高中數學(xué)教學(xué)中變題的方法與技術(shù)研究

高中數學(xué)教學(xué)中變題的方法與技術(shù)研究

　　關(guān)鍵詞：高中數學(xué)；變題；變題研究；方法；技術(shù)

　　高中數學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的解題能力是培養重點(diǎn)，傳統的教學(xué)思路中，學(xué)生的解題能力更多地在雜亂無(wú)章的題海中自然形成，低效性不言而喻。 而要想系統地培養學(xué)生的解題能力，除了基于已有的習題按知識體系進(jìn)行分類(lèi)專(zhuān)題訓練之外，變題是一種堪稱(chēng)能夠迅速提升學(xué)生識題解題能力的捷徑，而變題的方法與技術(shù)則是變題研究的核心，近些年結合教學(xué)實(shí)踐以及他人的經(jīng)驗，筆者展開(kāi)了相對系統的研究，形成一些粗淺的認識，在此向同行們做個(gè)匯報，并希望得到有益的建議。

　　關(guān)于變題的背景與理論概述

　　對于當前的教學(xué)實(shí)際來(lái)說(shuō)，習題可以說(shuō)是高中數學(xué)教學(xué)的核心，在不帶偏見(jiàn)的情況下審視習題，可以發(fā)現習題就是教學(xué)的靈魂。 尤其是對于高中數學(xué)而言，習題解答的過(guò)程，就是學(xué)生運用所學(xué)的數學(xué)知識，結合自身的數學(xué)思維，在分析問(wèn)題的基礎上尋找解決問(wèn)題途徑的過(guò)程。 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習能力可以得到彰顯，分析思維能力得到體現，學(xué)習品質(zhì)與解題心智得到評價(jià)，因此習題解答是衡量學(xué)生數學(xué)學(xué)習的重要途徑。 但在實(shí)際教學(xué)中，我們看到相當一部分學(xué)生在面對習題時(shí)，常常暴露出思維單一、生搬硬套的缺點(diǎn)，而教師的感覺(jué)常常是：講過(guò)的才會(huì )；講過(guò)的也不會(huì )；無(wú)論怎么講都不會(huì )……背后暴露出來(lái)的，就是學(xué)生解題能力弱，而解題能力弱的原因，又是學(xué)生在面對變化了的習題面前，無(wú)法有效地判斷習題情境并尋找數學(xué)工具。

　　筆者反思過(guò)一個(gè)問(wèn)題：任何一道習題尤其是經(jīng)典的習題，常常是出題者心血的凝聚，更是教學(xué)智慧的凝聚。 在這個(gè)過(guò)程中，命題者會(huì )有什么樣的思維呢？在實(shí)際教學(xué)中，如果讓學(xué)生經(jīng)歷與命題者類(lèi)似的心理活動(dòng)過(guò)程，那對學(xué)生的數學(xué)學(xué)習來(lái)說(shuō)不就是一種解題心理適應能力的培養嗎？基于這樣的思考，變題及其訓練就成為筆者研究的一個(gè)重點(diǎn)。

　　變題對于高中數學(xué)來(lái)說(shuō)并不完全是一個(gè)新的概念，很早之前就有變式訓練的提法（當然，筆者的變題研究也相當程度上借鑒了變式訓練的思想），再后來(lái)有一題多變的提法。 進(jìn)入課程改革之后，習題的編制更加重視情境，于是接近生活的各類(lèi)試題層出不窮，而透過(guò)這種變化的表象，可以看到實(shí)質(zhì)性的數學(xué)工具使用并沒(méi)有改變。 基于這樣的實(shí)際情況，筆者感覺(jué)在高中數學(xué)教學(xué)中實(shí)施變題，有著(zhù)明顯的實(shí)際意義。 而更加顯而易見(jiàn)的是，變題中的方法與技術(shù)應當是教師重點(diǎn)研究、學(xué)生重點(diǎn)感知的內容。

