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高三數學(xué)考試易錯知識點(diǎn)的歸納
1易錯點(diǎn):遺忘空集致誤
錯因分析:由于空集是任何非空集合的真子集,因此,對于集合B,就有B=A,B,B,三種情況,在解題中如果思維不夠縝密就有可能忽視了B這種情況,導致解題結果錯誤.尤其是在解含有參數的集合問(wèn)題時(shí),更要充分注意當參數在某個(gè)范圍內取值時(shí)所給的集合可能是空集這種情況.空集是一個(gè)特殊的集合,由于思維定式的原因,考生往往會(huì )在解題中遺忘了這個(gè)集合,導致解題錯誤或是解題不全面.
2易錯點(diǎn):忽視集合元素的三性致誤
錯因分析:集合中的元素具有確定性,無(wú)序性,互異性,集合元素的三性中互異性對解題的影響最大,特別是帶有字母參數的集合,實(shí)際上就隱含著(zhù)對字母參數的一些要求.在解題時(shí)也可以先確定字母參數的范圍后,再具體解決問(wèn)題.
3易錯點(diǎn):四種命題的結構不明致誤
錯因分析:如果原命題是若A則B,則這個(gè)命題的逆命題是若B則A,否命題是若┐A則┐B,逆否命題是若┐B則┐A.
這里面有兩組等價(jià)的命題,即原命題和它的逆否命題等價(jià),否命題與逆命題等價(jià).在解答由一個(gè)命題寫(xiě)出該命題的其他形式的命題時(shí),一定要明確四種命題的結構以及它們之間的等價(jià)關(guān)系.
另外,在否定一個(gè)命題時(shí),要注意全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題.如對a,b都是偶數的否定應該是a,b不都是偶數,而不應該是a,b都是奇數.
4易錯點(diǎn):充分必要條件顛倒致誤
錯因分析:對于兩個(gè)條件A,B,如果A=B成立,則A是B的充分條件,B是A的必要條件;如果B=A成立,則A是B的必要條件,B是A的充分條件;如果AB,則A,B互為充分必要條件.解題時(shí)最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性,所以在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要根據充要條件的概念作出準確的判斷.
5易錯點(diǎn)邏輯聯(lián)結詞理解不準致誤
錯因分析:在判斷含邏輯聯(lián)結詞的命題時(shí)很容易因為理解不準確而出現錯誤,在這里我們給出一些常用的判斷方法,希望對大家有所幫助:
p=p真或q真,
p=p假且q假(概括為一真即真);
pq真p真且q真，
pq假p假或q假(概括為一假即假);
┐p真p假,┐p假p真(概括為一真一假).
6易錯點(diǎn):求函數定義域忽視細節致誤
錯因分析:函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍,因此要求定義域就要根據函數解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來(lái),列成不等式組,不等式組的解集就是該函數的定義域.
在求一般函數定義域時(shí)要注意下面幾點(diǎn):
(1)分母不為0;
(2)偶次被開(kāi)放式非負;
(3)真數大于0;
(4)0的0次冪沒(méi)有意義.
函數的定義域是非空的數集,在解決函數定義域時(shí)不要忘記了這點(diǎn).對于復合函數,要注意外層函數的定義域是由內層函數的值域決定的.
7易錯點(diǎn):帶有絕對值的函數單調性判斷錯誤
錯因分析:帶有絕對值的函數實(shí)質(zhì)上就是分段函數,對于分段函數的單調性,有兩種基本的判斷方法:
一是在各個(gè)段上根據函數的解析式所表示的函數的單調性求出單調區間,最后對各個(gè)段上的單調區間進(jìn)行整合;
二是畫(huà)出這個(gè)分段函數的圖象,結合函數圖象,性質(zhì)進(jìn)行直觀(guān)的判斷.研究函數問(wèn)題離不開(kāi)函數圖象,函數圖象反應了函數的所有性質(zhì),在研究函數問(wèn)題時(shí)要時(shí)時(shí)刻刻想到函數的圖象,學(xué)會(huì )從函數圖象上去分析問(wèn)題,尋找解決問(wèn)題的方案.
對于函數的幾個(gè)不同的單調遞增(減)區間,千萬(wàn)記住不要使用并集,只要指明這幾個(gè)區間是該函數的單調遞增(減)區間即可.
8易錯點(diǎn):求函數奇偶性的常見(jiàn)錯誤
錯因分析:求函數奇偶性的常見(jiàn)錯誤有求錯函數定義域或是忽視函數定義域,對函數具有奇偶性的前提條件不清,對分段函數奇偶性判斷方法不當等
判斷函數的奇偶性,首先要考慮函數的定義域,一個(gè)函數具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數的定義域區間關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng),如果不具備這個(gè)條件,函數一定是非奇非偶的函數.
在定義域區間關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)的前提下,再根據奇偶函數的定義進(jìn)行判斷,在用定義進(jìn)行判斷時(shí)要注意自變量在定義域區間內的任意性.
9易錯點(diǎn):抽象函數中推理不嚴密致誤
錯因分析:很多抽象函數問(wèn)題都是以抽象出某一類(lèi)函數的共同特征而設計出來(lái)的,在解決問(wèn)題時(shí),可以通過(guò)類(lèi)比這類(lèi)函數中一些具體函數的性質(zhì)去解決抽象函數的性質(zhì).
解答抽象函數問(wèn)題要注意特殊賦值法的應用,通過(guò)特殊賦值可以找到函數的不變性質(zhì),這個(gè)不變性質(zhì)往往是進(jìn)一步解決問(wèn)題的突破口.
