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淺談數學(xué)的創(chuàng )新能改變人們的哲學(xué)觀(guān)念
哲學(xué)其實(shí)不神秘,不過(guò)是人們對世界的一些根本看法而已,每個(gè)人都有自己的哲學(xué)觀(guān)念,只是概括水平和系統性不同。這個(gè)世界的根本是物質(zhì)還是精神?人怎樣才能認識世界?人活著(zhù)的意義是什么?數學(xué)的根本特點(diǎn)是什么?數學(xué)新課程理念的根本依據是什么?這些都是哲學(xué)性的問(wèn)題。
人們的哲學(xué)觀(guān)念會(huì )隨著(zhù)時(shí)代改變而改變——數學(xué)的創(chuàng )新則能推動(dòng)這種改變,比如下面的幾個(gè)故事。
故事1:算術(shù)計算的法則不是絕對真理,會(huì )變。
古人認為算術(shù)計算的法則是絕對真理:古希臘的畢達哥拉斯相信“宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比”;偉大的古希臘哲學(xué)家和教育家柏拉圖則說(shuō)“整個(gè)算術(shù)和計算……就是我們所追求的那種學(xué)問(wèn),……哲學(xué)家……必須是個(gè)算術(shù)家�！阈g(shù)……迫使靈魂用抽象的數來(lái)進(jìn)行推理,而厭棄在辯論中引入可見(jiàn)和可捉摸的對象”(克萊因《古今數學(xué)思想》第1冊第37頁(yè)和49-50頁(yè));古中國人(也許還包括您)也有對數和算術(shù)的某種迷信,老子說(shuō)“道生一,一生二,二生三,三生萬(wàn)物”,以及對5的迷信(五行說(shuō))、對6的迷信(六六大順)、對8的迷信(周易八卦)、對9的迷信(九九歸一)、對10的迷信(十全十美)……等等。
但這些的確是迷信,比如1+1吧,隨著(zhù)數學(xué)創(chuàng )造的增加,其法則和計算結果就都在變:
最初人們只知道正數和零,于是1+1絕對等于2;后來(lái)創(chuàng )造了負數,1+1的結果就增加了一種,正1加負1等于零;再后來(lái)又創(chuàng )造了復數,于是又增加了一種新結果,往東走1公里再往南走1公里,合計是往東南方向走了√2公里;不久前還創(chuàng )造了集合運算(布爾代數),1個(gè)非空集合加另1個(gè)非空集合(求并集)有有三種可能結果——等于2(并集元素是兩集合元素匯總)、等于1(并集元素就是其中某一集合的元素)、等于1點(diǎn)幾(并集元素是兩集合元素總體的一部分,重復的各元素只保留一個(gè))……
可見(jiàn):從哲學(xué)上說(shuō),沒(méi)什么絕對真理,真理都是相對的;從數學(xué)教學(xué)上說(shuō),數學(xué)模型是多樣化的,應支持和鼓勵學(xué)生自主選擇。
故事2:那么歐氏幾何是絕對真理嗎?
中小學(xué)幾何都屬于歐氏幾何,沒(méi)人不贊賞它的清晰、嚴謹,但它是絕對真理嗎?
古希臘歐幾里得創(chuàng )立的幾何體系權威性十足,后人(也許還包括您)對它極為崇拜,相信“數學(xué)定律和歐幾里得幾何一樣,是宇宙設計中所固有的”,“物質(zhì)世界必然是歐幾里得式的”(《古今數學(xué)思想》第3冊第278頁(yè))。
其實(shí)不然!歷史上一直有數學(xué)家懷疑歐氏幾何的絕對正確,尤其19世紀創(chuàng )立的非歐幾何更打破了對歐氏幾何的迷信:第一,羅巴切夫斯基和黎曼的另兩種非歐幾何體系同樣合理!第二,事實(shí)上歐氏幾何的適應面也不大——在地球上尤其是宇宙空間里到處存在的曲面上都非得用非歐幾何不可!