　　也就是說(shuō)，以變題為主線(xiàn)的高中數學(xué)習題教學(xué)，應當是在教師掌握變題方法與技術(shù)的基礎之上，讓學(xué)生在變題訓練的過(guò)程中生成良好的解題直覺(jué)。 階段性的研究表明，變題有形式之變與實(shí)質(zhì)之變之分，前者在新知教學(xué)之初，可以讓學(xué)生在形式之變中重復運用所學(xué)知識，從而起到積累作用且不會(huì )讓學(xué)生有審美疲勞；而后者則可以開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，形成良好的解題視域。

　　高中數學(xué)變題方法技術(shù)研究

　　顯然，研究的重心應當放在變題的方法與技術(shù)上，在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中，我們首先確立了變題的基本思路，即對典型習題進(jìn)行分類(lèi)整理，然后再去謀變。 當前高中數學(xué)教材版本眾多，但習題尤其是變題研究不應當拘泥于某一套教材，因為知識是相通的，高中學(xué)生的數學(xué)思維也具有共性，因此基于所教教材，將眼光放至全國范圍并縱觀(guān)近年來(lái)各地的高考與模擬試題，是變題的基礎與指向。

　　研究表明，變題的方法有這樣的幾種：題型改變；數據改變；情境改變；已知、未知關(guān)系改變；變式思想引領(lǐng)下的改變等。

　　其中，題型改變主要應針對當前高考題型，可以將填空、選擇題改變?yōu)橛嬎泐}，這樣可以培養學(xué)生思維的縝密性；將簡(jiǎn)單計算題、證明題改為填空或選擇題，可以培養學(xué)生良好的直覺(jué)性思維；數據的改變可以對數學(xué)基礎較差的學(xué)生施行，而情境的改變則應當面向除了極少數尖子生之外的其他學(xué)生，這可以培養他們良好的習題情境適應性。 至于已知與未知關(guān)系的改變，則更多的是為了培養學(xué)生構建基本的數學(xué)邏輯關(guān)系，讓學(xué)生知道如何基于數學(xué)邏輯關(guān)系尤其是數學(xué)公式進(jìn)行思路變換的訓練。

　　以上一段不舉例說(shuō)明，一個(gè)重要的原因就是傳統的教學(xué)中對此已經(jīng)有足夠的重視，日常教學(xué)中的關(guān)鍵在于落實(shí)。 且需要強調的是，這些思路看起來(lái)沒(méi)有所謂的新意，但對于學(xué)生而言卻是極好的思維訓練手段，不可因為沒(méi)有新意而舍棄之。 此處筆者想強調的是基于變式思想進(jìn)行的變題研究。

　　變式變換的是習題的表現形式，同時(shí)保證習題的思想不變。 這里的思想不是指考查對象即數學(xué)知識點(diǎn)，而是指對學(xué)生數學(xué)思維的考查。 在實(shí)際教學(xué)中經(jīng)常會(huì )看到隸屬不同知識點(diǎn)習題實(shí)際上是用的同一種數學(xué)思維，而學(xué)生恰恰難以意識到這一點(diǎn)�；�于此進(jìn)行變題研究，顯然很有價(jià)值。

　　例如，作圖是學(xué)生解數學(xué)題的基本功，實(shí)際教學(xué)中，相當一部分學(xué)生作圖會(huì )出現不準確的情形，即使常常因此出錯也尋找不到原因。 于是筆者給出這樣的一組兩道試題（變題的結果）：

　　題1：判斷命題的正確性：當a>1時(shí)，關(guān)于x的方程logax=ax沒(méi)有實(shí)數根。

　　題2：已知方程x=sinx，則其解有幾個(gè)。

　　這兩道試題看似沒(méi)有直接聯(lián)系，但在解題思路上卻存在著(zhù)需要作圖的共同特征，而且這兩道題具有基礎性，可以在新知識教學(xué)或者階段性復習中使用。 筆者的使用是先呈現第一題，然后就學(xué)生出錯的情況進(jìn)行尋因，同時(shí)不做評價(jià)；在第二題呈現并在學(xué)生產(chǎn)生類(lèi)似解題感覺(jué)之后，再強調兩者的共性，即作圖要準確。 這樣學(xué)生的認識自然就會(huì )深刻，反之，不提供這樣的變題結果，學(xué)生很少有這種歸因的機會(huì )，也就很難認識到數學(xué)作圖的重要性。 從技術(shù)的角度來(lái)看，筆者所總結出的變題的一般步驟包括這樣幾步：尋找母題；分析母題；實(shí)施變題；解決變題；評估變題。

