高中數學(xué)二次函數解題技巧

高中數學(xué)二次函數解題技巧

　　數形結合

　　數形結合的方法，就是將數字與圖形二者進(jìn)行相互變換，不僅可以把問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單，而且可以把抽象的問(wèn)題變得更加具體，這種方法在數學(xué)的學(xué)習過(guò)程中經(jīng)常用到.通過(guò)對二次函數的定義以及性質(zhì)進(jìn)行學(xué)習，我們了解到它的圖像是一個(gè)拋物線(xiàn)，并且它的圖像還具有非常多的特殊性。

　　例如，它具有對稱(chēng)性、單調性等等，我們在對二次函數求解的過(guò)程中，可以充分地利用它的圖像所具有的這些性質(zhì)，它不僅可以把復雜的二次函數變得更加的簡(jiǎn)單，而且可以把二次函數變得更加直觀(guān).拋物線(xiàn)具有的對稱(chēng)性是一個(gè)非常重要的解題思路.二次函數圖像的對稱(chēng)軸一般與y軸平行或者重合;它的另一大特性是連續性，并且與其對應的方程最多只能夠有兩個(gè)實(shí)根，因此就會(huì )產(chǎn)生一個(gè)區間，這可以為我們的解題帶來(lái)很多方便.在解題的過(guò)程中還可以利用二次函數的單調性，這也是經(jīng)常用到的方法。

　　代數推理

　　眾所周知，二次函數的函數式是y = ax2 + bx + c，觀(guān)察其函數式非常的簡(jiǎn)單，而與其對應的拋物線(xiàn)圖像卻比較容易發(fā)生變形，例如，在其中會(huì )有一般式、頂點(diǎn)式以及零點(diǎn)式等等，因此，在解決二次函數問(wèn)題的過(guò)程中，其函數式會(huì )得到非常廣泛的應用。

　　在二次函數的函數式y = ax2 + bx + c中，具有三個(gè)變量a，b，c，在確定這三個(gè)變量時(shí)一定要給出三個(gè)相互獨立的條件，有一些時(shí)候將所給出的條件全部應用完成之后還不能夠得出三個(gè)變量的值，這時(shí)我們就要使用逆向思維，看給出的條件中是否含有隱含條件，我們不能夠被其中的假象迷惑;我們還應該學(xué)會(huì )利用二次函數與方程根之間具有的關(guān)系，寫(xiě)出它的頂點(diǎn)式，我們可以對二次函數進(jìn)行假設，對其圖像進(jìn)行描繪;然后使用函數所具有的一些性質(zhì)對其進(jìn)行限制，并且在對頂點(diǎn)式進(jìn)行運用的過(guò)程中要非常的靈活.頂點(diǎn)式看著(zhù)比較復雜，而其中最簡(jiǎn)單的就是它，在此過(guò)程中充分的利用頂點(diǎn)式，最后一定會(huì )找到答案。

　　二次函數的問(wèn)題靈活多變，在題目中稍稍改變一下各項的系數(a、b、c)，就可能會(huì )改變函數的開(kāi)口方向、對稱(chēng)軸、二次方程的根(x1、x2)的情況;改變一下定義域的取值，就會(huì )影響到二次函數的最值y。這樣貌似一樣的題目，就變成了一個(gè)新題，會(huì )產(chǎn)生很多的不同。從這個(gè)角度上講，二次函數的題目是永遠做不完的，所以要在做題的過(guò)程中不斷地強化對于知識點(diǎn)的認識，摸清其內部的思路，學(xué)會(huì )舉一反三，這樣才能夠提高上課的效率，做學(xué)習的主人。學(xué)會(huì )舉一反三同樣需要在大量的做題和思考之后，這對于學(xué)生的思考能力也有著(zhù)較高的要求，在具體的學(xué)習活動(dòng)中不斷地摸索二次函數的學(xué)習規律，才能夠加強對于二次函數的認識。

