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《完全平方數特征》知識點(diǎn)總結
在現實(shí)學(xué)習生活中，看到知識點(diǎn)，都是先收藏再說(shuō)吧！知識點(diǎn)也可以理解為考試時(shí)會(huì )涉及到的知識，也就是大綱的分支。哪些知識點(diǎn)能夠真正幫助到我們呢？下面是小編為大家收集的《完全平方數特征》知識點(diǎn)總結，希望能夠幫助到大家。
《完全平方數特征》知識點(diǎn)總結
完全平方數特征：
1.末位數字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.約數個(gè)數為奇數;反之成立。
5.奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。
6.奇數平方個(gè)位數字是奇數;偶數平方個(gè)位數字是偶數。
7.兩個(gè)相臨整數的平方之間不可能再有平方數。
平方差公式：X2-2=(X-)(X+)
完全平方和公式：(X+)2=X2+2X+2
完全平方差公式：(X-)2=X2-2X+2
經(jīng)典例題：
例1、一個(gè)自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得
x-45=^2................(1)
x+44=n^2................(2)(,n為自然數)
(2)-(1)可得 n^2-^2=89, (n+)(n-)=89
但89為質(zhì)數，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。
例2、求證：四個(gè)連續的整數的積加上1，等于一個(gè)奇數的平方。
分析：設四個(gè)連續的整數為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數。欲證
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數的平方，只需將它通過(guò)因式分解而變成一個(gè)奇數的平方即可。
證明：設這四個(gè)整數之積加上1為，則
=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是兩個(gè)連續整數的積，所以是偶數;又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了是一個(gè)奇數的平方。
《完全平方數特征》知識點(diǎn)總結
一、完全平方數的定義
一個(gè)整數，如果它可以表示成某個(gè)整數的平方的形式，那么這個(gè)數就叫做完全平方數。例如，12=1，22=4，32=9，42=16，...等，這些數都是完全平方數。
二、完全平方數的特征
末位特征：
如果一個(gè)數的末位是0或1，那么這個(gè)數一定不是完全平方數。
如果一個(gè)數的末位是2、3、7、8，那么這個(gè)數一定不是完全平方數的偶數倍。
如果一個(gè)數的末位是4或9，那么這個(gè)數可能是完全平方數，也可能是完全平方數的奇數倍。
如果一個(gè)數的末位是5或6，那么這個(gè)數一定是完全平方數的偶數倍。
數的奇偶性特征：
奇數的平方還是奇數，偶數的平方還是偶數。
數的質(zhì)因數分解特征：
一個(gè)完全平方數分解質(zhì)因數后，各個(gè)質(zhì)因數的指數都是偶數。
三、判斷一個(gè)數是否為完全平方數的方法
直接開(kāi)方法：嘗試對這個(gè)數進(jìn)行開(kāi)方運算，如果結果是一個(gè)整數，那么這個(gè)數就是完全平方數。
分解質(zhì)因數法：將這個(gè)數進(jìn)行質(zhì)因數分解，然后檢查每個(gè)質(zhì)因數的指數是否都是偶數。如果是，那么這個(gè)數就是完全平方數。
四、完全平方數的應用
完全平方數在數學(xué)中有廣泛的應用，如在代數、幾何、數論等領(lǐng)域都有涉及。例如，在解決一些與平方根有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，了解完全平方數的特征會(huì )很有幫助。
五、注意事項
在判斷一個(gè)數是否為完全平方數時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：
不要忽略0也是完全平方數。
注意區分完全平方數和平方數的概念，一個(gè)數的平方不一定是完全平方數（除非這個(gè)數本身是完全平方數的平方根）。
《完全平方數特征》知識點(diǎn)總結
一、完全平方數的定義
完全平方數是指一個(gè)整數可以表示成某個(gè)整數的平方的形式。例如，1、4、9、16等都是完全平方數，因為它們可以分別表示為1、2、3、4。
二、完全平方數的特征
末位特征：
一個(gè)完全平方數的末位數字只能是0、1、4、5、6、9。
奇數的平方的個(gè)位數字為奇數，十位數字為偶數。
如果完全平方數的個(gè)位是6，則它的十位數字必是奇數。
平方根特征：
一個(gè)正整數如果是完全平方數，那么它必定有兩個(gè)平方根，它們互為相反數。
負數不是完全平方數，因為在實(shí)數范圍內沒(méi)有實(shí)數的平方是負數。
數的因數特征：
一個(gè)完全平方數必有奇數個(gè)因數（包括1和它本身）。
奇數個(gè)因數的正整數一定是某個(gè)自然數的平方。
數的奇偶性特征：
奇數的平方是奇數，偶數的平方是偶數。
連續整數的平方差特征：
兩個(gè)連續整數的平方差等于這兩個(gè)整數的和。例如，(n+1) - n = 2n + 1。
三、完全平方數的判定方法
直接開(kāi)方法：直接計算一個(gè)數的平方根，看結果是否為整數。
因式分解法：將給定的數進(jìn)行因式分解，看是否能分解為某個(gè)整數的平方與另一個(gè)整數的乘積。
末位數字判斷法：根據完全平方數的末位數字特征進(jìn)行判斷。
四、完全平方數的應用
完全平方數在數學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應用。例如，在幾何學(xué)中，正方形的面積就是一個(gè)完全平方數；在代數學(xué)中，完全平方公式是解決二次方程的重要工具；在物理學(xué)中，動(dòng)能、勢能等物理量的計算也常涉及完全平方數。
五、注意事項
在判斷一個(gè)數是否為完全平方數時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：
不要忽略負數的平方也是正數，但負數本身不是完全平方數。
注意區分平方和完全平方數的概念，平方是一種運算，而完全平方數是一種特殊的整數。
在應用完全平方數的特征時(shí)，要結合具體的問(wèn)題情境進(jìn)行分析和判斷。
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