存在著(zhù)。這樣學(xué)生會(huì )由衷地產(chǎn)生用數學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習，由此引入新課。
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同。怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系？
2在現實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著(zhù)大量的不等關(guān)系。你能舉出一些實(shí)際例子嗎？
3數軸上的任意兩點(diǎn)與對應的兩實(shí)數具有怎樣的關(guān)系？
4任意兩個(gè)實(shí)數具有怎樣的關(guān)系？用邏輯用語(yǔ)怎樣表達這個(gè)關(guān)系？
活動(dòng)：教師引導學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同。不等關(guān)系強調的是關(guān)系，可用符號“>”“b”“a
教師與學(xué)生一起舉出我們日常生活中不等關(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現實(shí)世界中存在著(zhù)大量的不等關(guān)系。在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習不等式的有關(guān)內容。
實(shí)例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實(shí)例2：對于數軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA
實(shí)例3：若一個(gè)數是非負數，則這個(gè)數大于或等于零。
實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
實(shí)例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時(shí)，應使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40 km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現身邊的數學(xué)當然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數學(xué)這門(mén)學(xué)科，但作為我們研究數學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數學(xué)的眼光、數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行觀(guān)察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識來(lái)表示這些不等關(guān)系呢？學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系。那么不等式就是用不等號將兩個(gè)代數式連結起來(lái)所成的式子。如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。
教師引導學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái)。實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負數，則x≥0.實(shí)例5|AC|+|BC|>|AB|，如下圖。
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實(shí)例7，教師應點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的'脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿(mǎn)足，避免寫(xiě)成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的。但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結論。
討論結果：
(1)(2)略；(3)數軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對應的實(shí)數比左邊點(diǎn)對應的實(shí)數大。
(4)對于任意兩個(gè)實(shí)數a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b
應用示例
例1(教材本節例1和例2)
活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法。
點(diǎn)評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應讓學(xué)生熟練掌握。
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數的大小，常根據實(shí)數的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結為判斷它們的差的符號來(lái)確定。本例可由學(xué)生獨立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號判斷說(shuō)理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn)。
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時(shí)取等號)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點(diǎn)評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號。變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用。
變式訓練
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小。
活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系。
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y
當y>0時(shí)，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點(diǎn)評：當字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類(lèi)討論。
例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶(hù)面積必須小于地板面積。但按采光標準，窗戶(hù)面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶(hù)面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說(shuō)明理由。
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉換成數學(xué)語(yǔ)言，然后比較前后比值的大小，采用作差法。
解：設住宅窗戶(hù)面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據問(wèn)題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶(hù)面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了。
點(diǎn)評：一般地，設a、b為正實(shí)數，且a0，則a+mb+m>ab.
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
知能訓練
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立。
2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
課堂小結
1.教師與學(xué)生共同完成本節課的小結，從實(shí)數的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數大小的比較方法；從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評，到緊跟著(zhù)的變式訓練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節課所學(xué)納入已有的知識體系中。
2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數的基本性質(zhì)對兩個(gè)實(shí)數大小比較時(shí)易錯的地方。鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生對節末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究。
作業(yè)
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設計感想
1.本節設計關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化。經(jīng)驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學(xué)規律的教學(xué)過(guò)程，不宜長(cháng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗模式。各種教學(xué)方法中，沒(méi)有一種能很好地適應一切教學(xué)活動(dòng)。也就是說(shuō)，世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方法。針對個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥。
2.本節設計注重了難度控制。不等式內容應用面廣，可以說(shuō)與其他所有內容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。作為本章開(kāi)始，可以適當開(kāi)闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過(guò)多向外拓展，以免對學(xué)生產(chǎn)生負面影響。
3.本節設計關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓練。訓練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數學(xué)的主線(xiàn)。采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化。變式訓練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升。
備課資料
備用習題
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小。
2.試判斷下列各對整式的大�。�(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .
4.若x
5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小。
參考答案：
1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24，又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，當a>b>0時(shí)，ab>1，a-b>0，則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
當b>a>0時(shí)，0
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對于不相等的正數a、b，都有aabb>abba.
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