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關(guān)于幾何平均數的意義和用途
根據資料的條件不同，幾何平均數有加權和不加權之分。中國古代數學(xué)書(shū)中提到的矩形面積時(shí)往往用長(cháng)寬的幾何平均數來(lái)表示。本文小編精心收集的幾何平均數的意義，僅供參考！
我們知道算術(shù)平均數，(a+b)/2,體現純粹數字上的關(guān)系，
而根號ab,稱(chēng)為幾何平均數，這個(gè)體現了一個(gè)幾何關(guān)系，
作一正方形，使其面積等于以a,b為長(cháng)寬的矩形，則該正方形的邊長(cháng)即為a、b的幾何平均數
中國古代數學(xué)書(shū)中提到的矩形面積時(shí)往往用長(cháng)寬的幾何平均數來(lái)表示。
計算幾何平均數要求各觀(guān)察值之間存在連乘積關(guān)系，它的主要用途是：
1、對比率、指數等進(jìn)行平均;
2、計算平均發(fā)展速度;
其中：樣本數據非負，主要用于對數正態(tài)分布。
3、復利下的平均年利率;
4、連續作業(yè)的車(chē)間求產(chǎn)品的平均合格率。
【延伸閱讀】
調和平均數的意義
�、僬{和平均數易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大。
�、谥灰幸粋�(gè)標志值為0，就不能計算調和平均數。
�、郛斀M距數列有開(kāi)口組時(shí)，其組中值即使按相鄰組距計算，假定性也很大，這時(shí)的調和平均數的代表性很不可靠。
�、苷{和平均數應用的范圍較小。在實(shí)際中，往往由于缺乏總體單位數的資料而不能直接計算算術(shù)平均數，這時(shí)需用調和平均法來(lái)求得平均數。
加權平均數的意義
加權平均數的概念在描述統計學(xué)中具有重要的意義，并且在其他數學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了更一般的形式。
如果所有的權重相同且等于一，那么加權平均數與算術(shù)平均數相同。加權平均數作為算術(shù)平均數的更廣義的表現形式，加權平均數具有一些看起來(lái)違反常理的性質(zhì)，例如辛普森悖論。
術(shù)語(yǔ)加權平均數通常指的是加權算術(shù)平均數，但是其他平均數的加權版本也可以計算出來(lái)，例如加權幾何平均數和加權調和平均數。
算術(shù)平均數的意義
�、偎阈g(shù)平均數是一個(gè)良好的集中量數，具有反應靈敏、確定嚴密、簡(jiǎn)明易解、計算簡(jiǎn)單、適合進(jìn)一步演算和較小受抽樣變化的影響等優(yōu)點(diǎn)。
�、谒阈g(shù)平均數易受極端數據的影響，這是因為平均數反應靈敏，每個(gè)數據的或大或小的變化都會(huì )影響到最終結果。
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拓展
教學(xué)指導思想：新的教學(xué)理念下課堂教學(xué)已經(jīng)是一個(gè)多維度多中心的整體。教師學(xué)生都是參與課堂的主體，而教學(xué)設計與實(shí)驗則是課堂的載體，它將調度師生共同參與教學(xué)活動(dòng)，并在參與中盡量獲取知識與能力上的探討，共鳴與思維能力的升華與內化。教學(xué)應該揭示事物發(fā)展規律的呈現，注重學(xué)生把數學(xué)問(wèn)題取之生活，用之生活。 本案將從現實(shí)中提取生活素材，引導學(xué)生在生活去發(fā)現問(wèn)題，提煉猜想歸納，分析解決，得出事物或者問(wèn)題發(fā)展規律；在此過(guò)程中學(xué)生得到的是自身發(fā)現能力的挖掘，建構模型的開(kāi)發(fā)，問(wèn)題解決能力的提高以及綜合創(chuàng )新與創(chuàng )造力的潛能訓練，這將有利于學(xué)生的素質(zhì)和終身學(xué)習能力的培養。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
算術(shù)平均數與幾何平均數是不等式這一章的核心，對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等應用問(wèn)題都起到工具性作用。通過(guò)本章的學(xué)習有利于學(xué)生對后面不等式的證明及前面函數的一些最值值域進(jìn)一步研究，起到承前啟后的作用。
