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《抽屜原理》教學(xué)實(shí)錄
【教學(xué)內容】
《義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)·數學(xué)》六年級下冊第68頁(yè)。
【教學(xué)目標】
1.經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”，會(huì )用“抽屜原理”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
2. 通過(guò)操作發(fā)展學(xué)生的類(lèi)推能力，形成比較抽象的數學(xué)思維。
3. 通過(guò)“抽屜原理”的靈活應用感受數學(xué)的魅力。
【教學(xué)重點(diǎn)】
經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過(guò)程，初步了解“抽屜原理”。
【教學(xué)難點(diǎn)】
理解“抽屜原理”，并對一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”。
【教具、學(xué)具準備】
每組都有相應數量的盒子、鉛筆、書(shū)。
【教學(xué)過(guò)程】
一、課前游戲引入。
師：同學(xué)們在我們上課之前，先做個(gè)小游戲：老師這里準備了4把椅子，請5個(gè)同學(xué)上來(lái)，誰(shuí)愿來(lái)?(學(xué)生上來(lái)后)
師：聽(tīng)清要求 ，老師說(shuō)開(kāi)始以后，請你們5個(gè)都坐在椅子上，每個(gè)人必須都坐下，好嗎?(好)。這時(shí)教師面向全體，背對那5個(gè)人。
師：開(kāi)始。
師：都坐下了嗎?
生：坐下了。
師：我沒(méi)有看到他們坐的情況，但是我敢肯定地說(shuō)：“不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)”我說(shuō)得對嗎?
生：對!
師：老師為什么能做出準確的判斷呢?道理是什么?這其中蘊含著(zhù)一個(gè)有趣的數學(xué)原理，這節課我們就一起來(lái)研究這個(gè)原理。下面我們開(kāi)始上課，可以嗎?
【點(diǎn)評】教師從學(xué)生熟悉的“搶椅子”游戲開(kāi)始，讓學(xué)生初步體驗不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)，使學(xué)生明確這是現實(shí)生活中存在著(zhù)的一種現象，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習興趣，為后面開(kāi)展教與學(xué)的活動(dòng)做了鋪墊。
二、通過(guò)操作，探究新知
(一)教學(xué)例1
1.出示題目：有3枝鉛筆，2個(gè)盒子，把3枝鉛筆放進(jìn)2個(gè)盒子里，怎么放?有幾種不同的放法?
師：請同學(xué)們實(shí)際放放看，誰(shuí)來(lái)展示一下你擺放的情況?(指名擺)根據學(xué)生擺的情況，師板書(shū)各種情況 (3，0) (2，1)
【點(diǎn)評】此處設計教師注意了從最簡(jiǎn)單的數據開(kāi)始擺放，有利于學(xué)生觀(guān)察、理解，有利于調動(dòng)所有的學(xué)生積極參與進(jìn)來(lái)。
師：5個(gè)人坐在4把椅子上，不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個(gè)同學(xué)。3支筆放進(jìn)2個(gè)盒子里呢?
生：不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝筆?
是：是這樣嗎?誰(shuí)還有這樣的發(fā)現，再說(shuō)一說(shuō)。
師：那么，把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)盒子里，怎么放?有幾種不同的放法?請同學(xué)們實(shí)際放放看。(師巡視，了解情況，個(gè)別指導)
師：誰(shuí)來(lái)展示一下你擺放的情況?(指名擺)根據學(xué)生擺的情況，師板書(shū)各種情況。
(4，0，0)
(3，1，0)
(2，2，0)
(2，1，1)，
師：還有不同的放法嗎?
生：沒(méi)有了。
師：你能發(fā)現什么?
生：不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。
師：“總有”是什么意思?
生：一定有
師：“至少”有2枝什么意思?
生：不少于兩只，可能是2枝，也可能是多于2枝?
師：就是不能少于2枝。(通過(guò)操作讓學(xué)生充分體驗感受)
師：把3枝筆放進(jìn)2個(gè)盒子里，和把4枝筆飯放進(jìn)3個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。這是我們通過(guò)實(shí)際操作現了這個(gè)結論。那么，我們能不能找到一種更為直接的方法，只擺一種情況，也能得到這個(gè)結論呢?
學(xué)生思考——組內交流——匯報
師：哪一組同學(xué)能把你們的想法匯報一下?
組1生：我們發(fā)現如果每個(gè)盒子里放1枝鉛筆，最多放3枝，剩下的1枝不管放進(jìn)哪一個(gè)盒子里，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。
師：你能結合操作給大家演示一遍嗎?(學(xué)生操作演示)
師：同學(xué)們自己說(shuō)說(shuō)看，同位之間邊演示邊說(shuō)一說(shuō)好嗎?
師：這種分法，實(shí)際就是先怎么分的?
