高中數學(xué)公式：積化和差公式

高中數學(xué)公式：積化和差公式

　　積化和差，指初等數學(xué)三角函數部分的一組恒等式。

　　公式

　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的負號】

　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　證明

　　法1

　　積化和差恒等式可以通過(guò)展開(kāi)角的和差恒等式的右手端來(lái)證明。

　　即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開(kāi)就能證明：

　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

　　=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。

　　(該證明法逆向推導可用于和差化積的計算，參見(jiàn)和差化積)

　　法2

　　根據歐拉公式，e^ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

　　記憶方法

　　積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了特點(diǎn)各自的簡(jiǎn)單記憶方法。

　　【1】這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是

　　[-2,2]，而積的值域確是[-1,1]，因此除以2是必須的。

　　也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶，因為展開(kāi)兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數2，如：

　　cos(α-β)-cos(α+β)

　　=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

　　=2sinαsinβ

　　故最后需要除以2。

【高中數學(xué)公式：積化和差公式】相關(guān)文章：

數學(xué)公式口訣速記02-03

小學(xué)有關(guān)形狀的數學(xué)公式08-15

初中數學(xué)公式定理大全10-09

初中數學(xué)公式定理總結07-03

高考理科數學(xué)公式定律總結07-04

初一數學(xué)公式總結11-24

關(guān)于廣州恒大內涵的數學(xué)公式海報，有哪些有趣的故事？07-11

四年級下學(xué)期數學(xué)公式04-15

怎樣預防和減少汽車(chē)積碳07-03

電磁振蕩和電磁波高中物理復習公式總結07-03