2、教學(xué)內容
本節課的主要教學(xué)內容是通過(guò)現實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數學(xué)實(shí)驗猜想，構造數學(xué)模型，得到均值不等式；并通過(guò)在學(xué)習算術(shù)平均數與幾何平均數的定義基礎上，理解均值不等式的幾何解釋?zhuān)慌c此同時(shí)在推理論證的基礎上學(xué)會(huì )應用。
3、教學(xué)目標
教學(xué)目標是基于對教材，教學(xué)大綱和學(xué)生學(xué)情的分析相應制定的。在新課程理念的指導下，更為關(guān)注學(xué)生的合作交流能力的培養，關(guān)注學(xué)生探究問(wèn)題的習慣和意識的培養。因此，結合本節課內容與實(shí)驗，設計本節課教學(xué)目標如下：
知識與技能：對于算術(shù)平均數與幾何平均數的理解以及定理的掌握；
過(guò)程與方法：通過(guò)情景設置提出問(wèn)題，揭示課題，培養學(xué)生主動(dòng)探究新知的習慣；引導學(xué)生通過(guò)問(wèn)題設計，模型轉化，類(lèi)比猜想實(shí)現定理的發(fā)現，體驗知識與規律的形成過(guò)程；通過(guò)模型對比，多個(gè)角度，多種方法求解，拓寬學(xué)生的思路，優(yōu)化學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生綜合創(chuàng )新與創(chuàng )造能力。
情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)： 培養學(xué)生生活問(wèn)題數學(xué)化，并注重運用數學(xué)解決生活中實(shí)際問(wèn)題的習慣，有利于數學(xué)生活化，大眾化；同時(shí)通過(guò)學(xué)生自身的探索研究領(lǐng)略獲取新知的喜悅。
教學(xué)重點(diǎn)： 算術(shù)平均數與幾何平均數的理解以及定理的掌握；
教學(xué)難點(diǎn)：算術(shù)平均數與幾何平均數以及定理發(fā)現探索過(guò)程的構建及應用；
教學(xué)關(guān)鍵：學(xué)生對于實(shí)驗的實(shí)踐及函數模型的構建。
教學(xué)模式：探究式 合作式
二、學(xué)情分析
學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，高中的學(xué)生已經(jīng)具有較好的邏輯思維能力，因此他們希望能夠自己探索，發(fā)現問(wèn)題和解決問(wèn)題�，F在經(jīng)歷課改的學(xué)生不僅僅停留在接受學(xué)習的框框內，他們更需要充滿(mǎn)活力與創(chuàng )造發(fā)現的課堂。課堂實(shí)驗可能存在問(wèn)題：對EXEL軟件不夠熟練。對于模型構造思路不夠清晰。
三、教法分析
不同于傳統的講授課，基于數學(xué)實(shí)驗的教學(xué)實(shí)踐課，教師的教應有瞻前性，應該在實(shí)驗課前讓學(xué)生對于軟件的應用有充分的準備，并進(jìn)行分組討論得到數學(xué)模型。依據前蘇聯(lián)教育家贊可夫"問(wèn)題教學(xué)法"確定本堂課所采用的教學(xué)方法是"生活中發(fā)現問(wèn)題，實(shí)驗中分析問(wèn)題，設計中解決問(wèn)題，總結問(wèn)題，論證后延拓問(wèn)題"五環(huán)節教學(xué)方法，運用這種教學(xué)方法能更好地使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗的發(fā)生，發(fā)展和"再創(chuàng )造"的全過(guò)程，主動(dòng)地吸收新知識的精髓。
四、學(xué)法指導