生眾：平均分
師：為什么要先平均分?(組織學(xué)生討論)
生1：要想發(fā)現存在著(zhù)“總有一個(gè)盒子里一定至少有2枝”，先平均分,余下1枝，不管放在那個(gè)盒子里，一定會(huì )出現“總有一個(gè)盒子里一定至少有2枝”。
生2：這樣分，只分一次就能確定總有一個(gè)盒子至少有幾枝筆了?
師：同意嗎?那么把5枝筆放進(jìn)4個(gè)盒子里呢?(可以結合操作，說(shuō)一說(shuō))
師：哪位同學(xué)能把你的想法匯報一下，
生：(一邊演示一邊說(shuō))5枝鉛筆放在4個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。
師：把6枝筆放進(jìn)5個(gè)盒子里呢?還用擺嗎?
生：6枝鉛筆放在5個(gè)盒子里，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。
師：把7枝筆放進(jìn)6個(gè)盒子里呢?
把8枝筆放進(jìn)7個(gè)盒子里呢?
把9枝筆放進(jìn)8個(gè)盒子里呢?……
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你發(fā)現什么?
生1：筆的枝數比盒子數多1，不管怎么放，總有一個(gè)盒子里至少有2枝鉛筆。
師：你的發(fā)現和他一樣嗎?(一樣)你們太了不起了!同桌互相說(shuō)一遍。
【點(diǎn)評】教師關(guān)注了“抽屜原理”的最基本原理，物體個(gè)數必須要多于抽屜個(gè)數，化繁為簡(jiǎn)，此處確實(shí)有必要提領(lǐng)出來(lái)進(jìn)行教學(xué)。在學(xué)生自主探索的基礎上，教師注意引導學(xué)生得出一般性的結論：只要放的鉛筆數盒數多1，總有一個(gè)盒里至少放進(jìn)2支。通過(guò)教師組織開(kāi)展的扎實(shí)有效的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生學(xué)的有興趣，發(fā)展了學(xué)生的類(lèi)推能力，形成比較抽象的數學(xué)思維。
2.解決問(wèn)題。
(1)課件出示：5只鴿子飛回4個(gè)鴿籠，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里，為什么?
(學(xué)生活動(dòng)—獨立思考 自主探究)
(2)交流、說(shuō)理活動(dòng)。
師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)為什么?
生1：如果一個(gè)鴿籠里飛進(jìn)一只鴿子，最多飛進(jìn)4只鴿子，還剩一只，要飛進(jìn)其中的一個(gè)鴿籠里。不管怎么飛，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠里。
生2：我們也是這樣想的。
生3：把5只鴿子平均分到4個(gè)籠子里，每個(gè)籠子1只，剩下1只，放到任何一個(gè)籠子里，就能保證至少有2只鴿子飛進(jìn)同一個(gè)籠里。
生4：可以用5÷4=1……1，余下的1只，飛到任何一個(gè)鴿籠里都能保證至少有2只鴿子飛進(jìn)一個(gè)個(gè)籠里，所以，“至少有2只鴿子飛進(jìn)同一個(gè)籠里”的結論是正確的。
師：許多同學(xué)沒(méi)有再擺學(xué)具，證明這個(gè)結論是正確的，用的什么方法?
生：用平均分的方法，就能說(shuō)明存在“總有一個(gè)鴿籠至少有2只鴿子飛進(jìn)一個(gè)個(gè)籠里”。
師：同意嗎?(生：同意)老師把這位同學(xué)說(shuō)的算式寫(xiě)下來(lái)，(板書(shū)：5÷4=1……1)
師：同位之間再說(shuō)一說(shuō)，對這種方法的理解。
師：現在誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)你對“總有一個(gè)鴿籠里至少飛進(jìn)2只鴿子的理解”
生：我們發(fā)現這是必然存在的一個(gè)現象，不管鴿子怎樣飛回鴿籠，一定會(huì )有一個(gè)鴿籠里至少有2只鴿子。
師：同學(xué)們都有這個(gè)發(fā)現嗎?
生眾：發(fā)現了。
師：同學(xué)們非常了不起，善于運用觀(guān)察、分析、思考、推理、證明的方法研究問(wèn)題，得出結論。同學(xué)們的思維也在不知不覺(jué)中提升了許多，那么讓我們再來(lái)看這樣一組問(wèn)題。
(二)教學(xué)例2
1.出示題目：把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書(shū)?
把7本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書(shū)?
把9本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書(shū)?
