函數方案設計難題

函數方案設計難題

　　函數，最早由中國清朝數學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著(zhù)作《代數學(xué)》。以下是小編收集的方案設計難題，歡迎查看！

　　一次函數是最基本的函數，它與一次方程、一次不等式有密切聯(lián)系，在實(shí)際生活中有廣泛的應用。例如，利用一次函數等有關(guān)知識可以在某些經(jīng)濟活動(dòng)中作出具體的方案決策。近幾年來(lái)一些省市的中考或競賽試題中出現了這方面的應用題，這些試題新穎靈活，具有較強的時(shí)代氣息和很強的選拔功能。

　　1．生產(chǎn)方案的設計

　　例1  某工廠(chǎng)現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。

　　(1)要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數，有哪幾種方案?請你設計出來(lái)；

　　(2)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤是y(元)，其中一種的生產(chǎn)件數是x，試寫(xiě)出y與x之間的函數關(guān)系式，并利用函數的性質(zhì)說(shuō)明(1)中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?

　　(98年河北)

　　解  (1)設安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品是(50-x)件。由題意得

　　解不等式組得         30≤x≤32。

　　因為x是整數，所以x只取30、31、32，相應的(50-x)的值是20、19、18。

　　所以，生產(chǎn)的方案有三種，即第一種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；第二種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；第三種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件。

　　(2)設生產(chǎn)A種產(chǎn)品的件數是x，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數是50-x。由題意得

　　y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)

　　因為 -500<0,   所以  此一次函數y隨x的增大而減小，

　　所以  當x=30時(shí)，y的值最大。

　　因此，按第一種生產(chǎn)方案安排生產(chǎn)，獲總利潤最大，最大利潤是：-500·3+6000=4500(元)。

　　本題是利用不等式組的知識，得到幾種生產(chǎn)方案的設計，再利用一次函數性質(zhì)得出最佳設計方案問(wèn)題。

　　2.調運方案設計

　　例2  北京某廠(chǎng)和上海某廠(chǎng)同時(shí)制成電子計算機若干臺，北京廠(chǎng)可支援外地10臺，上海廠(chǎng)可支援外地4臺，現在決定給重慶8臺，漢口6臺。如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是4百元/臺、8百元/臺，從上海運往漢口、重慶的運費分別是3百元/臺、5百元/臺。求：

　　(1)若總運費為8400元，上海運往漢口應是多少臺?

　　(2)若要求總運費不超過(guò)8200元，共有幾種調運方案?

　　(3)求出總運費最低的調運方案，最低總運費是多少元?

　　解  設上海廠(chǎng)運往漢口x臺，那么上海運往重慶有(4-x)臺，北京廠(chǎng)運往漢口(6-x)臺，北京廠(chǎng)運往重慶(4+x)臺，則總運費W關(guān)于x的一次函數關(guān)系式：

　　W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。

　　(1) 當W=84(百元)時(shí)，則有76+2x=84,解得x=4。

　　若總運費為8400元，上海廠(chǎng)應運往漢口4臺。

　　(2) 當W≤82(元)，則

　　解得0≤x≤3，因為x只能取整數，所以x只有四種可的能值：0、1、2、3。

　　答：若要求總運費不超過(guò)8200元，共有4種調運方案。

　　(3) 因為一次函數W=76+2x隨著(zhù)x的增大而增大，又因為0≤x≤3，所以當x=0時(shí)，函數W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低總運費是7600元。

　　此時(shí)的調運方案是：上海廠(chǎng)的4臺全部運往重慶；北京廠(chǎng)運往漢口6臺，運往重慶4臺。

　　本題運用了函數思想得出了總運費W與變量x的一般關(guān)系，再根據要求運用方程思想、不等式等知識解決了調運方案的設計問(wèn)題。并求出了最低運費價(jià)。

　　3．營(yíng)方案的設計

　　例3某新建商場(chǎng)設有百貨部、服裝部和家電部三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，共有190名售貨員，計劃全商場(chǎng)日營(yíng)業(yè)額(指每日賣(mài)出商品所收到的總金額)為60萬(wàn)元。由于營(yíng)業(yè)性質(zhì)不同，分配到三個(gè)部的售貨員的人數也就不等，根據經(jīng)驗，各類(lèi)商品每1萬(wàn)元營(yíng)業(yè)額所需售貨員人數如表1，每1萬(wàn)元營(yíng)業(yè)額所得利潤情況如表2。

　　商場(chǎng)將計劃日營(yíng)業(yè)額分配給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部，設分配給百貨部、服裝部和家電部的營(yíng)業(yè)額分別為x(萬(wàn)元)、y(萬(wàn)元)、z(萬(wàn)元)(x,y,z都是整數)。

　　(1) 請用含x的代數式分別表示y和z；

　　(2) 若商場(chǎng)預計每日的總利潤為C(萬(wàn)元)，且C滿(mǎn)足19≤C≤19.7，問(wèn)這個(gè)商場(chǎng)應怎樣分配日營(yíng)業(yè)額給三個(gè)經(jīng)營(yíng)部?各部應分別安排多少名售貨員?