抽象函數性質(zhì)的證明是一種代數推理,和幾何推理證明一樣,要注意推理的嚴謹性,每一步推理都要有充分的條件,不可漏掉一些條件,更不要臆造條件,推理過(guò)程要層次分明,書(shū)寫(xiě)規范.
10易錯點(diǎn):函數零點(diǎn)定理使用不當致誤
錯因分析:如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線(xiàn),并且有f(a)f(b)0,那么,函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點(diǎn),即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也是方程f(c)=0的根,這個(gè)結論我們一般稱(chēng)之為函數的零點(diǎn)定理.
函數的零點(diǎn)有變號零點(diǎn)和不變號零點(diǎn),對于不變號零點(diǎn),函數的零點(diǎn)定理是無(wú)能為力的,在解決函數的零點(diǎn)時(shí)要注意這個(gè)問(wèn)題.
11易錯點(diǎn):混淆兩類(lèi)切線(xiàn)致誤
錯因分析:曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn),這樣的切線(xiàn)只有一條;曲線(xiàn)的過(guò)一個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)是指過(guò)這個(gè)點(diǎn)的曲線(xiàn)的所有切線(xiàn),這個(gè)點(diǎn)如果在曲線(xiàn)上當然包括曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn),曲線(xiàn)的過(guò)一個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)可能不止一條.因此求解曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí),首先要區分是什么類(lèi)型的切線(xiàn).
12易錯點(diǎn):混淆導數與單調性的關(guān)系致誤
錯因分析:對于一個(gè)函數在某個(gè)區間上是增函數,如果認為函數的導函數在此區間上恒大于0,就會(huì )出錯.
研究函數的單調性與其導函數的關(guān)系時(shí)一定要注意:一個(gè)函數的導函數在某個(gè)區間上單調遞增(減)的充要條件是這個(gè)函數的導函數在此區間上恒大(小)于等于0,且導函數在此區間的任意子區間上都不恒為零.
13易錯點(diǎn):導數與極值關(guān)系不清致誤
錯因分析:在使用導數求函數極值時(shí),很容易出現的錯誤就是求出使導函數等于0的點(diǎn),而沒(méi)有對這些點(diǎn)左右兩側導函數的符號進(jìn)行判斷,誤以為使導函數等于0的點(diǎn)就是函數的極值點(diǎn).出現這些錯誤的原因是對導數與極值關(guān)系不清.可導函數在一個(gè)點(diǎn)處的導函數值為零只是這個(gè)函數在此點(diǎn)處取到極值的必要條件,在此提醒同學(xué)們在使用導數求函數極值時(shí)一定要注意對極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗.
14易錯點(diǎn):用錯基本公式致誤
錯因分析:等差數列的首項為a1,公差為d,則其通項公式an=a1+(n-1)d,前n項和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2;等比數列的首項為a1,公比為q,則其通項公式an=a1pn-1,當公比q1時(shí),前n項和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q),當公比q=1時(shí),前n項和公式Sn=na1.在數列的基礎性試題中,等差數列,等比數列的這幾個(gè)公式是解題的根本,用錯了公式,解題就失去了方向.
15易錯點(diǎn):an,Sn關(guān)系不清致誤
錯因分析:在數列問(wèn)題中,數列的通項an與其前n項和Sn之間存在關(guān)系：
這個(gè)關(guān)系是對任意數列都成立的,但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的,在n=1和n2時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現形式,這也是解題中經(jīng)常出錯的一個(gè)地方.在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要牢牢記住其分段的特點(diǎn).
當題目中給出了數列{an}的an與Sn之間的關(guān)系時(shí),這兩者之間可以進(jìn)行相互轉換,知道了an的具體表達式可以通過(guò)數列求和的方法求出Sn,知道了Sn可以求出an,解題時(shí)要注意體會(huì )這種轉換的相互性.
16易錯點(diǎn):對等差,等比數列的性質(zhì)理解錯誤
錯因分析:等差數列的前n項和在公差不為0時(shí)是關(guān)于n的常數項為0的二次函數.
一般地,有結論若數列{an}的前N項和Sn=an2+bn+c(a,b，cR),則數列{an}為等差數列的充要條件是c=0在等差數列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(mN*)是等差數列.
解決這類(lèi)題目的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問(wèn)題要全面,把各種可能性都考慮進(jìn)去,認為正確的命題給以證明,認為不正確的命題舉出反例予以駁斥.在等比數列中公比等于-1時(shí)是一個(gè)很特殊的情況,在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意這個(gè)特殊情況.
17易錯點(diǎn):數列中的最值錯誤
錯因分析:數列的通項公式,前n項和公式都是關(guān)于正整數的函數,要善于從函數的觀(guān)點(diǎn)認識和理解數列問(wèn)題.
但是考生很容易忽視n為正整數的特點(diǎn),或即使考慮了n為正整數,但對于n取何值時(shí),能夠取到最值求解出錯.在關(guān)于正整數n的二次函數中其取最值的點(diǎn)要根據正整數距離二次函數的對稱(chēng)軸遠近而定.
18易錯點(diǎn):錯位相減求和時(shí)項數處理不當致誤
錯因分析:錯位相減求和法的適用環(huán)境是:數列是由一個(gè)等差數列和一個(gè)等比數列對應項的乘積所組成的,求其前n項和.基本方法是設這個(gè)和式為Sn,在這個(gè)和式兩端同時(shí)乘以等比數列的公比得到另一個(gè)和式,這兩個(gè)和式錯一位相減,得到的和式要分三個(gè)部分:
(1)原來(lái)數列的第一項;
(2)一個(gè)等比數列的前(n-1)項的和;
(3)原來(lái)數列的第n項乘以公比后在作差時(shí)出現的.在用錯位相減法求數列的和時(shí)一定要注意處理好這三個(gè)部分,否則就會(huì )出錯.
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