(留給學(xué)生思考的空間，師巡視了解各種情況)
2.學(xué)生匯報。
生1：把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里，如果每個(gè)抽屜里先放2本，還剩1本，這本書(shū)不管放到哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少有3本書(shū)。
板書(shū)：5本 2個(gè) 2本…… 余1本 (總有一個(gè)抽屜里至有3本書(shū))
7本 2個(gè) 3本…… 余1本(總有一個(gè)抽屜里至有4本書(shū))
9本 2個(gè) 4本…… 余1本(總有一個(gè)抽屜里至有5本書(shū))
師：2本、3本、4本是怎么得到的?生答完成除法算式。
5÷2=2本……1本(商加1)
7÷2=3本……1本(商加1)
9÷2=4本……1本(商加1)
師：觀(guān)察板書(shū)你能發(fā)現什么?
生1：“總有一個(gè)抽屜里的至少有2本”只要用 “商+ 1”就可以得到。
師：如果把5本書(shū)放進(jìn)3個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有幾本書(shū)?
生：“總有一個(gè)抽屜里的至少有3本”只要用5÷3=1本……2本，用“商+ 2”就可以了。
生：不同意!先把5本書(shū)平均分放到3個(gè)抽屜里，每個(gè)抽屜里先放1本，還剩2本，這2本書(shū)再平均分，不管分到哪兩個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少有2本書(shū)，不是3本書(shū)。
師：到底是“商+1”還是“商+余數”呢?誰(shuí)的結論對呢?在小組里進(jìn)行研究、討論。
交流、說(shuō)理活動(dòng)：
生1：我們組通過(guò)討論并且實(shí)際分了分，結論是總有一個(gè)抽屜里至少有2本書(shū)，不是3本書(shū)。
生2：把5本書(shū)平均分放到3個(gè)抽屜里，每個(gè)抽屜里先放1本，余下的2本可以在2個(gè)抽屜里再各放1本，結論是“總有一個(gè)抽屜里至少有2本書(shū)”。
生3∶我們組的結論是5本書(shū)平均分放到3個(gè)抽屜里，“總有一個(gè)抽屜里至少有2本書(shū)”用“商加1”就可以了，不是“商加2”。
師：現在大家都明白了吧?那么怎樣才能夠確定總有一個(gè)抽屜里至少有幾個(gè)物體呢?
生4：如果書(shū)的本數是奇數，用書(shū)的本數除以抽屜數，再用所得的商加1，就會(huì )發(fā)現“總有一個(gè)抽屜里至少有商加1本書(shū)”了。
師：同學(xué)們同意吧?
師：同學(xué)們的這一發(fā)現，稱(chēng)為“抽屜原理”，“ 抽屜原理”又稱(chēng)“鴿籠原理”，最先是由19世紀的德國數學(xué)家狄利克雷提出來(lái)的，所以又稱(chēng)“狄里克雷原理”，也稱(chēng)為“鴿巢原理”。這一原理在解決實(shí)際問(wèn)題中有著(zhù)廣泛的應用�！俺閷显怼钡膽檬乔ё內f(wàn)化的，用它可以解決許多有趣的問(wèn)題，并且常常能得到一些令人驚異的結果。下面我們應用這一原理解決問(wèn)題。
3.解決問(wèn)題。71頁(yè)第3題。(獨立完成，交流反饋)
小結：經(jīng)過(guò)剛才的探索研究，我們經(jīng)歷了一個(gè)很不簡(jiǎn)單的思維過(guò)程，我們獲得了解決這類(lèi)問(wèn)題的好辦法，下面讓我們輕松一下做個(gè)小游戲。
【點(diǎn)評】在這一環(huán)節的教學(xué)中教師抓住了假設法最核心的思路就是用“有余數除法” 形式表示出來(lái)，使學(xué)生學(xué)生借助直觀(guān)，很好的理解了如果把書(shū)盡量多地“平均分”給各個(gè)抽屜里，看每個(gè)抽屜里能分到多少本書(shū)，余下的書(shū)不管放到哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里比平均分得的書(shū)的本數多1本。特別是對“某個(gè)抽屜至少有書(shū)的本數”是除法算式中的商加“1”， 而不是商加“余數”，教師適時(shí)挑出針對性問(wèn)題進(jìn)行交流、討論，使學(xué)生從本質(zhì)上理解了“抽屜原理”。
三、應用原理解決問(wèn)題
師：我這里有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，我請五位同學(xué)每人任意抽1張，聽(tīng)清要求，不要讓別人看到你抽的是什么牌。請大家猜測一下，同種花色的至少有幾張?為什么?
生：2張/因為5÷4=1…1
師：先驗證一下你們的猜測：舉牌驗證。
師：如有3張同花色的，符合你們的猜測嗎?
師：如果9個(gè)人每一個(gè)人抽一張呢?
生：至少有3張牌是同一花色，因為9÷4=2…1
四、全課小結
【點(diǎn)評】當學(xué)生利用有余數除法解決了具體問(wèn)題后，教師引導學(xué)生總結歸納這一類(lèi)“抽屜問(wèn)題”的一般規律，使學(xué)生進(jìn)一步理解掌握了“抽屜原理”。
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