可見(jiàn):從一般哲學(xué)來(lái)說(shuō),沒(méi)什么絕對真理,真理都是相對的;從數學(xué)哲學(xué)來(lái)說(shuō),數學(xué)其實(shí)就是一群方法(數學(xué)思想方法),只要能解決問(wèn)題,學(xué)生喜歡用哪種就用哪種。
故事3:一定的原因必然導致一定的結果嗎?
數學(xué)頭幾千年的內容都是必然性數學(xué),比如算術(shù)、代數和歐氏幾何,在給定的條件下,算法確定、結果唯一。至今中小學(xué)數學(xué)的內容仍然絕大部分是這種必然性數學(xué)。
這種情形無(wú)疑會(huì )熏陶出古人的決定論觀(guān)念:一定的原因必然導致一定的結果——我估計今天絕大多數人仍持這種觀(guān)念。
其實(shí)歷史上早有許多學(xué)者懷疑決定論,而源起于16世紀的概率論(它超越了必然性數學(xué)而開(kāi)辟了或然性數學(xué))則極大支持了這種懷疑:看穿了的話(huà),世界上的事情幾乎都不是必然性事件而是或然性事件——即使明白它的原因,其結果也有多種可能,只不過(guò)各自發(fā)生的概率不同。舉個(gè)最通俗的例子:太陽(yáng)明早必然升起嗎?非也!用宇宙學(xué)的時(shí)間尺度來(lái)看,原本沒(méi)有什么太陽(yáng)和地球,而它們后來(lái)的生成則大含偶然性,遺傳學(xué)又告訴我們人類(lèi)的形成也飽含偶然性,所以“您看見(jiàn)明天太陽(yáng)照樣升起”這件事從宏觀(guān)上看還是個(gè)或然性事件——還何況說(shuō)不定今晚就有一個(gè)超大隕石把地球撞沒(méi)了讓你再也看不到太陽(yáng)了呢!
于是,今天的科學(xué)家、哲學(xué)家不得不接受“世界是或然性的”這一新觀(guān)念,不再迷信所謂的“必然規律”,而提出“統計規律”的新概念——任何“規律”的作用結果都有多種可能,各種可能的發(fā)生并非必然而只有一定的概率。
用這種哲學(xué)觀(guān)念來(lái)指導數學(xué)教學(xué),我們就能更深刻地理解,為什么新課標力主讓學(xué)生自主、探究和創(chuàng )造,而反對死記硬背定理、公式。
故事4:掌握了演繹論證思想方法就足以學(xué)好數學(xué)嗎?
古希臘人本來(lái)就有濃烈的理性精神,這催生了公理化的、用演繹論證一而貫之的歐氏幾何,歐氏幾何又反過(guò)來(lái)強化了他們的理性精神,促成了唯理論在西方哲學(xué)史上的長(cháng)期統治地位。
理性精神強烈本沒(méi)錯,但過(guò)分了就會(huì )步入歧途——否定、排斥感性與直覺(jué)的力量。幸而20世紀的數學(xué)創(chuàng )新來(lái)了個(gè)糾偏。
20世紀數學(xué)最重大的研究是尋求整個(gè)數學(xué)的基礎,企圖為它建立一勞永逸的嚴密體系,而很多大數學(xué)家都主張建立公理化的、靠演繹邏輯維系的體系。這一研究成就巨大,但最終卻失望了:德國數學(xué)家哥德?tīng)栕C明,任何演繹邏輯系統,要么不可能完整、要么內部會(huì )出現自己證明不了的命題!
這意味著(zhù):第一,哲學(xué)上的唯理論有片面性,要真正認識復雜至極的世界,光靠理性不夠,還要靠感性;第二,數學(xué)不能只靠演繹思維,還要靠歸納思維、類(lèi)比思維及感性意義的直覺(jué)——于是你能更深刻地理解,新數學(xué)課標之所以對演繹論證、歸納、類(lèi)比、數感、感悟和領(lǐng)悟等等一并提倡,是有深刻的現代哲學(xué)依據的。
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