　　母題從哪里來(lái)？來(lái)源很多，但學(xué)生易出錯的是重點(diǎn)。 如上面的題1，筆者就是發(fā)現學(xué)生有即使找到了簡(jiǎn)便的思路即作圖，卻仍然無(wú)法得到正確答案的現象。 于是筆者以之為母題并進(jìn)行分析，然后尋求變題（變題可以是另外一道題目，也可以是母題的變換），上題2是筆者在題1的基礎上總結出的將兩個(gè)不同類(lèi)型的函數即y=x與y=sinx建立等量關(guān)系，同時(shí)在作圖時(shí)如果容易出錯的話(huà)，那就可以作為題1的母題。在學(xué)生完成解答之后，再回頭進(jìn)行評估。 評估的過(guò)程，其實(shí)就是解析思維過(guò)程，提升解題能力的過(guò)程。

　　總結以上提到的變題的方法與技術(shù)，可以看到變題的關(guān)鍵有三：一是扣準學(xué)生的學(xué)習需要。高中數學(xué)習題如海，能總結出規律的也數不勝數，但切合學(xué)生需要的是最關(guān)鍵的，在不同的學(xué)習階段需要什么樣的變題組，是教師需要積累的教學(xué)經(jīng)驗；二是變題的方法不拘泥于新舊。 適合的才是最好的，傳統的變題方法未必不好，因為今天的高中學(xué)生在建構新知識時(shí)仍然需要；新的變題方法也是必需的，因為其是適應新習題的需要；三是變題之變在于思想相通。 要變換的不僅僅是題目的形式，更是解題思想。 只有一個(gè)解題思想才能統領(lǐng)一類(lèi)題目，也只有基于解題思想去實(shí)施變題，才能加大學(xué)生的解題視野，提升解題能力。

　　變題是如何促進(jìn)學(xué)生學(xué)習的

　　在研究的過(guò)程中，筆者還關(guān)注一個(gè)問(wèn)題，那就是變題在促進(jìn)學(xué)生解題能力提高的過(guò)程中，具體是如何發(fā)揮作用的。研究發(fā)現，有以下三點(diǎn)值得重視：

　　一是注意變題的科學(xué)性。如前所說(shuō)，變題要切合學(xué)生的需要，有時(shí)能讓教師眼前一亮的習題未必是好題，因為提供給學(xué)生的時(shí)機可能不對，這一點(diǎn)同行們都比較清楚，不贅述。

　　二是注意變題的適切性。變題之后，子題與母題必須有明確的聯(lián)系點(diǎn)，且這個(gè)聯(lián)系點(diǎn)必須為學(xué)生所知道，只有這樣才能讓相似的試題成為組題，從而擴充學(xué)生的記憶容量。

　　三是注重學(xué)生的主體參與。這也是容易忽視的一點(diǎn)，變題一定不能只成為教師的事情，一定需要學(xué)生的主體參與。 要改變單向的教師變、學(xué)生練的情形，要讓學(xué)生參與到變題的過(guò)程中來(lái)，他們在變題中表現出來(lái)的思路或者說(shuō)不足，應當成為教師變題時(shí)重點(diǎn)考慮的內容。 同時(shí)，讓學(xué)生參與變的過(guò)程，也可以讓學(xué)生換一個(gè)視角，即從命題者的角度去看待習題。 有了這樣的視角與高度，學(xué)生解題時(shí)的心理會(huì )大不相同，這對于學(xué)生把握命題者思路、尋找解題途徑而言，極有好處。

　　此外需要強調的是，變題過(guò)程中教師需要大力關(guān)注學(xué)生在課堂上的表現，這對學(xué)生思維的把握，對教師把握變題研究及教學(xué)節奏來(lái)說(shuō)，也很重要，限于篇幅，亦不贅述。

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