新的教學(xué)理念下課堂教學(xué)已經(jīng)是一個(gè)多維度多中心的整體。教師學(xué)生都是參與課堂的主體，而教學(xué)設計與實(shí)驗則是課堂的載體，它將調度師生共同參與教學(xué)活動(dòng)，并在參與中盡量獲取知識與能力上的探討，共鳴與思維能力的升華與內化。教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)。學(xué)是中心，會(huì )學(xué)是目的。因此，在教學(xué)中要不斷指導學(xué)生學(xué)會(huì )學(xué)習。根據數學(xué)實(shí)驗課的教學(xué)特點(diǎn)，這節課主要是教給學(xué)生"動(dòng)手做，動(dòng)腦想；多訓練，多實(shí)踐。"的研討式學(xué)習方法。這樣做，增加了學(xué)生主動(dòng)參與的機會(huì )，增強了參與意識，教給學(xué)生獲取知識的途徑，思考問(wèn)題的方法，使學(xué)生真正成為教學(xué)的主體。通過(guò)這樣使學(xué)生"學(xué)"有新"思"，"思"有所"得"，"練"有所"獲"。學(xué)生才會(huì )學(xué)習數學(xué)中體驗發(fā)現的成就感，從而提高學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣；在此過(guò)程中，學(xué)生學(xué)會(huì )了交流合作，并學(xué)以致用，才能適應素質(zhì)教育下培養"創(chuàng )新型"人才的需要。
五、實(shí)驗內容與實(shí)驗程序：
問(wèn)題：元旦晚會(huì )我們學(xué)校即將舉行游園活動(dòng)，每個(gè)班級有一條20米長(cháng)的紅絲帶在燈光球場(chǎng)圍成一矩形的場(chǎng)地活動(dòng)，請問(wèn)大家應該怎么圍才能使我們班級的場(chǎng)地面積最大
1問(wèn)題提煉：（用數學(xué)語(yǔ)言表達）
2實(shí)驗步驟：
A 請根據題目要求選擇整數長(cháng)度為邊，按照制圖方法繪制5個(gè)矩形，并比較面積
B 把上面的矩形按照邊長(cháng)與面積的不同列表歸納
長(cháng)度（m）
寬度 （m）
面積 （）
C 根據以上表格數據，請用exel軟件作出柱狀圖，并思考以下問(wèn)題：
�。�1）在邊長(cháng)變化過(guò)程中，面積的大小變化情況與趨勢
�。�2）由這種趨勢請同學(xué)們自己猜想總結一個(gè)結論。
3 實(shí)驗的感言與進(jìn)一步構造數學(xué)模型的思考。
六、教學(xué)流程
1，生活問(wèn)題創(chuàng )設情景：通過(guò)生活問(wèn)題設置情景并構建實(shí)驗
2，構建模型解決問(wèn)題：學(xué)生通過(guò)合作討論構建函數及不等式解決問(wèn)題并發(fā)現均值不等式
3，定理總結結論表述：用數學(xué)語(yǔ)言表達均值不等式并用文字語(yǔ)言總結陳述
4，定理論證課堂練習：用幾何與代數方法分別論證結論并進(jìn)行課堂練習
5，學(xué)習感言教學(xué)小結：由學(xué)生發(fā)表學(xué)習感言，老師總結本堂課的學(xué)習過(guò)程與學(xué)習方法。學(xué)習過(guò)程：發(fā)現問(wèn)題――實(shí)驗猜想――構建模型――發(fā)現規律――論證再運用；學(xué)習方法：協(xié)作探討，自主實(shí)驗，猜想證明，發(fā)現應用。
七、教學(xué)反饋評價(jià)
本節課利用生活問(wèn)題設計數學(xué)實(shí)驗，是現階段新課程改革的新試點(diǎn)，是學(xué)生進(jìn)行數學(xué)研究性學(xué)習與自主學(xué)習的一重要手段與途徑。
本節課通過(guò)生活問(wèn)題的合作交流探討，學(xué)生學(xué)習方式有了新的改變；在實(shí)驗的構造過(guò)程，學(xué)生的自主性，實(shí)踐性，創(chuàng )造性得到鍛煉與提高；在實(shí)驗過(guò)程中學(xué)生的分工合作精神更是得到充分的考驗與體現，學(xué)生學(xué)會(huì )了合作與分享；通過(guò)對數學(xué)模型的構建，學(xué)生更加體會(huì )進(jìn)行自主研究，合作學(xué)習的樂(lè )趣，同時(shí)培養了學(xué)生創(chuàng )新精神與發(fā)現能力。
當然本節課的一個(gè)突出點(diǎn)在于從書(shū)本某一個(gè)知識作為切入點(diǎn)構造生活問(wèn)題，設計數學(xué)實(shí)驗，創(chuàng )造性地對教材進(jìn)行再利用，再編改。使得學(xué)生在課堂，課外自主學(xué)習與接受知識的方法途徑更加多樣，參與課堂的方式更加深入，更容易通過(guò)自己探究體驗發(fā)現的樂(lè )趣。這是傳統教學(xué)所沒(méi)辦法達到的。
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