　　解  (1)由題意得 ，解得

　　(2)  C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。

　　因為  19≤C≤19.7，  所以  9≤-0.35x+22.5≤19.7，解得  8≤x≤10。

　　因為  x,y,z是正整，且x為偶數，所以  x=8或10。

　　當x=8時(shí)，y=23,z=29，售貨員分別為40人，92人，58人；

　　當x=10時(shí)，y=20,z=30，售貨員分別為50人，80人，60人。

　　本題是運用方程組的知識，求出了用x的代數式表示y、z，再運用不等式和一次函數等知識解決經(jīng)營(yíng)調配方案設計問(wèn)題。

　　4．優(yōu)惠方案的設計

　　例4  某校校長(cháng)暑假將帶領(lǐng)該校市級“三好生”去北京旅游。甲旅行社說(shuō)：“如果校長(cháng)買(mǎi)全票一張，則其余學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)待�！币衣眯猩缯f(shuō)：“包括校長(cháng)在內，全部按全票價(jià)的6折(即按全票價(jià)的60%收費)優(yōu)惠�！比羧�票價(jià)為240元。

　　(1)設學(xué)生數為x，甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙，分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式)；

　　(2)當學(xué)生數是多少時(shí)，兩家旅行社的收費一樣；

　　(3)就學(xué)生數x討論哪家旅行社更優(yōu)惠。

　　解  (1)y甲=120x+240,  y乙=240·60%(x+1)=144x+144。

　　(2)根據題意，得120x+240=144x+144,  解得  x=4。

　　答：當學(xué)生人數為4人時(shí)，兩家旅行社的收費一樣多。

　　(3)當y甲>y乙，120x+240>144x+144，  解得  x<4。

　　當y甲<y乙,120x+240<144x+144, x="">4。

　　答：當學(xué)生人數少于4人時(shí)，乙旅行社更優(yōu)惠；當學(xué)生人數多于4人時(shí)，甲旅行社更優(yōu)惠；本題運用了一次函數、方程、不等式等知識，解決了優(yōu)惠方案的設計問(wèn)題。

　　綜上所述，利用一次函數的圖象、性質(zhì)及不等式的整數解與方程的有關(guān)知識解決了實(shí)際生活中許多的方案設計問(wèn)題，如果學(xué)生能切實(shí)理解和掌握這方面的知識與應用，對解決方案問(wèn)題的數學(xué)題是很有效的。

　　練習

　　1．某童裝廠(chǎng)現有甲種布料38米，乙種布料26米，現計劃用這兩種布料生產(chǎn)L、M兩種型號的童裝共50套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利潤30元。設生產(chǎn)L型號的童裝套數為x，用這批布料生產(chǎn)這兩種型號的童裝所獲利潤為y(元)。

　　(1)寫(xiě)出y(元)關(guān)于x(套)的函數解析式；并求出自變量x的取值范圍；

　　(2)該廠(chǎng)在生產(chǎn)這批童裝中，當L型號的童裝為多少套時(shí)，能使該廠(chǎng)所獲的利潤最大?最大利潤為多少?

　　2．A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現要把化肥運往C、D兩農村，如果從A城運往C、D兩地運費分別是20元/噸與25元/噸，從B城運往C、D兩地運費分別是15元/噸與22元/噸，現已知C地需要220噸，D地需要280噸，如果個(gè)體戶(hù)承包了這項運輸任務(wù)，請幫他算一算，怎樣調運花錢(qián)最小?

　　3．下表所示為裝運甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤。某汽車(chē)運輸公司計劃裝運甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷(xiāo)售(每輛汽車(chē)按規定滿(mǎn)載，并且每輛汽車(chē)只裝一種蔬菜)

　　(2)公司計劃用20輛汽車(chē)裝運甲、乙、丙三種蔬菜36噸到B地銷(xiāo)售(每種蔬菜不少于一車(chē))，如何安排裝運，可使公司獲得最大利潤?最大利潤是多少?  (1)若用8輛汽車(chē)裝運乙、丙兩種蔬菜11噸到A地銷(xiāo)售，問(wèn)裝運乙、丙兩種蔬菜的汽車(chē)各多少輛?

　　4．有批貨物，若年初出售可獲利2000元，然后將本利一起存入銀行。銀行利息為10%，若年末出售，可獲利2620元，但要支付120元倉庫保管費，問(wèn)這批貨物是年初還是年末出售為好?

　　答案：

　　1. (1) y=15x+1500；自變量x的取值范圍是18、19、20。

　　(2) 當x=20時(shí)，y的最大值是1800元。

　　2. 設A城化肥運往C地x噸，總運費為y元，則y=2x+10060  (0≤x≤200)，

　　當x=0時(shí)，y的最小值為10060元。

　　3. (1) 應安排2輛汽車(chē)裝運乙種蔬菜，6輛汽車(chē)裝運丙種蔬菜。

　　(2) 設安排y輛汽車(chē)裝運甲種蔬菜，z輛汽車(chē)裝運乙種蔬菜，則用［20-(y+z)］輛汽車(chē)裝運丙種蔬菜。

　　得  2y+z+1.5［20-(y+z)］=36，化簡(jiǎn)，得   z=y-12，所以  y-12=32-2y。

　　因為  y≥1， z≥1， 20-(y+z)≥1，所以  y≥1， y-12≥1， 32-2y≥1，

　　所以          13≤y≤15.5。

　　設獲利潤S百元，則S=5y+108，

　　當y=15時(shí)，S的最大值是183，z=y-12=3， 20-(y+z)=2。

　　4. (1) 當成本大于3000元時(shí)，年初出售好；

　　(2) 當成本等于3000元時(shí)，年初、年末出售都一樣；

　　(3) 當成本小于3000元時(shí)，年末出售好。