　　注重二次函數圖像的學(xué)習和認識

　　對于二次函數的學(xué)習，尤其需要注意的一點(diǎn)就是對于圖像的認識和使用。首先將二次函數畫(huà)出來(lái)能夠較為直觀(guān)地反映出函數本身的特點(diǎn)，如開(kāi)口方向、對稱(chēng)抽、與坐標軸的交點(diǎn)情況等。圖像的使用對于認識二次函數有較大的幫助作用，尤其是在總結和歸納知識點(diǎn)的過(guò)程中，函數圖像能夠很直觀(guān)地折射出函數的性質(zhì)。二次函數的圖像實(shí)則展現的是一種數學(xué)上的美感，完美圖形的展示，顯示了幾何圖像本身無(wú)與倫比的美�？梢哉f(shuō)二次函數的圖像不僅僅是數學(xué)學(xué)習和解題的必需，更是認識數學(xué)美的途徑，它帶給學(xué)生更多的是數學(xué)美的感性認識。

　　注重開(kāi)發(fā)式教學(xué)，實(shí)現學(xué)生思維能力的培養提升

　　高中數學(xué)教學(xué)中，函數作為高中數學(xué)教學(xué)的重要部分，在教學(xué)中涉及的范圍內容不僅多，并且所占的比例范圍也比較大。二次函數作為高中數學(xué)函數教學(xué)的重要一部分，其在教學(xué)中所占的比例內容也相對比較多。因此，進(jìn)行高中數學(xué)二次函數教學(xué)所應用的教學(xué)思想以及方法也就相對較多，在實(shí)際教學(xué)中，教師應注意通過(guò)二次函數教學(xué)思想與教學(xué)方法的合理選擇應用，以實(shí)現在二次函數教學(xué)基礎上學(xué)生數學(xué)思維能力的培養提升。

　　比如，在教學(xué)中可以通過(guò)下列題目的引導解答，引導學(xué)生對二次函數的內涵與外延進(jìn)行掌握理解，同時(shí)進(jìn)行二次函數解題方式的總結思考，進(jìn)而實(shí)現數學(xué)思維能力的培養提升。已知y=ax2+bx+c，其中a>0，并且方程f(x)-x=0的兩個(gè)根x1和x2滿(mǎn)足0根據上題所給出的已知條件，在進(jìn)行該題目的計算解答中，不僅需要對題目已知與問(wèn)題進(jìn)行很好的理解，以通過(guò)二次函數的圖象與性質(zhì)變化特征，進(jìn)行題目解答，同時(shí)在該題目解答中還需要應用到數形結合和分類(lèi)討論等解題方法。

　　加強高中數學(xué)二次函數概念定義的理解認識

　　在二次函數教學(xué)中，高中數學(xué)的二次函數教學(xué)是建立在初中階段函數定義與知識教學(xué)的基礎之上的，在進(jìn)行函數知識內容的定義解釋中，是通過(guò)集合之間的相對應關(guān)系實(shí)現函數定義解釋的，與初中函數定義之間有著(zhù)一定的區別，這就使學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中對函數定義的理解不容易接受和適應。因此，進(jìn)行高中數學(xué)二次函數的教學(xué)，首先需要結合初中函數教學(xué)的定義內容，對函數教學(xué)的知識定義進(jìn)行全面透徹的理解，以便于學(xué)生學(xué)習與掌握。

　　在高中數學(xué)二次函數教學(xué)中，首先注意引導學(xué)生對初中階段所學(xué)習的二次函數定義和內容進(jìn)行復習回顧，同時(shí)與高中數學(xué)中的二次函數定義內容進(jìn)行對比，以實(shí)現進(jìn)一步理解認識，弄清楚二次函數的定義、對應關(guān)系和定義域、值域等相應內容，以便后續教學(xué)的開(kāi)展與實(shí)施。比如，在教學(xué)“已知f(x)=x2+1，要求f(2)，f(a)和f(x+1)”一題中，如果對二次函數概念定義的理解認識比較清晰，就可以看出該問(wèn)題就是一個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數代換問(wèn)題，通過(guò)自變量的代換就能夠對所求問(wèn)題進(jìn)行解答。需要注意的是，在進(jìn)行上述問(wèn)題的解答過(guò)程中，還需要引導學(xué)生理解認識二次函數的概念定義，像二次函數f(x+1)=x2+2x+2中，就不能夠將f(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數值，而應理解為自變量x+1的函數值。

　　嘗試教學(xué)法與啟發(fā)式教學(xué)并用，激發(fā)學(xué)生的概括能力

　　高中二次函數有很多規律潛在于函數的學(xué)習過(guò)程，如果只是通過(guò)教師的普通講解讓學(xué)生被動(dòng)接受，學(xué)生難以掌握知識，對于特殊解題方法的應用印象不會(huì )深刻，對于知識點(diǎn)的記憶程度不會(huì )牢固。如果在二次函數教學(xué)中采用嘗試教學(xué)法，讓學(xué)生先自行解題，發(fā)現不足或困難后通過(guò)啟發(fā)式教育，引導學(xué)生一步步求解并在這個(gè)過(guò)程中發(fā)現新的規律，通過(guò)這種方法記憶將比被動(dòng)接受更加牢固。

　　例如，對于函數零點(diǎn)個(gè)數的判斷，以y=lnx+2x-6這個(gè)函數為例，讓學(xué)生先自主進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數的判斷。大多數學(xué)生在解題的時(shí)候，求解lnx+2x-6=0這個(gè)方程來(lái)求方程的零點(diǎn)，然后求解出零點(diǎn)的個(gè)數。但是，在解題過(guò)程中，幾乎所有的學(xué)生都不能完成對這一方程的求解。學(xué)生發(fā)現問(wèn)題時(shí)，教師再適時(shí)進(jìn)行引導式的教育，讓學(xué)生求解出函數的最值，并作圖于二元坐標系中，最后按照函數與橫軸交點(diǎn)判斷出方程的零點(diǎn)個(gè)數。在這種模式下，首先讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習尋找出傳統方法中的弊端，然后通過(guò)指引式教學(xué)，讓學(xué)生逐步發(fā)現求解的特殊方法，最后加深學(xué)生的印象，同時(shí)也再次利用了數形結合的方法。

　　利用信息數據統計，加強針對性訓練

　　數學(xué)學(xué)習不是一朝一夕就能提高成績(jì)，而是需要刻苦鍛煉。二次函數由于難度大，在高中數學(xué)中占據的比重高，更需要強化訓練。在數字化的今天，高中數學(xué)的訓練不能簡(jiǎn)單進(jìn)行盲目練習，而是要根據班級的實(shí)際情況進(jìn)行有針對性地訓練，來(lái)提高學(xué)生在二次函數學(xué)習中的效果，最終達到各個(gè)班級共同進(jìn)步的目的。

　　由于國家對于教育的重視，數字化的設備走進(jìn)了學(xué)校課堂，更新了學(xué)校的教學(xué)工具。教師在平時(shí)的課堂訓練及作業(yè)測試中，要做好相應記錄，將知識有條理地分成若干模塊，對各個(gè)班級在學(xué)習時(shí)候的情況進(jìn)行統計。在二次函數教學(xué)中，教師可以根據函數的基本概念、基本初等函數、函數的應用等幾個(gè)方面進(jìn)行分類(lèi)統計，對各個(gè)班級在二次函數學(xué)習的過(guò)程中產(chǎn)生的各方面問(wèn)題進(jìn)行記錄，并在課程學(xué)習的復習前進(jìn)行相關(guān)數據的分析，根據數據制作統計圖表等，給各個(gè)班級開(kāi)出一份明確的診斷證明，并根據實(shí)際情況為各個(gè)班級設計不同的講義，讓學(xué)生有針對性地進(jìn)行強化和糾正，彌補自己的不足，最終讓各個(gè)班級都能克服弱點(diǎn)，在二次函數的學(xué)習中得到共同的進(jìn)步。

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